Chuyên đề Phân loại một số dạng toán về quan hệ vuông góc trong không gian - Toán học 11

 Tên chuyên đề: Phân loại một số dạng toán về quan hệ vuông góc trong 
không gian.
 MÔ TẢ CHUYÊN ĐỀ
1. Hoàn cảnh : 
 Toán học là một môn khoa học có tính trừu tượng cao độ và tính thực 
tiễn phổ dụng lớn. Trong nhà trường phổ thông, môn toán giữ một vị trí hết sức 
quan trọng. Môn toán là môn học công cụ để học tập những môn học khác 
trong nhà trường; giúp học sinh hình thành và phát triển những phương pháp, 
phương thức tư duy và hoạt động; góp phần phát triển năng lực trí tuệ chung 
như: phân tích, tổng hợp, trừu tượng hoá, khái quát hoá ..., rèn luyện những đức 
tính, phẩm chất của người lao động mới như tính cẩn thận, chính xác, tính kỉ 
luật, sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mĩ. Do vậy, việc dạy và học môn toán ở 
trường phổ thông có ý nghĩa rất quan trọng. 
 Trong dạy học toán ở trường phổ thông, bài tập toán là phương tiện có 
hiệu quả và không thể thay thế được trong việc giúp người học nắm vững tri 
thức, phát triển tư duy, hình thành kĩ năng, kĩ xảo. Bài tập nhằm đánh giá kết 
quả dạy và học, đánh giá khả năng độc lập hoạt động toán học và đánh giá trình 
độ phát triển của học sinh. Việc dạy học giải bài tập toán không có nghĩa giáo 
viên chỉ đơn thuần cung cấp cho học sinh lời giải bài toán mà quan trọng là 
hướng dẫn học sinh làm thế nào để giải được bài toán. Để tăng hứng thú học 
tập cho học sinh phát triển tư duy, rèn luyện kĩ năng hoạt động độc lập sáng tạo 
cho học sinh, người thầy cần hình thành cho học sinh quy trình chung, các 
phương pháp tìm tòi lời giải một bài toán. 
 Trong môn toán ở trường phổ thông phần hình học không gian giữ một 
vai trò, vị trí hết sức quan trọng. Ngoài việc cung cấp cho học sinh kiến thức, kĩ 
năng giải toán hình học không gian, còn rèn luyện cho học sinh đức tính, phẩm 
chất của con người lao động mới: cẩn thận, chính xác, có tính kỉ luật, tính phê 
phán, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mĩ, tư duy cho học sinh. Không những 
thế hình học không gian lại là một phần rất quan trọng trong nội dung thi đại 
 1 Khoảng cách giữa đường thẳng a và a O
mp(P) song song với a là khoảng cách 
từ một điểm O thuộc a đến mp(P).
hay d(a;(P)) = OH H
 P
+) Định nghĩa 6: Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song:
là khoảng cách từ một điểm bất kỳ 
 O
trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia. P
d((P);(Q)) = OH 
 H
 Q
+) Định nghĩa 7: Đường vuông góc chung và khoảng cách giữa hai đường 
thẳng chéo nhau:
a) Đường thẳng cắt hai đường thẳng 
chéo nhau a, b và cùng vuông góc với M
mỗi đường thẳng ấy được gọi là a
đường vuông góc chung của a và b. b
 N
b) Nếu đường vuông góc chung cắt hai đường thẳng chéo nhau a, b lần lượt 
tại M, N thì độ dài đoạn thẳng MN gọi là khoảng cách giữa hai đường thẳng 
chéo nhau a, b.
2.2. Các định lý, tính chất thường được sử dụng
 a  b I
 Định lý 1: a,b  (P) d  (P)
 d a,d b
   
 d  (P)
 Định lý 2: (P)  (Q)
 d  (Q)
 3 cảm thấy chán nản nên việc giảng dạy của giáo viên gặp nhiều khó khăn. Hơn 
thế nữa, nhiều giáo viên trung học phổ thông hiện nay dạy học chỉ bám sát sách 
giáo khoa hoặc tài liệu chuẩn chưa có sự sáng tạo trong quá trình dạy học còn 
nặng về truyền thụ một chiều chưa tìm tòi ra phương pháp dạy học gây hứng 
thú cho học sinh. Như vậy, học sinh sẵn có tâm lí lười và sợ phần kiến thức này 
thì càng tạo cho các em tâm lí ngại học hơn. 
3.3. Nguyên nhân dẫn đến tình trạng trên: 
 Do tâm lí của một bộ phận không nhỏ học sinh hiện nay rất lười học, 
ngại suy nghĩ nên với phần kiến thức tương đối khó này các em có tâm lí ngại 
học.
 Trong dạy học toán, tiết luyện tập chiếm tỉ trọng lớn, nhiều tiết luyện tập 
của giáo viên chỉ dừng lại ở tiết chữa bài tập chưa đúng là tiết luyện tập làm 
ảnh hưởng đến khả năng giải toán của các em, làm các em chưa phát huy được 
năng lực cá nhân. Tâm lí thụ động ăn sâu vào tiềm thức của học sinh nên nhiều 
em mất khả năng sáng tạo trong học tập. 
4. Các giải pháp, biện pháp thực hiện:
 Trong chương trình toán ở THPT thì có rất nhiều dạng toán về quan hệ 
vuông góc trong không gian. Nhưng trong khuôn khổ của sáng kiến thì sáng 
kiến chỉ đề cập đến các dạng toán:
 Dạng 1.Các bài toán chứng minh: chứng minh đường thẳng vuông góc với 
mặt phẳng, hai đường thẳng vuông góc và hai mặt phẳng vuông góc.
 Dạng 2. Các bài toán về khoảng cách: khoảng cách từ một điểm tới một 
mặt phẳng, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
4.1. Dạng 1: Các bài toán chứng minh: chứng minh đường thẳng vuông góc 
với mặt phẳng, hai đường thẳng vuông góc và hai mặt phẳng vuông góc.
4.1.1. Loại 1. Chứng minh đường thẳng vuông góc mặt phẳng.
 Ta có các phương pháp cơ bản sau: 
 5 (P)  (Q) a
 (P)  (R) a  (R)
 (Q)  (R)
 Phương pháp 5: Sử dụng tính chất: Nếu hai mặt phẳng song song với 
nhau, đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng này thì nó vuông góc với mặt 
phẳng kia . 
(P) / /(Q)
  a  (Q)
a  (P) 
Ví dụ 1 . Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C, 
SA  (ABC)
a) Chứng minh rằng: BC  (SAC)
b) Gọi E là hình chiếu vuông góc của A trên SC. Chứng minh rằng: 
AE  (SBC)
c) Gọi mp(P) đi qua AE và vuông góc với (SAB), cắt SB tại D. Chứng minh 
rằng: SB  (P)
d) Đường thẳng DE cắt BC tại F. Chứng minh rằng: AF (SAB) 
Phân tích: 
 7 Theo c) SB  (ADE) AF  SB (8). Lại có SA  SB S(9) 
SA,SB  (SAB) (10). Từ (7) và (8), (9), (10) suy ra: AF  (SAB)
Ví dụ 2 Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và BCD là hai tam giác cân có 
chung cạnh BC. I là trung điểm của cạnh BC.
a) Chứng minh BC  (ADI)
b) Gọi AH là đường cao của tam giác ADI chứng minh AH  (BCD)
Phân tích Ta nhận thấy đề bài cho hai tam giác ABC và tam giác BCD là hai 
tam giác cân có chung cạnh BC nên AI và DI là hai đường trung tuyến đồng 
thời là đường cao. Như vậy BC vuông góc với hai đường cắt nhau nằm trong 
mặt phẳng (ADI) nên ta dùng phương pháp 1 để chứng minh.
 Giải
aa a) Ta có ABC và DBC cân A
và I là trung điểm của BC nên :
 BC  AI
 BC  (ADI)
 BC  DI
b) Ta có 
 B D
 BC  (ADI) H
 BC  AH
 AH  (ADI)
 I
Có C
 AH  BC
 AH  ID
 AH  (BCD)
 BC,ID  (BCD)
 BC  ID H
 9 Phân tích Ta nhận thấy (SAB) vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Mà tam 
giác SAB đều nên SI là trung tuyến đồng thời là đường cao. Chính vì vậy ta sử 
dụng phương pháp 3 để chứng minh SI vuông góc với mặt phẳng (ABCD)
 Giải
Ta có: S
SI  AB 
(SAB)  (ABCD) SI  (ABCD)
SI  (SAB) F
  D
 A
 SI  CF (11) H
 I
 B C
Mặt khác, xét hai tam giác vuông ADI 
và DFC có: AI=DF, AD=DC. Do đó, A F D
 AID DFC từ đó ta có: 1 2
Iµ Fµ  H
 1 1 1
¶ ¶ µ ¶ 0 I
D2 C2  F1 D2 90
Iµ D¶ 900 2
 1 2  
 · 0
 FHD 90 B C
Hay CF  ID (12)
Từ (11) và (12) suy ra: FC  (SID)
4.1.2.Loại 2. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc
Phương pháp: 
+) Phương pháp 1 : Dùng định nghĩa: (a¶,b) 900 a  b
+) Phương pháp 2 : Dùng tích vô hướng
Với u,v là véc tơ chỉ phương của a và b thì a  b u.v 0
 b / /c
+) Phương pháp 3 : a  b
 a  c
 11 với mặt phẳng. Khi chứng minh tam giác SCD là tam giác vuông ta phải chứng 
minh AC CD bằng cách sử dụng phương pháp 1 là tính ·ACD 900 .
 Giải
 SA  (ABCD)
Ta có SA  AB,SA  AD SAB, SAD là tam giác 
 AB, AD  (ABCD)
vuông. 
 BC  SA
 Ta lại có BC  SB SBC là tam giác vuông tại B.
 BC  AB
Ta có: 
 S
SA  (ABCD) 
  SA  CD(13)
CD  (ABCD)
+ Gọi I là trung điểm của AD. I D
 A
Tứ giác ABCI là hình vuông. Do 
đó, ·ACI 450 (*). Mặt khác, 
 CID là tam giác vuông cân tại B C
I nên: D· CI 450 (**).
Từ (*) và (**) suy ra: 
·ACD 900 hay AC  CD (14)
Từ (13) và (14) suy ra: 
CD  (SAC) CD  SC hay 
∆SCD vuông tại C
Ví dụ 2: Cho tứ diện đều ABCD. Gọ I, J lần lượt là trung điểm của AC và BD.
 a) Chứng minh AC  BD
 b) Chứng minh IJ  AC;IJ  BD
   
 c) Trên AB và CD lần lượt lấy các điểm M và N sao cho AM k AB ;
  
CN kCD . Chứng minh rằng khi k thay đổi MN và IJ luôn vuông góc với 
nhau. 
 13