Chuyên đề Ôn thi vào lớp 10 môn Toán - Hệ thức lượng trong tam giác vuông

 HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUễNG
 Hệ thức về cạnh và đường cao
KIẾN THỨC CƠ BẢN
Khi giải cỏc bài toỏn liờn quan đến cạnh và đường cao trong tam giỏc 
vuụng, ngoài việc nắm vững cỏc kiến thức về định lý Talet, về cỏc trường 
hợp đồng dạng của tam giỏc, cần phải nắm vững cỏc kiến thức sau:
Tam giỏc ABC vuụng tại A , đường cao AH , ta cú:
1) a2 = b2 + c2 . A
2) b2 = a.b';c2 = a.c '
 b
 c
 h
3) h2 = b'.c '
 b'
4) a.h = b.c . B c' H C
 a
 1 1 1
5) = + .
 h2 b2 c2
 b' b2
6) = . 
 a a2
 1
Chỳ ý: Diện tớch tam giỏc vuụng: S = ab
 2
Vớ dụ 1. Cho tam giỏc ABC vuụng tại A , đường cao AH . Biết 
AB : AC = 3 : 4 và AB + AC = 21cm .
a) Tớnh cỏc cạnh của tam giỏc ABC .
b) Tớnh độ dài cỏc đoạn AH,BH,CH . Giải:
a). Gọi H là trung điểm của BC . Theo định lý Pitago ta cú:
 2 2 2 2 2
AH = AC - HC = b - a A
 1 1
Suy ra S = BC.AH = a b2 - a2
 ABC 2 2
ị AH = b2 - a2 K
 1 1
b). Ta cú BC.AH = BK .AC = S H
 2 2 ABC B C
 BC.AH 2a
Suy ra BK = = b2 - a2 . Áp dụng định lý Pitago trong tam 
 AC b
giỏc vuụng AKB ta cú: 
 2
 2 2
 4a2 (b - 2a )
AK 2 = AB 2 - BK 2 = b2 - (b2 - a2) = . Suy ra 
 b2 b2
 2 2 2 2
 b - 2a AK b - 2a
AK = do đú = .
 b AC b2
Vớ dụ 3: Cho tam giỏc ABC với cỏc đỉnh A,B,C và cỏc cạnh đối diện với 
cỏc đỉnh tương ứng là: a,b,c . 
 a) Tớnh diện tớch tam giỏc ABC theo a
 b) Chứng minh: a2 + b2 + c2 ³ 4 3S
Giải:
 A
a). Ta giả sử gúc A là gúc lớn nhất của tam giỏc
ABC ị B,C là cỏc gúc nhọn. Suy ra chõn 
đường cao hạ từ A lờn BC là điểm 
 B H
 C 2
được: (a + b + c) Ê 3(a2 + b2 + c2) suy ra 
 3(a2 + b2 + c2)
S Ê Û a2 + b2 + c2 ³ 4 3S
 12 3
Dấu bằng xảy ra hki và chỉ khi tam giỏc ABC đều.
Vớ dụ 4. Cho tam giỏc nhọn ABC đường cao CK ; H là trực tõm của tam 
 ã 0
giỏc. Gọi M là một điểm trờn CK sao cho AMB = 90 . S,S1,S2 theo thứ 
tự là diện tớch cỏc tam giỏc AMB,ABC và ABH . Chứng minh rằng 
S = S1.S2 .
Giải: A
 D
Tam giỏc AMB vuụng tại M cú M
MK ^ AB nờn MK 2 = AK .BK (1).
 H
DAHK : DCBK vỡ cú 
 B C
 K
ã ã 0 ã ã
AKH = CKB = 90 ; KAH = KCB 
 ã AK HK
(cựng phụ với ABC ). Suy ra = , do đú AK .KB = CK .KH (2)
 CK BK
Từ (1) và (2) suy ra MK 2 = CK .HK nờn MK = CK .HK ; 
 1 1 1 1
S = .AB.MK = AB. CK .HK = AB.CK . AB.HK = S S .
 AMB 2 2 2 2 1 2
Vậy S = S1.S2 .
Vớ dụ 5. Cho hỡnh thang ABCD cú 
à à 0 à 0
A = D = 90 ,B = 60 ,CD = 30cm,CA ^ CB . Tớnh diện tớch của hỡnh B
+ Nếu a là một gúc nhọn thỡ 
 Cạnh huyền
0 < sin a < 1;0 < cosa < 1; Cạnh đối
tan a > 0;cot a > 0
 α
 A C
 Cạnh kề 
2. Với hai gúc a,b mà a + b = 900 , 
ta cú: sin a = cosb;cosa = sin b;tan a = cot b;cot a = tan b .
Nếu hai gúc nhọn a và b cú sin a = sin b hoặc cosa = cosb thỡ a = b
.
3. sin2 a + cos2 a = 1;tga.cot ga = 1.
4. Với một số gúc đặc biệt ta cú: 
 1 2
sin 300 = cos600 = ;sin 450 = cos450 =
 2 2
 3 1
cos300 = sin 600 = ;cot 600 = tan 300 =
 2 3
tan 450 = cot 450 = 1;cot 300 = tan 600 = 3 .
 5
Vớ dụ 1. Biết sin a = . Tớnh cosa, tan a và cot a .
 13
Giải:
 C
Cỏch 1. Xột DABC vuụng tại A . 
 à AC 5
Đặt B = a . Ta cú: sin a = = 
 BC 13
 α
 AC BC A B
suy ra = = k , do đú 
 5 13 ã ã ã ã ã 0
HBD = CAD (cựng phụ với ACB ); HDB = ADC = 90 .
 DH BD
Do đú DBDH : DADC (g.g), suy ra = , do đú 
 DC AD
BD.DC = DH.AD (2). Từ (1) và (2) suy ra 
 AD 2 AD HD 1
tan B.tanC = = (3). Theo giả thiết = suy ra 
 DH.AD DH AH 2
 HD 1 HD 1
 = hay = , suy ra AD = 3HD . Thay vào (3) ta 
AH + HD 2 + 1 AD 3
 3HD
được: tan B.tanC = = 3 .
 DH
 12
Vớ dụ 3. Biết sin a.cosa = . Tớnh sin a,cosa .
 25
Giải:
 12
Biết sin a.cosa = . Để tớnh sin a,cosa ta cần tớnh sin a + cosa rồi 
 25
giải phương trỡnh với ẩn là sin a hoặc cosa .
Ta cú: 
 2 12 49
(sin a + cosa) = sin2 a + cos2 a + 2sin a.cosa = 1+ 2. = . Suy 
 25 25
 7 7
ra sin a + cosa = nờn sin a = - cosa . Từ đú ta cú: 
 5 5
 ổ ử
 ỗ7 ữ 12 7 2 12
cosa ỗ - cosaữ= Û cosa - cos a =
 ốỗ5 ứữ 25 5 25
Û 25cos2 a - 35cosa + 12 = 0 Û 5cosa (5cosa - 4)- 3(5cosa - 4) = 0
 4 3
Û (5cosa - 4)(5cosa - 3) = 0. Suy ra cosa = hoặc cosa = .
 5 5
 4 12 4 3
+ Nếu cosa = thỡ sin a = : = .
 5 25 5 5 2
HC 2 = AC 2 - AH 2 = 142 - (8 3) = 196 - 192 = 4. Suy ra HC = 2. 
Vậy BC = CH + HB = 2 + 8 = 10.
 1 1
b) Cỏch 1. S = BC.AH = .10.8 3 = 40 3 (đvdt)
 ABC 2 2
 1 1 3
Cỏch 2. S = BC.BA.sin B = .10.16. = 40 3 (đvdt)
 ABC 2 2 2
 ã 0 ã 0
Vớ dụ 2: Tớnh diện tớch tam giỏc ABC biết ABC = 45 ,ACB = 60 bỏn kớnh 
đường trũn ngoại tiếp tam giỏc ABC là R .
Giải:
 A
Giả thiết cú cỏc gúc cú số đo đặc biệt , nhưng tam 
giỏc ABC là tam giỏc thường nờn ta sẽ tạo ra tam
giỏc vuụng bằng cỏch. Dựng cỏc đường 
 600 450
thẳng qua C,B lần lượt vuụng gúc với C H B
AC,AB . Gọi D là giao điểm của hai đường
thẳng trờn. Khi đú tam giỏc ABD và ACD là cỏc tam giỏc D
vuụng và 4 điểm A,B,C,D cựng nằm trờn đường trũn đường kớnh 
AD = 2R . 
 3
Ta cú: AB = AD.sin 600 = AD. = R 3 . Kẻ đường cao AH suy ra 
 2
H ẻ BC .Tức là: BC = BH + CH . Tam giỏc AHB vuụng gúc tại H nờn 
 AB 2 3 2 R 6
AH = BH = AB.sin 450 = = AD . = . Mặt khỏc tam 
 2 2 2 2 . Xột tam giỏc vuụng AHB ta cú: 
 AH b2 + c2 - a2
cosA = = Û a2 = b2 + c2 - 2bc cosA .
 AB 2bc
Cỏch 2: Xột tam giỏc vuụng CHB ta cú: 
 2
BC 2 = BH 2 + HC 2 = BH 2 + (AC - AH ) = BH 2 + AH 2 + AC 2 - 2AC.AH
Ta cú: AH = CB.cosA suy ra 
BC 2 = BH 2 + AH 2 + AC 2 - 2AC.CB.cosA hay 
Û BC 2 = BA2 + + AC 2 - 2AC.CB.cosA Û a2 = b2 + c2 - 2bc cosA
b). Để chứng minh bài toỏn ta cần kết quả sau: 
+ sin 2a = 2sin a.cosa
 1
+ S = absinC
 2
 à 0
*) Thật vậy xột tam giỏc vuụng ABC,A = 90 , gọi M là trung điểm của 
 ã ã
BC , dựng đường cao AH . Đặt ACB = a ị AMB = 2a . 
 A
 AH h
Ta cú sin a = sinC = =
 AC b
 b
 h
 AC b
cosa = cosC = =
 BC a B H 2α M α C
 AH h 2h
sin 2a = sin ÃMH = = = . 
 AM a a
 2
Từ đú ta suy ra: sin 2a = 2sin a.cosa .
*) Xột tam giỏc ABC . Dựng đường cao BE ta cú: 
 A
 E
 B C