Chuyên đề Phân chia một khối đa diện thành nhiều khối đa diện - Hình học 12

 HÌNH HỌC 12. 
 CHƯƠNG I. KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN 
 BÀI 3. KHÁI NIỆM VỀ THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN 
 Dạng 9: Phân chia một khối đa diện thành nhiều khối đa diện - Ứng dụng vào giải toán. 
A. Phương pháp giải (kiến thức cần nhớ): 
+ Nếu khối đa diện H được phân chia thành các khối đa diện H1 và H2 thì thể tích của 
bằng tổng thể tích của và . Và trong nhiều trường hợp việc sử dụng các phép nhân chia 
các khối đa diện sẽ giúp cho chúng ta phương pháp tính thể tích của các khối đa diện , đặc biệt là các 
khối đa diện không phải khối cơ bản . Phương pháp này chỉ nên dùng khi việc sử dụng công thức tính 
thể tích trực tiếp gặp nhiều khó khăn trong khi tính thể tích các hình liên quan đơn giản. 
+Lưu ý: Việc phân chia nhỏ khối đa diện lớn thành các đa diện nhỏ hơn phải đảm bảo nguyên tắc 
các khối được phân chia không có điểm trong chung. 
B. BÀI TẬP TỰ LUẬN (Có giải chi tiết) 
 Ví dụ 1 
 [2H1-3.2-2] Cho hình chóp có đáy là hình bình hành, có thể tích bằng 2. Gọi
 theo thứ là trung điểm của Tính thể tích khối chóp . 
 Lời giải 
Ta có: VVVS... CDMN S CDM S CMN 
 VS. CDM SM 1 1 1
Mặt khác: VVVS... CDM S CDA S ABCD 
 VS. CDA SA 2 2 4
VS. CNM SN SM 1 1 1 1 1
 .. VVVS... CNM S CBA S ABCD 
VS. CBA SB SA 2 2 4 4 8
 1 1 3 33
Suy ra: VVVVVV = .2 . 
 S...... CDMN S CDM S CMN4 S ABCD 8 S ABCD 8 S ABCD 84
 Ví dụ 2 
 [2H1-3.2-2] Cho lăng trụ đứng . Gọi là trung điểm của . Chứng minh rằng 
 mặt phẳng chia lăng trụ thành hai phần có thể tích bằng nhau. 
 Lời giải 
1 
V h. S 
 ABCDABCD. ABCD 11
 1 1 1  VVABCD.. ABCDABCD . 
V h... S h S 66
 ABCDBCDABCD. 3 3 2  
 Ví dụ 4 
 [2H1-3.2-3] Cho khối đa diện như hình vẽ bên, trong đó là khối lăng trụ tam 
 giác đều có tất cả các cạnh bằng 1 và là khối chóp tam giác đều có độ dài cạnh bên bằng 
 . Thể tích của khối đa diện đã cho bằng 
 S
 A C
 O
 B
 A' C'
 B'
 Lời giải 
 2 2
 3 2 3 1
Diện tích tam giác đều cạnh là và 22 . 
 ABC 1 S SO SA OA 
 4 3 3 3
 3 1 3 1 5 3
Ta có VHVV() .1 . . . 
 ABC.'''. A B C S ABC 4 3 4 3 18
3 
Gọi N là trung điểm của CD: HN CD SN  CD SNH 60 
 1
 HN CD SN  CD SNH 60 HN SN SN 2 DN 
 2
 SM 1
HN a HD a 2 ; SH a3 SC SD a 5 CM a SM 2 a 
 SD 5
 1 1 1 1a3 3
V V . S . SH a2 . a 3 
 S.. ACD2 S ABCD 2 3 ABCD 6 6
 Ta có: 
 V SM
 S. ACM 
 VS. ACD SD
 SM SM 13 a3
 VVVVVVACDM S..... ACD S ACM S ACD S ACD 11 S ACD 
 SD SD 5 6
 Ví dụ 7 
 [2H1-3.2-4] Cho hình lăng trụ có đáy là hình chữ nhật , 
 . Hình chiếu vuông góc của trên mặt phẳng trùng với giao điểm của 
 và . Góc giữa hai mặt phẳng và bằng . Tính thể tích khối tứ diện 
 . 
 Lời giải 
 A' B' A' B'
 D' C' D' C'
 A a A a
 B B
 I 60°
 O O
 D D
 C C 
Gọi O  AC BD và I là trung điểm của AD . 
Ta có ADD A  ABCD AD , OI AD và A O ABCD nên góc giữa hai mặt phẳng 
 ADD A và ABCD là A IO 60 . 
 aa3
Tam giác A IO vuông tại O nên A O IOtan A IO  tan60  . 
 22
 aa333
Thể tích của khối lăng trụ ABCD. A B C D là V AB. AD . A O a . a 3  . 
 22
 1 1 1aa 3 3
Dễ thấy V V V V   ADDCAO aa3 . 
 CC B D B' ABC AA B D D ACD 3 2 6 2 4
Vậy thể tích khối tứ diện ACB D là 
 3a3 a 3 a 3
VVVVVVVV 44  . 
 ACB D CC B D B' ABC AA B D D ACD D ACD 2 4 2
5 
Trong mặt phẳng ABB A : AA  B M S . 
Ta có M , N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB và AC nên MN là đường trung bình của tam 
giác ABC MN // BC . Do đó, MN // B C . 
Ta có: ba điểm S , N , C cùng thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng MNC B và ACC A 
 , , thẳng hàng. 
 SA AM 1
Ta có AM // A B nên A là trung điểm của SA . 
 SA A B 2
 1 13 3
Do đó, SA 2 và SA 1. Mặt khác: SS . . 
 AMN4 ABC 44 16
Kí hiệu V1 , V2 tương ứng là thể tích của các khối chóp SABC. và S. AMN . 
Thể tích của khối đa diện AMNA B C là 
 111 3 1 3 73
VVV ....SA S SA S .2. .1. (đơn vị thể tích). 
 1233 A B C AMN 3 4 3 16 48
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN (Có giải chi tiết) 
Câu 1. Cho hình hộp ABCD. A B C D có thể tích là V . Tính thể tích khối chóp ACB D . 
 Lời giải 
 Tác giả:Trần Phương; Fb: Trần Phương 
 VV
VVVVVV VV 4. 
 ACB D B.... AB C A AB D C CB D D ACD ACB D 63
Câu 2. Cho hình lăng trụ đứng ABC. A B C có thể tích là V .Tính thể tích khối chóp A . BCC B . 
7 
Chia khối đa diện ABCDS thành 2 khối chóp ABCD và SBCD : 
 2
+) Tứ diện đều ABCD cạnh 1 có thể tích : V 
 ABCD 12
+) Khối chóp có : 
 1 1SI 1 2
VSBCD .;...;. dSBCDS BCD dABCDS BCD V ABCD 
 3 3AI 2 24
 2 2 2
Suy ra, thể tích của khối đa diện ABCDS bằng V 
 ABCDS 12 24 8
Câu 5. Cho hình lăng trụ tam giác ABC. A B C có đáy là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu của A 
trên mặt ABC trùng với trọng tâm H của tam giác ABC . Cạnh AA tạo với đáy một góc 45. 
Tính thể tích khối chóp ACA B . 
 Lời giải 
Khối lăng trụ được chia thành ba khối chóp CABC. , B .C AB , ACA B 
 1 1
Vì VV , VV 
 C.. A B C 3 ABC A B C B .C. AB3 ABC A B C 
 1
 VVVV V 
 ACA B ABC...C A B C C A B C B AB 3 ABC. A B C 
Tính VABC. A B C 
 a2 3
+ ABC là tam giác đều S . 
 ABC 4
+ AA , ABC A AH 45  . 
9 
 1
+ Vì ADF. BCE là hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông cân nên ta có V AB. S
 ADF. BCE BCE 2
. 
+Vì tứ giác CDFE là hình chữ nhật và S là điểm đối xứng với B qua đường thẳng DE nên 
 1 1 1 1
VVVV 2 2 2 2. .CD . S 2. .1. . 
 SCDFE S... CDE B CDE D BCE 3BCE 3 2 3
 1 1 5
+ VVV . 
 H ADF.. BCE S CDFE 2 3 6
Câu 8. Cho hình vuông ABCD và ABEF cạnh bằng 1, lần lượt nằm trên hai mặt phẳng vuông góc 
 1
với nhau. Gọi H là điểm trên cạnh ED sao cho EH ED và S là điểm trên tia đối của HB sao 
 3
 1
cho SH BH . Thể tích khối đa diện ABCDSEF . 
 3
 Lời giải 
 3 1 3
EH Ta có EH ED nên ED BE2 EH. ED DE  BH 
 3 3 3
Chia khối đa diện ABCDSEF thành 2 khối là khối lăng trụ ADF. BCE và khối chóp S. CDFE 
 11
V AD.. AF AB . 
 ADF. BCE 22
Tính thể tích khối chóp S. DCEF : 
Ta có SDCEF 1. 2 2 ( vì DCEF là hình chữ nhật), kẻ BK CE BK CDFE 
 1 1 1 2
Vì SH BH d S,, CDFE d B CDFE BK 
 3 336
 1 1 2 1
 VS. DCEF . d S , CDFE . S DCEF . . 2 . 
 3369
 1111
Vậy thể tích khối đa diện là: V . 
 2 9 18
Câu 9. Cho hình lập phương ABCD. A B C D có cạnh bằng a . Gọi O là tâm hình vuông ABCD .
S là điểm đối xứng với O quaCD . Thể tích của khối đa diện ABCDSA B C D . 
 Lời giải 
11