Chuyên đề Phân thức đại số (Phần 2) - Bồi dưỡng HSG Toán 8

 RÚT GỌN BIỂU THỨC
 Bài 1: 
 (a2 b2 c2 )(a b c)2 (ab bc ca)
Rút gọn A 
 (a b c)2 (ab bc ca)
 Lời giải
Có: (a b c)2 (ab bc ca) a2 b 2 c2 ab bc ca MS a2 b2 c2 ab bc ca
TS (a2 b2 c2 )(a2 b2 c2 2ab 2bc 2ac) (ab bc ca)2 (a2 b2 c2 )(MS ab bc ca) 
(ab bc ca)2 (a2 b2 c2 ).MS (a2 b2 c 2 )(ab bc ca) (ab bc ca)2
 (a2 b2 c2 ).MS (ab ac bc)(a2 b2 c2 ab bc ca) MS.(a2 b2 c 2 ab bc ca) MS 2
 TS MS 2
 A MS
 MS MS
 Bài 2: 
Rút gọn các biểu thức sau
 x2 yz y2 zx z2 xy
a) A 
 y z z x x y
 1 1 1 
 x y z
 a(a b) a(a c) b(b c) b(b a) c(c a) c(c b)
b) B a b a c b c b a c a c b
 (b c)2 (c a)2 (a b)2
 1 1 1 
 (a b)(a c) (b c)(b a) (c a)(c b)
 Lời giải
 x2 yz y2 zx z2 xy x(x2 yz) y(y2 yz) z(z2 xy) x3 y3 z3 3xyz
a) A 
 y z z x x y
 1 1 1 x y z x y z x y z x y z
 x y z
 (x y z)(x2 y2 z2 xy yz zx)
A x2 y2 z2 xy yz zx
 x y z
 a(a b) a(a c) b(b c) b(b a) c(c a) c(c b)
b) B a b a c b c b a c a c b
 (b c)2 (c a)2 (a b)2
 1 1 1 
 (a b)(a c) (b c)(b a) (c a)(c b)
 a(a b) a(a c) b(b c) b(b a) c(c a) c(c b)
Đặt B a b a c ; B b c b a ; B c a c b
 1 (b c)2 2 (c a)2 3 (a b)2
 1 1 1 
 (a b)(a c) (b c)(b a) (c a)(c b)
 1 (a c)(a2 ab b2 ) (b c)(a2 ab b2 ) ........
 (a c)(a2 ab b2 b2 bc c2 ) (b c)(a2 ab b2 c2 ca a2 ) (b a)(b2 bc c2 c2 ca a2 )
 (a c)(a c)(a b c) (b c)(b c)(a b c) (b a)(b a)(a b c)
 (a b c) (a c)2 (b c)2 (c a) 2 (a b c).2.(a2 b2 c2 ab bc ca)
 
 MS
 TS
 A 2(a b c)
 MS
 Bài 5: 
Cho a,b,c là ba số phân biệt. Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào 
 (x a)(x b) (x b)(x c) (x c)(x a)
x : S 
 x (c a)(c b) (a b)(a c) (b c)(b a)
 Lời giải
 x2 (a b)x ab x2 (b c)x bc x2 (a c)x ac
S 
 x (c a)(c b) (a b)(a c) (b c)(b a)
 2 1 1 1 (a b) (b c) (a c) 
Sx x x 
 (c a)(c b) (a b)(a c) (b c)(b a) (c a)(c b) (a b)(a c) (b c)(b a) 
 ab bc ac
 S A.x2 Bx C
 (c a)(c b) (a b)(a c) (b c)(b a) x
 1 1 1 a b b c c a
+) A 0
 (c a)(c b) (a b)(a c) (b c)(b a) (a b)(a c)(b c)
 (a b) b c a c
+) B 0
 (c a)(c b) (a b)(a c) (b c)(b a)
 ab bc ac
 S C 
 x (c a)(c b) (a b)(a c) (b c)(b a)
 Bài 6: 
Cho a,b,c đôi một khác nhau. Chứng minh rằng giá trị các biểu thức sau không phụ thuộc 
vào a,b,c
 a2 2a 3 b 2 2b 3 c2 2c 3
a) S S 2S 3S
 (a b)(a c) (b c)(b a) (c a)(c b) 2 1 0
 3 (2) a b c ax2 by2 cz2 
 Bài 8: 
 1 1 1 1 1 1
Cho a,b,c khác nhau đôi 1 và 0 . Rút gọn: A 
 a b c a2 2bc b2 2ac c2 2ab
 Lời giải
 1 1 1
Ta có: 0 ab bc ca 0 a2 2bc a2 bc ab ca a b a c 
 a b c
Tương tự: b2 2ac b a b c ,c2 2ba c a c b 
 1 1 1 c b a c b a
Khi đó A 0
 a b a c b a b c c a c b a b b c c a 
 5 n3 2n
Chứng minh rằng phân số là phân số tối giản n N
 n4 3n2 1
 Lời giải
 n3 2nd n(n3 2n)d
Gọi (n3 2n,n4 3n2 1) d(d N * ) 
 4 2 4 2
 n 3n 1d n 3n 1d
 n(n3 2n) (n4 3n2 1)d ( n2 1)d n2 1d
 n(n2 1) nd n4 d n4 3n2 d
Ta có: n3 2n nd 1d d 1
 2 2 4 2
 n 1d 3n d n 3n d
 Bài 5: 
 n3 2n2 1
Cho A 
 n3 2n2 2n 1
a. Rút gọn A
b. Chứng minh rằng nếu n Z thì giá trị tìm được ở câu a là phân số tối giản.
 Lời giải
 n3 2n2 1 (n 1)(n2 n 1) n2 n 1
a. A 
 n3 2n2 2n 1 (n 1)(n2 n 1) n2 n 1
 n2 n 1d
b. Gọi (n2 n 1,n2 n 1) d(d N * ) 2d d 1;d 2
 2
 n n 1d
Lại có n2 n 1 n(n 1) 1(le) d 2 d 1
 
 2
 Bài 6: 
 n2 4
Cho phân số A (n N) . Có bao nhiêu số tự nhiên nhỏ hơn 2009 sao cho phân số A 
 n 5
chưa tối giản
 Lời giải
 n2 4 n2 25 29 29
 A n 5 
 n 5 n 5 n 5
 29
Để A là phân số chưa tối giản thì là phân số chưa tối giản n 529 n 29k 5
 n 5
 7 RÚT GỌN BIỂU THỨC VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN
Các bước rút gọn biểu thức hữu tỷ
- Tìm điều kiện xác định: Phân tích tử và mẫu thành nhân tử, cho tất cả các nhân tử khác 0
- Phân tích tử và mẫu thành nhân tử rồi chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung
Phương pháp:
+ So sánh P với m : Xét hiệu P m , rồi so sánh với số 0
 A 0 A 0
 A B 0 A B 0
Chú ý: 0 hoặc: 0 
 B A 0 B A 0
 B 0 B 0
 A
+ Tìm x nguyên để P nguyên P Z B U A 
 B
+ Tìm x để P nguyên: Chặn miền giá trị của P hoặc đặt bằng k(k Z)
 A
+ Tìm Min, Max của P 
 B
Nếu bậc của tử bậc của mẫu: Chia xuống (chú ý dấu bằng xảy ra)
+ Chú ý: Sử dụng bất đẳng thức a b 2 ab
 Bài 1: HSG Yên Phong, năm học 2015
 y x x2 y xy2
Cho biểu thức A 2 2 . 2 2 x 0, y 0, x y 
 x xy xy y x y
a. Rút gọn A
b. Tính giá trị của A khi x y 0 và thỏa mãn 2x2 2y2 5xy
 Lời giải
 (x y)
a. Rút gọn được A 
 x y
 2 2 2 2 2x y 0(loai)
b. 2x 2y 5xy (2x xy) (2y 4xy) 0 (2x y)(x 2y) 0 
 x 2y 0(tm)
 (2y y)
Thay x 2y vào A , ta được: A 3
 2y y
 9 Bài 4: HSG Thường Tín, năm học 2018 - 2019
 x2 1 x3 1 x4 x3 x 1
Cho biểu thức A , x 0; x 1 
 x x2 x x x3
a) Rút gọn A
b) Tính A biết x thỏa mãn x2 x 12
 6
c) Chứng minh rằng A 4 . Từ đó tìm x để B nhận giá trị nguyên
 A
 Lời giải
a) Rút gọn A
Với x 0,x 1 
 x2 1 x3 1 x4 x3 x 1
 A 
 x x2 x x x3
 x2 1 x2 x 1 x2 1 x
 x x x
 x2 2x 1 x 1 2
 x x
b) Tìm A biết x thoã mãn: x2 x 12 
 2 2 x 3
Ta có: x x 12 x x 12 0 
 x 4 loai 
 16
Khi x 3 thì A .
 3
 6
c) Chứng minh rằng: A 4 . Từ đó tìm x để B nhận giá trị nguyên
 A
 2
 x 1 4x
Vì x 0 nên 4 A 4 
 x x
 6 6x
Ta có B 0 vì x 0
 A x 1 2
 6 6
Vì A 4 1,5 
 A 4
 11