Chuyên đề Phân số - Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 7

 CHUYÊN ĐỀ PHÂN SỐ 
 DẠNG 1: Tìm n để phân số tối giản: 
Bài 1: Tìm n N để các phân số tối giản: 
 n + 7 n +13 23n + 32n +
a, A = b, B = c, C = d, A = 
 n − 2 n − 2 41n + 71n +
HD: 
 n −+2 9 9
 a, A = =1 +
 nn−−22 
 9
 Để A tối giản thì tối giản hay n−2 3 k = n 3 k + 2( k N ) 
 n − 2
 n −+2 15 15
 b, A = =1 + 
 nn−−22
 15
 Để A tối giản thì tối giản hay n−2 3 k = n 3 k + 2( k N ) và 
 n − 2
n−2 5 h = n 5 h + 2( h N ) 
 c, Gọi d =UCLN( 2n+3; 4n+1) => 2( 2n+3) - (4n +1) d=> 5 d, 
 Để C tối giản thì d # 5 hay 2n+3 # 5k => 2n+8 # 5k=>n # 5k – 4 (k N) 
 d, Gọi d=UCLN (3n+2; 7n+1) => 7(3n+2) - 3(7n+1) d => 11 d, 
 Để A tối giản thì d # 11 hay 3n+2 # 11k=> n # 11k+3 (k N) 
Bài 2: Tìm n N để các phân số tối giản: 
 27n + 8n + 193 18n + 3 21n + 3
a, A = b, C = c, A = d, A = 
 52n + 43n + 21n + 7 64n +
HD: 
 a, Gọi dUCLNn=(3 + 2;2 n + 7) = 52( n + 725) −( nd + 2) = 31 d 
 Để A tối giản thì d 31 = 2 n + 7 31 = 2 n + 7 + 31 31 = 2(n + 19) 31 = n # 31k – 19 (k 
 N) 
 b, Gọi dUCLNn=(8 + 193;4 n + 3) = ( 8 n + 193) − 2( 4 nd + 3) = 187 d 
 Mà 187= 11.17 , Nên để C tối giản thì: dd 11, 17 
 TH1: d = +11 4 n 3 11 = +− 4 n 3 11  11 = − 4 n 8  11 = − n 2  11 k = n 11 k + 2( k N ) 
 TH2: d = +17 4 n 3 17 = ++ 4 n 3 17  17 = 4( n + 5)  17 = n 17 h − 5( h N * ) 
 c, Gọi dUCLNn=(18 + 3;21 n + 7) = 7( 18 n + 3) − 6( 21 nd + 7) = 21 d 
 Mà 21= 3.7 , Nên để A tối giản thì d 3,7 
 Thấy hiển nhiên dn +3,( 21 7 3) 
 Với d = 7 18 n + 37 = 18 n += 336( n + 17)  = +− 6 n 177  = nk 71 + 
 d, Gọi dUCLNnn=(21 + 3;6 + 4) = 221( n + 3) − 76( nd + 4) = 22 d 
 Mà 22 = 2.11, Nên để A tối giản thì: dd 2, 11 
 TH1: d 2 = 21 n + 3 2 k = n là số chẵn 
 TH2: d = +11 6 n 4 11 = +− 6 n 4 22  11 = − n 3  11 = n 11 k + 3 
 n + 3
Bài 3: Tìm n N để các phân số tối giản: B = 
 n −12
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 1 
 DẠNG 2: Chứng minh các phân số sau tối giản: 
Bài 1: Chứng minh các phân số sau tối giản: 
 n +1 23n + 53n + nn3 + 2
a, b, c, d, 
 23n + 35n + 32n + nn42+−31
HD: 
 nd+1
 a, Gọi dUCLNnn=( +1;2 += 3) = 2( n +− 1) ( 2 nd + 3) = −= = 1 dd 1 
 23nd+
 23nd+
 b, Gọi dUCLNnn=(23;35 + += ) = 323235( n +−) ( nd +) = −= = 1 dd 1 
 35nd+
 53nd+
 c, Gọi dUCLNnn=(53;32 + += ) = 532353( n +−) ( nddd +) = = = 1 1 
 32nd+
 nd2 +1
 d, Gọi dUCLNn=3 +2 nn ; 4 +−= 3 n 2 1 nn 3 +−+−= 2 n n 4 3 n 2 1 d 
 ( ) ( ) ( ) 3
 n+ 2 n d
 nd nd2
 = n32 +21 n − n n + d = = = 11dd = = 
 ( ) ( ) 2 2
 nd+1 nd+1
Bài 2: Chứng minh các phân số sau tối giản: 
 16n + 5 14n + 3 21n + 23n +
a, b, c, d, 
 62n + 21n + 4 2nn (+ 1) 48n +
HD: 
 a, Gọi dUCLNnn=(165;62 + += ) 8623165( n +−) ( nd +) = = = 1 dd 1 
 14nd+ 3
 b, Gọi dUCLNnn=(143;214 + += ) = 314322141( n +−) ( nddd +) = = 1 
 21nd+ 4
 n(21 n+ ) d 2n2 + n d n d
 c, Gọi d= UCLN2 n + 1;2 n2 + 2 n = = = 
 ( ) 2 2 
 22n+ n d 22n+ n d 21nd+
 = (2n + 1) − 2 n d = 1 d = d = 1 
 d, Gọi 
 23nd+
dUCLNnn=(23;48 + += ) = +−( 48223 n) ( ndddd +) = 2 = = = 1,2 
 48nd+
 Vì 23nd+ mà 2n+3 là số lẻ nên d lẻ, vậy d = 2 loại 
Bài 3: Chứng minh các phân số sau tối giản: 
 32n + n 12n + 1
a, b, c, 
 53n + n +1 30n + 2
HD: 
 a, Gọi 
 nd+1
 b, Gọi dUCLNnn=( ; += 1) = +−( n 1) nd = 1 dd = = 1 
 nd
 c, Gọi 
 12nd+ 1
dUCLNnn=(12 + 1;30 += 2) = 5( 12 n +− 1) 2( 30 nddd + 2) = = = 1 1, 
 30nd+ 2
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 3 
 100 11k + 2 170
 c, Để A rút gọn được thì n = 11k + 2 hoặc n = 17h – 5=> 
 100 17h − 5 170
 352ab++
Bài 9: CMR nếu (a – 1; b+1) thì A = là phân số tối giản 
 5ab++ 8 3
HD: 
 Gọi d=UCLN(3a+5b+2; 5a+8b+3) => 5(3a+5b+2) – 3(5a+8b+3) d=> b+1 d 
 Và 8(3a+5b+2) – 5(5a+8b+3) d=> a – 1 d => d UC( a – 1; b+1) 
 Mà UCLN( a – 1; b+1) =1 => d =1; - 1 
 2 n + 4
Bài 10: Tìm n Z sao cho cả A = và B = là các số nguyên 
 n −1 n +1
 n + 9
Bài 11: Cho phân số A = (n Z, n > 6), Tìm n để phân số có giá trị nguyên dương 
 n − 6
 75
Bài 12: Cho phân số A = (n N*). Tìm n để 
 52n −
a, Phân số A là số tự nhiên b, A rút gọn được 
 27n +
Bài 13: Tìm n N để là số nguyên 
 n +1
Bài 14: Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất để các phân số sau tối giản: 
 1 2 3 2001 2002
 ; ; ;...; ; 
n+3 n + 4 n + 5 n + 2003 n + 2004
HD: 
 a
 Các phân số đã cho có dạng: với a=1; 2; 3; ...; 2001; 2002 
 na++2
 a
 Để tối giản thì UCLN(n+2+a;a) =1, => UCLN(n+2; a)=1=> n+2 và a là nguyên tố 
 na++2
 cùng nhau 
 Với mỗi số 1,2,3,..., 2002 và n+2 nhỏ nhất thì n+2=2003( Vì 2003 là số nguyên tố) 
 19 n
Bài 15: Tìm n để tích hai phân số và có giá trị ngyên 
 n −1 9
 32x2 −
Bài 16: Tìm x để giá trị của biểu thức: P = là số nguyên 
 31x2 +
 2017 − x
Bài 17: Cho T = , tìm các giá trị nguyên của x để: T có giá trị nguyên, T có giá trị lớn nhất 
 10 − x
 x + 2
Bài 19: Cho M = , biết x là số hữu tỉ âm, và M là số nguyên, Tìm x 
 x −1
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 5 
 5 5
 c, Do x Z nên x-3 , Để C = −1 + nhỏ nhất thì là số âm nhỏ nhất 
 x − 5 x − 5
 => x – 5 là số nguyên âm lớn nhất => x – 5 = - 1 => x= 4 
 −3 3
 d, Do n nên 2n-5 , Để E = nhỏ nhất thì là số dương lớn nhất 
 25n − 25n −
 => 2n-5 là số nguyên dương nhỏ nhất => 2n-5 =1=>n=3 
 x
Bài 4: Tìm x Z để các phân số sau có GTNN: A = 
 52x −
HD : 
 1 5x 1 2 2
 Do x nên 5x-2 , Để A = = 1 + nhỏ nhất thì là số âm nhỏ 
 5 5xx−− 2 5 5 2 52x −
 nhất 
 1
 => 5x - 2 là số nguyên âm lớn nhất => 5x - 2= -1 = x = (loại) khi đó 5x - 2= - 2 => x = 0 
 5
Bài 5: Tìm n, x Z để các phân số sau có GTLN 
 n +1 14 − n 7 − x 1
a, C = b, D = c, E = d, C = 
 n − 2 4 − n x −5 4 + x
HD: 
 3 3
 a, Do n nên n-2 , Để C =+1 lớn nhất thì là số dương lớn nhất 
 n − 2 n − 2
 khi đó n – 2 là số nguyên dương nhỏ nhất => n - 2 = 1=> n = 3 
 10 10
 b, Do n nên 4 – n , Để D =+1 lớn nhất thì là số dương lớn nhất 
 4 − n 4 − n
 hay 4 – n là số nguyên dương nhỏ nhất => 4 – n = 1 => n = 3 
 2 2
 c, Do x nên x-5 , Để E = −1 + lớn nhất thì là số dương lớn nhất 
 x − 5 x − 5
 hay x – 5 là số nguyên dương nhỏ nhất => x – 5 = 1=> x = 6 
 1
 d, Do x nên 4+x , Để lớn nhất thì là số dương lớn nhất 
 4 + x
 hay 4+x là số nguyên dương nhỏ nhất => 4 + x = 1 => x = 3 
Bài 6: Tìm n, x Z để các phân số sau có GTLN 
 5x − 19 −3 31n −
a, D = b, D = c, C = 
 x − 9 25x − −+23n
HD: 
 26 26
 a, Do x nên x-9 , Để D =+5 lớn nhất thì là số dương lớn nhất 
 x − 9 x − 9
 hay x – 9 là số nguyên dương nhỏ nhất => x – 9 =1=> x = 10 
 3
 b, Do x nên 2x-5 ,Để lớn nhất thì là số ấm nhỏ nhất 
 25x −
 hay 2x -5 là số nguyên âm lớn nhất => 2 x – 5= - 1=> x = 2 
 1 6n − 2 1 7 
 c, Do n nên -2n + 3 , Để C = = −3 + lớn nhất 
 2 − 2nn + 3 2 − 2 + 3 
 7
 hay là số dương lớn nhất, hay -2n + 3 là số nguyên dương bé nhất => -2n+3 =1 => n 
 −+23n
 =1 
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 7