Chuyên đề Ôn thi vào lớp 10 môn Toán - Quỹ tích

 QUỸ TÍCH 
 PHƯƠNG PHÁP CHUNG ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN QUỸ TÍCH 
I). Định nghĩa: 
Một hình H được gọi là tập hợp điểm ( Quỹ tích) của những điểm M thỏa 
mãn tính chất A khi và chỉ khi nó chứa và chỉ chứa những điểm có tính chất 
A . 
II). Phương pháp giải toán: 
Để tìm một tập hợp điểm M thỏa mãn tính chất A ta thường làm theo 
các bước sau: 
Bước 1: Tìm cách giải: 
+ Xác định các yếu tố cố định, không đổi, các tính chất hình học có liên
quan đến bài toán
+ Xác định các điều kiện của điểm M
+ Dự đoán tập hợp điểm.
Bước 2: Trình bày lời giải: 
 A. Phần thuận:Chứng minh điểm M thuộc hình H
 B. Giới hạn: Căn cứ vào các vị trí đặc biệt của điểm M để chứng minh
 điểm M chỉ thuộc một phần B của hình H ( Nếu có)
 C. Phần đảo: Lấy điểm M bất kỳ thuộc B. Ta chứng minh điểm M
 thoả mãn các tính chất A 
 D. Kết luận: Tập hợp các điểm M là hình B. (Nêu rõ hình dạng và
 cách dựng hình B)
 d) Kết luận: Tập hợp các trung điểm M của AB là đường trung trực
 của đoạn OA .
II) TẬP HỢP ĐIỂM LÀ TIA PHÂN GIÁC
Tập hợp các điểm M nằm trong góc xOy khác góc bẹt và cách đều hai 
cạnh của góc xOy là tia phân giác của góc xOy . 
 y
 z
 M
 O x
Ví dụ 1) Cho góc xOy trên tia Ox lấy điểm A cố định . B là điểm chuyển 
động trên tia Oy . Tìm tập hợp các điểm C sao cho tam giác ABC vuông 
cân tại C . 
Giải: y
 z
 a) Phần thuận: B
Dựng CH, CK lần lượt vuông góc với Ox, Oy K C
 thì vCAH = vCBK CH = CK . C1
 A H x
Mặt khác góc xOy cố định O
suy ra C tia phân giác Oz của góc xOy
 b) Giới hạn, Phần đảo: Dành cho học sinh.
 c) Kết luận:Tập hợp điểm C là tia phân giác của góc 
 Ví dụ 2: Cho tam giác ABC và điểm K chuyển động trên cạnh AC, P là 
điểm chuyển động trên trung tuyến BD của tam giác ABC sao cho 
SSAPK= BPC . Gọi M là giao điểm của AP, BK Tìm tập hợp các điểm M . 
Hướng dẫn: 
Bài toán liên quan đến diện tích nên ta 
 A
 F
dựng các đường cao E
 K I
 M1
MF⊥ AC,,, BE ⊥ AC AH ⊥ BD CI ⊥ BD M D
 H
Ta dễ chứng minh được: P
 B C
 M
SSMK MF AH AD 2
 ABK = =,1ABD = = =
SAMK BK BE SBDC CI DC
 SAPB AH
Mặt khác ta cũng có: ==1. Từ giả thiết ta suy ra SSAPK= APB . 
 SBPC CI
 S MK 1
Nhưng APK = =1 BM = BK
 SAPB BM 2
Vậy tập hợp điểm M là đường trung bình song song với cạnh AC của tam 
giác ABC trừ hai trung điểm MM12, của tam giác ABC
điểm I . 
Ví dụ 3: Cho đường tròn (O) có hai đường kính AB,CD vuông góc với nhau . 
Một điểm M chuyển động trên đoạn thẳng AB ( M không trùng với O,A,B) . 
Đường thẳng CM cắt (O) tại giao điểm thứ 2 là N . Đường thẳng vuông góc với 
AB tại M cắt tiếp tuyến tại N của (O) ở điểm P . Chứng minh rằng điểm P 
luôn chạy trên một đoạn thẳng cố định: 
Hướng dẫn: 
 C
 M O
 A B
 N
 P D 1. Nếu AB, cố định. Thì tập hợp các điểm M sao cho AMB =900 là 
 đường tròn đường kính AB ( Không lấy các điểm AB, ) 
 2. Nếu điểm O cố định thì tập hợp các điểm M cách O một khoảng
 không đổi R là đường tròn tâm O bán kính R .
 3. Tập hợp các điểm M tạo thành với 2 đầu mút của đoạn thẳng AB
 cho trước một góc MAB = không đổi (0 1800 ) là hai cung
 tròn đối xứng nhau qua AB . Gọi tắt là ‘’cung chứa góc ‘’
 M
 α
 A A B
 O
 α
 M
Ví dụ 1. Cho tam giác cân ABC ()AB= AC và D là một điểm trên cạnh 
BC . Kẻ DM / /AB ( M AC ). DN / /AC() N AB . Gọi D' là điểm đối xứng 
của D qua MN . Tìm quỹ tích điểm D' khi điểm D di động trên cạnh BC . 
Hướng dẫn giải: 
 A
 M
 D'
 N
 B D C
 11
a) Ta có DBK= sđDA + sđAK ;sđDIB= sđBD + sđKC .
 22( ) ( )
Vì sđBD+ sđDA và DBI cân tại D nên sđKC+ sđAK . Suy ra AK= CK 
hay KAC cân tại K (đpcm). 
b) Từ kết quả câu a, ta thấy I là tâm đường tròn nội tiếp ABC nên đường
thẳng AI luôn đi qua điểm J (điểm chính giữa của cung BC không chứa 
A ). Rõ ràng J là điểm cố định. 
 1
c). Phần thuận: Do AMC cân tại A , nên BMC= BAC . Giả sử số đo 
 2
BAC là 2 (không đổi) thì khi A di động trên cung lớn BC thì M thuộc 
cung chứa góc dựng trên đoạn BC về phía điểm O . 
Phần đảo: Tiếp tuyến Bx với đường tròn ()O cắt cung chứa góc vẽ trên
đoạn BC tại điểm X . Lấy điểm M bất kỳ trên Cx (một phần của cung chứa 
góc và vẽ trên đoạn BC() M#X;M#C . Nếu MB cắt đường tròn ()O tại A 
thì rõ ràng A thuộc cung lớn BC của đường tròn .
Vì BAC= 2 ;AMC = suy ra AMC cân tại A hay AC= AM.
Kết luận: Quỹ tích các điểm M là cung Cx , một phần của cung chứa góc 
 vẽ trên đoạn BC về phía O trừ hai điểm C và X . 
Ví dụ 3. Cho đường tròn OR; và dây BC cố định. A là điểm di động 
trên đoạn thẳng BC . D là tâm của đường tròn đi qua AB, và tiếp xúc với 
OR; tại B ; E là tâm của đường tròn đi qua AC, và tiếp xúc với OR;
tại C . Tìm tập hợp các giao điểm M khác A của hai đường tròn D và 
 11
 MBC ADE MBC ADE ADM, MCB AED AEM , 
 22
suy ra BMC DAE DOE (không đổi). BC cố định. vậy M thuộc 
cung chứa góc BOC . 
b) Giới hạn:
Khi AB thì MB, Khi AC thì MC. Vậy M chuyển động 
trên cung chứa BOC . 
c) Phần đảo: Lấy điểm M bất kỳ trên cung chứa góc BOC . Dựng đường
tròn D qua M và tiếp xúc O tại B , đường tròn D cắt BC tại A .
Dựng đường tròn E qua MAC,, . Cần chứng minh E tiếp xúc O tại 
C . Thật vậy, từ BC, dựng hai tiếp tuyến Bx, Cy của O ta có 
BMA ABx (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến dây cung cùng 
chắn AB ),ABx ACy (vì NB NC ). Suy ra BMA ACy, suy ra 
Bx,, Cy MA đồng quy tại N . Do đó AMC ACy , suy ra CN là tiếp 
tuyến của E qua NAC,, . Vậy E và O tiếp xúc nhau tại C . 
 d) Kết luận: Tập hợp các điểm M là cung chứa góc BOC dựng trên
 đoạn BC .
Ví dụ 4. Cho ba điểm ABC,, cố định và thẳng hàng theo thứ tự đó. Vẽ 
đường thẳng d vuông góc với AC tại CD, là điểm di động trên đường 
thẳng d . Từ B vẽ đường thẳng vuông góc AD tại H H AD cắt 
đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD tại MN, . Tìm tập hợp các điểm 
MN, . 
Hướng dẫn: (d)
 D
 M
 H
 B
 A C
 N AM22 AN AH. AD . Xét AMH và ADM có A chung, 
AM AH
 AM2 AH. AD . Do đó 
AD AM
 AMH ADM AHM AMD . Mà AHM 900 nên 
AMD900 M thuộc đường tròn ngoại tiếp ACD . 
Tương tự N cũng thuộc đường tròn ngoại tiếp ACD . 
d). Kết luận: Tập hợp các điểm M là đường tròn A;. AB AC .
Ví dụ 5. Cho đường tròn OR; hai đường kính AB và CD vuông góc. 
M là điểm di động trên CAD . H là hình chiếu của M trên AB . Gọi I là 
tâm đường tròn nội tiếp tam giác HMO . Tìm tập hợp các điểm I . 
Hướng dẫn: C
 M
a) Phần thuận: I
 A B
 HMO có H O
H9000 HMO HOM 90 . 
 1
Do đó IMO IOM HOM 450 D
 2
 IMO có OIM18000 IMO IOM 135 . Xét IMO và 
 IAO có OI (chung); OM OA R; IOM IOA (I là tâm đường 
tròn nội tiếp HMO ). Do đó IMO IAO (c.g.c) IOM OIA 
 a) Phần thuận: CD cắt AB tại M .
Xét MAD và MCA có AMD C
 O'
 I
(chung), MAD MCA O
(góc tạo bởi tia tiếp tuyến, dây cung D
 A M B
và góc nội tiếp cùng chắn cung AD ). 
 MA MD
Do đó MAD MCA MA2 MC. MD . Chứng 
 MC MA
minh tương tự ta có MB2 MC. MD . Suy ra
MA22 MB MA MB M cố định. IC ID OI CD
OIM900 , OM cố định. Do đó I thuộc đường tròn đường kính OM . 
b) Giới hạn: Điểm I là trung điểm dây cung CD của OI nằm trong
đường tròn OI chuyển động trên đường tròn đường kính OM nằm 
trong đường tròn O . 
c) Phần đảo: Lấy điểm I bất kỳ trên đường tròn đường kính OM (phần
nằm trong đường tròn O )
 OIM 900 . MI cắt O tại CD, . Gọi O ' là đường tròn BDC . 
OI CD I là trung điểm CD . MAD MCA (vì AMD chung, 
 MA MD MB MD
MAD MCD ) . Mà MA MB , suy ra . 
 MC MA MC MB
 MB MD
Xét MDB và MBC có M chung, . Do đó 
 MC MB
 MDB MBC MBD MCB . Vẽ O' H DB , ta có