Chuyên đề Phân thức đại số Toán Lớp 8

 PHÂN THỨC ĐẠI SỐ 
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 
 A
• Một phân thức đại số (hay nói gọn là phân thức) là một biểu thức có dạng với A và B là các đa 
 B
thức, B khác đa thức 0. 
 A
Chú ý: Trong phân thức , đa thức A được gọi là tử thức (hay tử), B được gọi là mẫu thức (hay 
 B
mẫu). 
 A C
• Hai phân thức và gọi là bằng nhau nếu A.D = B.C. 
 B D
Ta viết: 
 A C
 = nếu A.D = B.C. 
 B D
Chú ý: * Các tính chất về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau của phân số cũng đúng cho phân thức. 
* Các giá trị của chữ làm cho mẫu thức nhận giá trị bằng 0 gọi là giá trị làm phân thức vô nghĩa hay 
không xác định. 
II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN 
A.DẠNG BÀI MINH HỌA 
Dạng 1. Tìm điều kiện để phân thức có nghĩa 
Phương pháp: 
 A
Một phân thức đại số (hay nói gọn là phân thức) là một biểu thức có dạng với A và B là các đa 
 B
thức, B khác đa thức 0. 
 A
Chú ý: Trong phân thức , đa thức A được gọi là tử thức (hay tử), B được gọi là mẫu thức (hay 
 B
mẫu). 
 2x2 4x2x x 1x2 4x 3
c) d) 
 x 2 2 x 2 x 3x2 6x 9
 x 28 x3 x2 y2 2xy 1 x y 1
e) f) 
 x x x2 2x 4 x2 y2 2x 1x y 1
Dạng 3. Tìm đa thức trong đẳng thức 
Phương pháp giải: Thực hiện theo hai bước: 
Bước 1. Phân tích tử thức và mẫu thức thành nhân tử ở hai vế; 
Bước 2. Triệt tiêu các nhân tử chung và rút ra đa thức cần tìm. 
Bài 5. Tìm đa thức A trong các đẳng thức sau 
 Ax Ax2 y2
a) b) 
 x2 4x 2 x yx y
 x2 x 1 1 x2 1 x31 x x2
c) d) 
 xA Ax
 x2 2xy y2 A x2 2xy y2 A
e) f) 
 x yx2 y2 x yx2 y2
Bài 6. Điền đa thức thích hợp vào chỗ trống 
 3x 15 ... x 1 x2 x
a) b) 
 2x 10 2 x 1...
 x ... x 1...
c) d) 
 x 4x2 16 x 3x2 9
Dạng 4. Tìm x để giá trị phân thức bằng 0 
Phương pháp giải 
-Đặt đk cho mẫu khác 0, rút ra đk của x (*) 
-Nhân mẫu thức với 0 vế phải để triệt tiêu mẫu 
 8 x 1
e) có nghĩa khi x 4 0 x 8 
 1
 x 4 2
 2
 1
 x 4
 3
f) 5 có nghĩa khi 6 x 0 x 4 
 3
 6 x 2
 2
Bài 2. Tìm điều kiện của x để các phân thức sau xác định 
 x 4 x 1
a) có nghĩa khi x 1 x 3 0 
 x 1 x 3 x 3
 9
b) có nghĩa khi x2 10 x 1 
 x2 1
 2
 x 2x 7 2 x 0
c) 2 có nghĩa khi x x 0 
 x x x 1
 2x 1
d) có nghĩa khi x2 4x 4 0 x 2 
 x2 4x 4
Bài 3. Chứng minh các phân thức sau luôn có nghĩa với mọi giá trị của x 
 7
a) x2 0,x x2 5 5,x 
 x2 5
 6 x 2 2
b) x 1 0,x x 1 4 4,x 
 x 1 2 4
 2
 8 x 2
c) x2 2x 9 x 1 8 8,x 
 x2 2x 9
 2x 11 2
d) x2 4x 5 x 2 1 1;x 
 x2 4x 5
Bài 4. Chứng minh 
 3y6xy
a) 3y .8x 24xy 
 48x
 22
 x 2xy yA 2222 3
d) 22 x 2xy y . x y A. x y A x y 
 x yx y
Bài 6. Điền đa thức thích hợp vào chỗ trống 
 3x 15 ...
a) . Đa thức cần điền: 3 
 2x 10 2
 x 1 x2 x
b) . Đa thức cần điền: x2 x 
 x 1...
 x ...
c) . Đa thức cần điền: x2 4x 
 x 4x2 16
 x 1...
d) . Đa thức cần điền: x2 2x 3 
 x 3x2 9
Bài 7. Tìm giá trị của x để giá trị của các phân thức sau bằng 0. 
 x 3 x 3
a) x 3 0 x 30 x 3 
 x 3 x 3
 3x 6 3x 6
b) 0 3x 60 x 2 
 x2 2 x2 2
 5x2 125 5x2 125
c) 0 5x2 125 0 x 5 
 x2 1 x2 1
 x2 4x 4 x2 4x 4
d) 0 x2 4x 4 0 x 2 
 x2 4x 5 x2 4x 5
Bài 8. Xuất phát từ điều cần chứng minh P(S + R) = R(Q + P) 
 PR
Rút gọn còn PS = RQ hay (đúng với giả thiết). 
 QS
Bài 9. Tương tự 8. 
Bài 10. Tương tự 8. Rút gọn còn CB - EB = DA - FA.Mà 
 ACAE
 A.D B.,C A.F B.E ĐPCM. 
 BDBF
 3 2x 1
Bài 7. a) Tìm GTNN của phân thức: 
 14
 4x2 4x
 b) Tìm GTLN của phân thức: 
 15
Bài 8. Tìm GTLN của các phân thức: 
 a) 5 b) 3 
 x2 2x 2 2x 5 2
 HƯỚNG DẪN 
Bài 1. 
 2x 11
a) Biến đổi VP VT ĐPCM. 
 (2x 1)(x 2)x 2
b) Biến đổi được: 
 (y 1)(y 4) (y 1)(y 2)
VT y 1 và VP y 1. 
 y 4 y 2
Từ đó suy ra ĐPCM. 
Bài 2. 
 Tương tự 1. Chú ý rằng: 
a) 3a2 – 10a + 3 = (3a – 1)(a – 3). 
b) b3 – 27 = (b – 3)(b2 + 3b + 9) và b2 – 5b + 6 = (b – 2)(b – 3). 
Bài 3. 
 a) 
 Ax(2x 3)
Cách 1. Ta có: 
 2x 3(2x 3)(2x 3)
 Ax
 A x. 
 2x 32x 3
 3 2x 1 3 3 1
a) . GTNN của biểu thức là khi x 
 14 14 14 2
 2 2
 4x2 4x 1 4x 4x 1 1 2x 1 1
b) 
 15 15 15 15
 1 1
GTLN của biểu thức là khi x 
 15 2
Bài 8. 
 555
a) Có . Vậy GTLN của biểu thức là 5 khi x 1 
 x2 2x 2(x 1)2 1 1
 1133 3 5
b) . Vậy GTLN của biểu thức là khi x 
 2x 5 222x 5 2 2 2 2
 PHIẾU TỰ LUYỆN SỐ 2 
Bài 1. Tìm điều kiện xác định của phân thức: 
 x2 4 2x 1 x2 4
 a) b) c) 
 9x2 16 x2 4x 4 x2 1
 5x 3 x2 5x 6 2
 d) 2 e) f) 
 2x x x2 1 (x 1)(x 3)
 2x 1
 g) 
 x2 5x 6
Bài 2. Tìm điều kiện xác định của phân thức: 
 1 x2 y 2x 5x y x y
 a) b) c) 2 d) 
 x2 y2 x2 2x 1 x 6x 10 (x 3)2 (y 2)2
Bài 3. Tìm các giá trị của biến số x để phân thức sau bằng không: 
 2x 1 x2 x 2x 3
 a) b) c) 
 5x 10 2x 4x 5
 (x 1)(x 2) x2 1
 d) 2 f) 
 x 4x 3 x2 2x 1
 HƯỚNG DẪN 
Bài 1. Tìm điều kiện xác định của phân thức: 
 4 b)x 2 
 a)x c)x 1 
 3
 d)x 0;x 2 e)x 1 f)x 1;x 3 
 g)x 2;x 3 
Bài 2. Tìm điều kiện xác định của phân thức: 
 a)x 0;y 0 b)x 1 
 c)x R d)x 3;y 2 
Bài 3. Tìm các giá trị của biến số x để phân thức sau bằng không: 
 2x 1 x2 x
 a) 0(x 2) b) 0(x 0)
 5x 10 2x
 2x 1 0 x2 x 0 
 1 x 1
 x 
 2
 2x3 5 
 c) 0 x (x 1)(x 2)
 4x5 4 d) 0(x 1;3)
 x2 4x 3
 2x 3 0 (x 1)(x 2) 0 
 3 x 2
 x 
 2
 x2 1
 f) 0(x 1)
 x2 2x 1
 x2 1 0 
 x 1
Bài 4. Tìm các giá trị của biến số x để phân thức sau bằng không: