Chuyên đề Ôn thi vào lớp 10 môn Toán - Đường tròn

 ĐƯỜNG TRÒN
 CHỦ ĐỀ 1: SỰ XÁC ĐỊNH CỦA ĐƯỜNG TRÒN
Định nghĩa: Đường tròn tâm O bán kính R 0 là hình gồm các điểm cách 
điểm O một khoảng R kí hiệu là (O;R) hay (O)
+ Đường tròn đi qua các điểm A1 ,A2 ,...,An gọi là đường tròn ngoại tiếp đa 
giác A1A2...An
+ Đường tròn tiếp xúc với tất cả các cạnh của đa giác A1A2...An gọi là 
đường tròn nội tiếp đa giác đó.
Những tính chất đặc biệt cần nhớ:
+ Trong tam giác vuông trung điểm cạnh huyền là tâm vòng tròn ngoại tiếp
+ Trong tam giác đều , tâm vòng tròn ngoại tiếp là trọng tâm tam giác đó.
+ Trong tam giác thường: 
Tâm vòng tròn ngoại tiếp là giao điểm của 3 đường trung trực của 3 cạnh 
tam giác đó
Tâm vòng tròn nội tiếp là giao điểm 3 đường phân giác trong của tam giác 
đó
PHƯƠNG PHÁP: Để chứng minh các điểm A1 ,A2 ,...,An cùng thuộc một 
đường tròn ta chứng minh các điểm A1 ,A2 ,...,An cách đều điểm O cho 
trước.
Ví dụ 1) Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a . AM,BN,CP là các đường 
trung tuyến. Chứng minh 4 điểm B,P,N,C cùng thuộc một đường tròn. Tính 
bán kính đường tròn đó.
Giải: Kéo dài AD,CB cắt nhau tại điểm T thì tam giác TCD vuông tại T .
+ Do MN là đường trung bình của tam giác ABD nên NM / /AD
+ MQ là đường trung bình của tam giác ABC nên MQ / /BC . Mặt khác 
AD  BC MN  MQ . Chứng minh tương tự ta cũng có: 
MN  NP,NP  PQ . Suy ra MNPQ là hình chữ nhật. 
Hay các điểm M,N,P,Q thuộc một đường tròn có tâm là giao điểm O của 
hai đường chéo NQ,MP
Ví dụ 3) Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O) . Gọi M là 
trung điểm của AC
G là trọng tâm của tam giác ABM . Gọi Q là giao điểm của BM và GO . 
Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BGQ .
Giải:
 A
 P
 N G M
 Q
 I K
 O
 B C
Vì tam giác ABC cân tại A nên tâm O của vòng tròn ngoại tiếp tam giác 
nằm trên đường trung trực của BC .Gọi K là giao điểm của AO và BM
Dưng các đường trung tuyến MN,BP của tam giác ABM cắt nhau tại trọng 
tâm G .Do MN / /BC MN  AO . Gọi K là giao điểm của BM và AO thì 
K là trọng tâm của tam giác ABC suy ra GK / /AC . Gợi ý: B· CN 900 , hãy chứng minh B· MN 900
Ví dụ 5).Cho lục giác đều ABCDEF tâm O . Gọi M,N là trung điểm của 
CD,DE . AM cắt BN tại I . Chứng minh rằng các điểm M,I,O,N,D nằm 
trên một đường tròn.
Giải:
 N
 B C E D
 M H1 K1
 H I J
 K
 A D
 O O
 N
 B
 F E A
Do ABCDEF là lục giác đều nên OM  CD,ON  DE M,N,C,D nằm trên 
đường tròn đường kính OD . Vì tam giác OBN OAM nên điểm O cách 
đều AM,BN suy ra OI là phân giác trong của góc A· IN .
 OH  AM
Kẻ DH1 2OH (Do OH là đường trung bình của tam giác 
 DH1  AM
DAH1
 OK  BN OK JO 1
Kẻ DK1 2OK (Do với J AD  NB )
 DK1  BN DK1 JD 2
Do OK OH DH1 DK1 suy ra D cách đều AM,BN hay ID là phân 
giác ngoài của A· IN O· ID 900 . Vậy 5 điểm M,I,O,N,D cùng nằm trên 
một đường tròn đường kính OD .
Ví dụ 6) Cho hình vuông ABCD . Gọi M là trung điểm BC,N là điểm các cạnh đối diện. A2 ,B2 ,C2 là trung điểm của HA,HB,HC . Khi đó 9 điểm 
M,N,P,A1 ,B1 ,C1 ,A2 ,B2 ,C2 cùng nằm trên một đường tròn gọi là đường 
tròn Ơ le của tam giác 
Giải:
 A
 A2 B1
 C
 1 H P
 M
 Q
 I
 C2
 B2
 C
 B
 A1 N
 1 1
a). Thật vậy ta có MN P A C P AC, MA P NC P BH mà BH  AC 
 2 2 2 2 2 2
suy ra MNC2B2 là hình chữ nhật, tương tự ta có MPB2C2 , NPA2B2 là hình 
chữ 
nhật nên 9 điểm M,N,P,A1 ,B1 ,C1 ,A2 ,B2 ,C2 cùng nằm trên một đường tròn 
có tâm là trung điểm của các đường chéo của 3 hình chữ nhật trên. Từ đó ta 
suy ra tâm đường tròn Ơ le là trung điểm Q của HI
Ví dụ 8) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O)
AD là đường kính của (O) . M là trung điểm của BC,H là trực tâm của tam 
giác. Gọi X,Y,Z lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm D lên 
HB,HC,BC . Chứng minh 4 điểm X,Y,Z,M cùng thuộc một đường tròn 
Ví dụ 9) Cho tam giác ABC có trực tâm H . Lấy điểm M,N thuộc tia BC 
sao cho MN BC và M nằm giữa B,C . Gọi D,E lần lượt là hình chiếu 
vuông góc của M,N lên AC,AB . Chứng minh cácđiểm A,D,E,H cùng 
thuộc một đường tròn.
Giải: A
 D
 E
 H K
 C N
 B M
Giả sử MD cắt NE tại K . Ta có HB / /MK do cùng vuông góc với AC suy 
ra H· BC K· MN ( góc đồng vị) . 
Tương tự ta cũng có H· CB K· NM kết hợp với giả thiết BC MN 
 BHC KMN S BHC S KMN HK / /BC . Mặt khác ta có BC  HA 
nên HK  HA hay H thuộc đường tròn đường tròn đường kính AK . Dễ 
thấy E,D (AK) nên cácđiểm A,D,E,H cùng thuộc một đường tròn.
Ví dụ 10) Cho tam giác ABC . P là điểm bất kỳ PA,PB,PC cắt đường tròn 
ngoại tiếp tam giác ABC tại A1 ,B1 ,C1 . Gọi A2 ,B2 ,C2 là các điểm đối xứng 
với A1 ,B1 ,C1 qua trung điểm của BC,CA,AB . Chứng minh rằng: A2 ,B2 ,C2 
và trực tâm H của tam giác ABC cùng thuộc một đường tròn.
Giải:
 A
 C2
 B B
 2 3 B
 C I 1
 3 O
 A4
 G
 H K
 B4 A
 P 2
 C C4
 1 C
 B A3
 A1 1.Khi một đường thẳng có hai điểm chung A,B với đường tròn (O) ta nói 
đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt. Khi đó ta có những kết 
quả quan trọng sau:
 O O
 H
 A M B M
 A H B
+ OH  AB OH R,HA HB R2 OH2 . Theo định lý Pitago ta có: 
OH2 MO2 MH2 Mặt khác ta cũng có: OH2 R2 AH2 nên suy 
ra MO2 MH2 R2 AH2 MH2 AH2 MO2 R2 
 (MH AH) MH AH MO2 R2 
+ Nếu M nằm ngoài đoạn AB thì MA.MB MO2 R2 
+ Nếu M nằm trong đoạn AB thì MA.MB R2 MO2 
 AB2
Mối liên hệ khoảng cách và dây cung: R2 OH2 
 4
2. Khi một đường thẳng chỉ có một điểm chung H với đường tròn (O) , ta 
nói đường thẳng tiếp xúc với đường tròn, hay là tiếp tuyến của đường 
tròn (O) . Điểm H gọi là tiếp điểm của tiếp tuyến với đường tròn (O)
Như vậy nếu là tiếp tuyến của (O) thì vuông góc với bán kính đi qua 
tiếp điểm 
Ta có OH R
 Nếu hai tiếp tuyến của đường tròn cắt nhau tại một điểm thì 5. Đường tròn tiếp xúc với một cạnh của tam giác và phần kéo dài hai cạnh 
kia gọi là đường tròn bàng tiếp tam giác
Tâm đường tròn bàng tiếp tam giác trong góc A là giao điểm của hai đường 
phân giác ngoài góc B và góc C
Mỗi tam giác có 3 đường tròn bàng tiếp.
 A
 M P
 D F B
 O
 O
 B C A
 N E C
 Đường tròn nội tiếp ΔABC Đường tròn bàng tiếp trong góc A
CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN
Ví dụ 1) Cho hình thang vuông ABCD (Aµ Bµ 900 ) có O là trung điểm 
của AB và góc C· OD 900 . Chứng minh CD là tiếp tuyến của đường tròn 
đường kính AB .
Giải:
 A C
 H
 O
 E B D Ví dụ 3) Cho tam giác ABC cân tại A đường cao BH . Trên nửa mặt phẳng 
chứa C bờ AB vẽ Bx  BA cắt đường tròn tâm B bán kính BH tại D . 
Chứng minh CD là tiếp tuyến của (B)
Giải: A
 H
 α
 1
 B 2 C
 D x
 µ µ ¶ 0
Vì tam giác ABC cân tại A nên ta có: B C . Vì Bx  BA B2 90
 ¶ 0 ¶ ¶
. Mặt khác ta cũng có B1 90 B1 B2 . Hai tam giác BHC và BDC 
 ¶ ¶
có BC chung, B1 B2 , BH BD R suy ra BHC BDC(c.g.c) suy ra 
B· HC B· DC 900 . Nói cách khác CD là tiếp tuyến của đường tròn (B)
Ví dụ 4) Cho tam giác ABC vuông tại A (AB AC)
đường cao AH . Gọi E là điểm đối xứng với B qua H . Đường tròn tâm O 
đường kính EC cắt AC tại K . Chứng minh HK là tiếp tuyến của đường 
tròn (O) .
Giải:
 A
 I
 K
 1
 2
 3 C
 B H E O