Chuyên đề Ôn thi vào lớp 10 môn Toán - Góc với đường tròn

 GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN
 KIẾN THỨC CƠ BẢN
 ·
- Góc ABE có đỉnh A nằm trên đường tròn (O) và các cạnh cắt đường 
tròn đó được gọi là góc nội tiếp (Hình). Trong trường hợp các góc nội tiếp 
có số đo không vượt quá 900 thì số đo của chúng bằng nửa số đo của góc ở 
tâm, cùng chắn một cung. Các góc nội tiếp đều có số đo bằng nửa số đo 
cung bị chắn. Vì thế, nếu những góc này cùng chắn một cung (hoặc chắn 
những cung bằng nhau) thì chúng bằng nhau, nếu các góc nội tiếp này bằng 
nhau thì các cung bị chắn bằng nhau.
 B C
 D
 O
 A E
 · · · 1 ¼
Trên hình vẽ ta có: ABE = ADE = ADE = sđAE 
 2
- Cho đường tròn (O) và dây cung AB . Từ điểm A ta kẻ tiếp tuyến Ax 
 ·
với đường tròn, khi đó BAx được gọi là góc tạo bởi tia tiếp tuyến với dây 
cung AB (Hình). Cũng như góc nội tiếp, số đo góc giữa tia tiếp tuyến và 
 · 1 ·
dây cung bằng nửa số đo cung bị chắn : sđBAx = sđAmB .
 2
 B
 O
 m
 A x · ·
Đối với đường tròn này ta thấy BAO = BCO (cùng chắn B¼O ). Mà 
· 0 · 0 · 0
BCO = 45 Þ BAO = 45 . Do BAC = 90 , nên 
· · · 0 · ·
CAO = BAC - BAO = 45 . Vậy BAO = CAO , nghĩa là AO là tia 
 ·
phân giác của góc vuông BAC (đpcm).
Ví dụ 2. Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O). Từ đỉnh A ta 
 · ·
kẻ đường cao AH (H thuộc BC ). Chứng minh rằng BAH = OAC .
Lời giải:
 A
 O
 H
 B C
 D E
 · 0
Kẻ đường kính AE của đường tròn (O). Ta thấy ACE = 90 (góc nội tiếp 
 · · 0
chắn nửa đường tròn). Từ đó OAC + AEC = 90 (1).
 · · 0 · ·
Theo giả thiết bài ra, ta có: BAH + ABC = 90 (2). Lại vì AEC = ABC 
(cùng chắn A¼C ) (3).
 · ·
Từ (1),(2) và (3) suy ra BAH = OAC (đpcm).
Lưu ý: Cũng có thể giải bài toán theo hướng sau: Gọi D là giao điểm của 
tia AH với đường tròn (O), chứng tỏ tứ giác BDEC là hình thang cân. Từ 
 » » · · · ·
đó suy ra sđBD = sđCE , dẫn đến BAD = CAE , hay BAH = OAC . · 0
c) Xét hai tam giác PBQ và PAC ta thấy BPQ = 60 , 
· · 0
APC = ABC = 60 (hai góc nội tiếp cùng chắn cung A¼C ) suy ra 
· · · · ·
BPQ = APC,PBQ = PBC = PAC (hai góc nội tiếp cùng chắn P¼C ). 
 PQ PC
Từ đó DPBQ : DPAC (g.g) Þ = , hay PQ.PA = PB.PC . 
 PB PA
Theo kết quả câu b , ta có PA = PB + PC nên 
PQ (PB + PC ) = PB.PC . Hệ thức này tương đương với 
 1 1 1
 = + (đpcm).
PQ PB PC
Ghi chú:
- Tứ giác ABCD có tính chất AB.CD = BC.AD (*) nói ở ví dụ trên được 
gọi là tứ giác điều hòa. Loại tứ giác đặc biệt này có nhiều ứng dụng trong 
việc giải các bài toán hình học phẳng khác.
 AB BC
- Nếu hệ thức (*) dưới dạng = và nhớ lại tính chất đường phân 
 AD CD
giác trong tam giác ta có thể nêu thêm một tính chất của tứ giác điều hòa.
- Tứ giác ABCD là một tứ giác điều hòa khi và chỉ khi các đường phân 
 · ·
giác của góc BAD và BCD cắt nhau tại một điểm trên đường chéo BD .
- Tứ giác ABCD là tứ giác điều hòa khi và chỉ khi đường phân giác của 
 · ·
gócABC và ADC cắt nhau trên đường chéo AC .
Ví dụ 4) Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O) . Đường phân 
giác trong góc A cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác tại D . Gọi I là tâm 
vòng tròn nội tiếp tam giác ABC . Chứng minh DB = DC = DI
Giải: 
Ta luôn có DB = DC do AD là phân giác trong góc A . Ta sẽ chứng minh 
tam giác DIB cân tại D . · · 1 æ» ¼ ö 1 æ¼ ¼ ö ·
Ta có BME º BMN = sđçAB + AN ÷= sđçNC + AN ÷= AMC , 
 2 èç ø÷ 2 èç ø÷
· ·
MBC = MAC Þ DBME : DAMC và MH,MK là hai đường cao 
 AC BE
tương ứng nên: = , chứng minh tương tự ta cũng có: 
 MK MH
AB CE BC AC AB
 = . Cộng hai đẳng thức trên ta có: = +
MI MH MH MK MI
Cách 2: Ta thấy MH,MI là các đường cao của tam giác MBC,MAB 
nhưng hai tam giác này không đồng dạng với nhau. Điều này giúp ta nghỉ 
 · ·
đến việc lấy một điểm E trên cạnh BC sao cho BMA = DMC để tạo ra 
tam giác đồng dạng nhưng vẫn giữ được hai đường cao tương ứng. (Phần lời 
giải xin dành cho bạn đọc).
2. Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
- Số đo góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung (tại một điểm trên đường tròn) 
bằng nửa số đo cung bị chắn.
 · · 1 ¼
- Trên hình vẽ: sđBAC = sđxBC = sđBC .
 A 2
 C
 O
 m
 x
 B
B. VÍ DỤ AP AI
 = Þ AP.AQ = AI 2 (không đổi). Giả sử đường tròn ngoại tiếp 
AI AQ
 B
tam giácBPQ cắt AB tại D (D ¹ B). 
Khi đó DADP : DAQB , suy ra I
 D
AD AP O
 = hay AD.AB = AP.AQ = AI 2 A
AQ AB P Q
(không đổi). Do đó điểm D là điểm 
cố định (đpcm).
 · 0
Ví dụ 3. Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm H và BAC = 60 . Gọi 
M ,N,P theo thứ tự là chân các đường cao kẻ từ A,B,C của tam giác 
ABC và I là trung điểm của BC . 
a) Chứng minh rằng tam giác INP đều. 
b) Gọi E và K lần lượt là trung điểm của PB và NC . Chứng minh rằng 
các điểm I ,M ,E,K cùng thuộc một đường tròn. 
 · ·
c) Giả sử IA là phân giác của NIP . Tìm số đo BCP .
 A
Lời giải:
a). Từ giả thiết ta có N
 P
 1 H
IN = IP = BC nên tam giác 
 2 E
 B C
INP cân tại I . Lại vì B,P,N,C M I
nằm trên đường tròn tâm I , đường kính BC nên theo mối liên hệ giữa góc 
 · · 0
nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn một cung, ta thấy PIN = 2PBN = 60 . 
Vậy tam giác INP đều. BP BO BC 2
Û DBPO : DCOQ Þ = Û BP.CQ = BO.CO = . Theo 
 CO CQ 4
bất đẳng thức Cô si ta có: BP + CQ ³ 2 BP.CQ = BC 
Þ SBPQC ³ R.(BC - BD). Vậy SBPQC nhỏ nhất khi BP = CQ Û M là 
trung điểm của cung DE . 
Chủ đề . Góc có đỉnh ở trong hoặc ngoài đường tròn.
KIẾN THỨC CẦN NHỚ
*) Với đỉnh A nằm trong đường tròn (O) ta có góc với đỉnh ở trong đường 
tròn (hình) 
 D C
Số đo của góc này bằng nửa tổng số 
 A
đo hai cung bị chắn giữa hai cạnh 
của góc và các tia đối của hai cạnh đó. 
 » »
 · sđBE + sđCD
+ sđBAE = . B E
 2
 » »
 · sđBD + sđCE
+ sđBAD = 
 2
*) Với đỉnh A nằm ở ngoài đường tròn (O) ta có số đo góc nằm ngoài 
đường tròn bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn.
 C
 B
 A
 n
+ Trên hình vẽ ta có: m
 D
 · 1æ ¼ ¼ ÷ö
sđCAE = çsđEmC - sđBnD÷ 
 2è ø E
Cần lưu ý đến các trường hợp sau: » » » 0
các cung AB,B¼C,CD,DA . Khi đó a + b + g + d = 360 . 
 ·
Xét góc A1IB1 là góc có đỉnh nằm B B1
 A C
trong đường tròn (O). Ta có 1 
 I
 1æ ö O
· ç ¼ ¼ ÷
A IB = sđA BB + sđC DD ÷ C1
 1 1 2èç 1 1 1 1ø÷
 A
 D
 1æ ¼ ¼ ¼ ¼ ö D
= çsđA B + sđBB + sđC D + sđDD ÷ 1
 2èç 1 1 1 1ø÷
 1
= (a + b + g + d) = 900 . Nghĩa là AC ^ B D (đpcm).
 4 1 1 1 1
Ví dụ 2. Cho bốn điểm A,D,C,B theo thứ tự đó nằm trên đường tròn tâm 
O đường kính AB = 2R (C và D nằm về cùng một phía so với AB ). 
Gọi E và F theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của A,B trên đường 
thẳng CD . Tia AD cắt tia BC tại I . Biết rằng AE + BF = R 3 .
 ·
a) Tính số đo AIB .
b) Trên cung nhỏ CD lấy điểm K . Gọi giao điểm của KA,KB với DC 
lần lượt là M và N . Tìm giá trị lớn nhất của MN khi K di động trên 
cung nhỏ CD .
Lời giải: I
a). Kẻ OH ^ CD (H Î CD), E
 D K
 M N
ta thấy OH là đường trung bình C
 H F
của hình thang ABFE , 
 A O B
 1 R 3
suy ra OH = (AE + BF ) = . 
 2 2