Chuyên đề Ôn thi vào lớp 10 môn Toán - Bất đẳng thức và cực trị hình học

 BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC 
I). SỬ DỤNG CÁC TÍNH CHẤT HÌNH HỌC ĐƠN GIẢN. 
1) Bất đẳng thức liên hệ giữa độ dài các cạnh một tam giác. 
 AB AC BC AB BC 
Chú ý rằng: 
a). Với 3 điểm ABC,, bất kỳ ta luôn có: AB BC AC . Dấu bằng xảy 
ra khi và chỉ khi thẳng hàng và điểm B nằm giữa hai điểm AC, . 
b) Với 3 điểm bất kỳ ta luôn có: AB AC BC . Dấu bằng xảy 
ra khi và chỉ khi thẳng hàng và điểm nằm giữa hai điểm . 
c) Cho hai điểm AB, nằm về một phía đường thẳng ()d . Điểm M chuyển 
động trên đường thẳng . Gọi A' là điểm đối xứng với A qua . Ta có 
kết quả sau: 
 B
 A
 M0 (d)
 M1 M
 A'
+ MA MB MA'' MB A B . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi là 
giao điểm cuả AB' và đường thẳng .( trùng với M0 ) 
2) Trong một đường tròn, đường kính là dây cung lớn nhất 
3) Cho đường tròn (;)OR và một điểm A . Đường thẳng AO cắt đường 
tròn tại hai điểm MM12, . Giả sử AM12 AM . Khi đó với mọi điểm M 
nằm trên đường tròn ta luôn có: AM12 AM AM 
Ví dụ 1:Cho tam giác ABC và điểm nằm trong tam giác . Chứng minh 
rằng: 
 a) MB MC AB AC 
 1
 b) AB BC CA MA MB MC AB BC CA 
 2
 c) BM MN NC AB AC trong đó điểm N nằm trong tam 
 giác sao cho MN cắt hai cạnh AB, AC 
 A
Hướng dẫn giải: 
 a) Đường thẳng BM cắt AC ở P . P
 N F
 Áp dụng BĐT(1) ta có: M
 E
MB MC MB MP PC B C
 BP PC AB AP PC AB AC 
 b) Theo trên ta có: 
BC MB MC AB AC;; CA MC MA AB BC 
AB MA MB AC BC . Cộng theo từng vế các BĐT trên ta có 
điều phải chứng minh. 
 b). Áp dụng bất đẳng thức ở câu a) Cho 3 đường trung tuyến AM,, BN CP
 AB AC BC AB AC
ta có: AM , 
 22
BC AB AC AC BC
 BN , 
 22
BC AC AB AC BC
 CP . Cộng ba bất đẳng thức cùng chiều 
 22
 3 AB BC CA
ta có: AM BN CP AB BC CA. 
 4
c). Trong tam giác ABD, ADC có AB AD BD;
 A
AC AD DC . Cộng theo từng vế hai BĐT 
trên được:AB AC2 AD BC . 
 P
 AB AC BC
 AD
 B C
 2 M D H
Kết quả này vẫn đúng với D là điểm 
bất kỳ nằm bên trong đoạn BC . 
Dựng AH BC . Với AB AC thì AM AD . Với AB AC thì 
BH CH 
 BM BH M thuộc đoạn BH . 
Hơn nữa ADB ADC ADB tù. Do đó D thuộc đoạn BH . 
Lấy điểm P trên AB sao cho AP AC ADP ADC (c.g.c) 
 DP DC, APD ACD . 
 Ví dụ 4) Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng 3a . M là một điểm tùy ý 
trên cạnh BC , gọi PQ, lần lượt là hình chiếu vuông góc của M lên 
AB, AC . Tìm vị trí điểm M để: 
 a) PQ có độ dài nhỏ nhất
 b) Dựng một đường thẳng song song với BC cắt AB, AC tại EF, 
 sao cho AE2 a .Tìm vị trí điểm M sao cho MA ME MF
 nhỏ nhất. 
Hướng dẫn giải: 
 A
a). Hạ PH BC, QK BC . Ta có 
SSSABC ABM AMC
 P
9aa2 3 3
 MP MQ E F
 42
 Q
 33a
 MP MQ
 2 B C
 H I M K
Áp dụng hệ thức lượng trong các tam giác 
 R
vuông MPB, MQC ta tính được: 
 MP33 MQ
HM, MK
 22
 39a
HK MH MK MP MQ . 
 24
Vì PQ HK . Nên PQ nhỏ nhất bằng HK khi và chỉ khi 
PQ// HK M là trung điểm của BC 
 Hướng dẫn giải: 
Trên tia đối của AM lấy điểm N sao cho 
MN MB . Khi đó chu vi tam giác MAB
 J
Là 2p MA MB AB AN AB . M N
 H
Do AB không đổi nên chu vi tam giác A B
 O
MAB lớn nhất khi và chỉ khi AN lớn 
nhất.Tam giác BMN cân tại M và MH 
 I
 là phân giác của góc BMN đồng thời 
cũng là phân giác ngoài của góc AMB . Phân giác trong của góc AMB là 
MI với I là trung điểm cung lớn AB . Suy ra MI MH . Do đó MH 
cắt đường tròn (;)ORtại điểm J và IJ là đường kính của (;)OR. 
Tam giác MBN cân tại M nên MJ là đường trung trực của BN . Từ đó ta 
có: JA JB JN . Hay điểm N thuộc đường tròn tâm J cố định bán 
kính JA . Vì AN là dây cung của đường tròn J nên AN lớn nhất khi và 
chỉ khi AN là đường kính của J MJ. Như vậy chu vi tam giác
MAB lớn nhất khi và chỉ khi M trùng với trung điểm J của cung nhỏ 
AB . 
Ví dụ 7: Cho tam giác ABC có A 600 . Trên cạnh BC lấy điểm I cố 
định. Tìm trên cạnh AB, AC lấy hai điểm MN, để chu vi tam giác 
IMN đạt giá trị nhỏ nhất. 
Hướng dẫn giải: 
 A
Gọi EF, lần lượt là các điểm đối xứng của 
 M N
 E
I qua AB, AC . Do tam giác ABC cố F
 B C
 I kính của ()O . Từ đó suy ra cách xác định M như sau: Dựng đường kính 
DN cuả ()O , M là giao điểm của BN và AC . 
Ví dụ 9: Cho hai đường tròn (OROR1 ; 1 ),( 2 ; 2 ) cắt nhau tại 2 điểm AB, . 
Một đường thẳng ()d bất kỳ qua A cắt (OROR1 ; 1 ),( 2 ; 2 ) lần lượt tại MN, . 
Tiếp tuyến tại M của (;)OR11 và tiếp tuyến tại N của (;)OR22cắt nhau tại 
I . Tìm giá trị lớn nhất của bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác IMN
khi ()d quay quanh A . 
Hướng dẫn giải: I
Ta có: IMN MBA(Tính chất góc 
giữa tiếp tuyến và dây cung) 
 A F N
INM NAB (Tính chất góc E
 K
 M
 O
giữa tiếp tuyến và dây cung) O1 2
Xét tứ giác IMBN ta có: B
MBN MBA NBA IMN INM
 1800 MIN . Suy ra tứ giác IMBN nội tiếp.
Các góc AMB, ANB là những góc nội tiếp chắn cung AB cố định của 
(OROR1 ; 1 ),( 2 ; 2 ) nên AMB, ANB không đối. Suy ra MBN không đổi. Suy
ra MIN1800 MBN không đổi. Gọi R bán kính vòng tròn ngoại tiếp 
 MN
tam giác MIN thì MN2 R .sin MIN R . Do đó R lớn 
 2sinMIN
nhất khi và chỉ khi MN lớn nhất. Gọi EF, là hình chiếu vuông góc của 
OO12, lên ()d , K là hình chiếu vuông góc của O1 lên OF2 thì 
 Vậy chu vi tứ giác MNEF đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2BD khi MNEF là 
hình bình hành có các cạnh song song với với các đường chéo của hình chữ 
nhật ABCD . 
Ta có bài toán tổng quát sau: Cho tứ giác ABCD . Gọi MNPQ,,, lần 
lượt là trung điểm của AB,,, BC CD DA. Khi đó: 
AB BC CD DA2 MP NQ (*) 
Thật vậy: Dựng E đối xứng với B qua P thì tứ giác BCED là hình bình 
hành nên BC DE . 
 C
 N
Ta có: BC AD DE AD AE2 MPB . 
Tương tự AB CD2 NQ . Cộng hai bấtM P
đẳng thức cùng chiều ta suy ra điều 
 A E
phải chứng minh. Q
 D
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 
AD//,// BC AB CD hay ABCD là hình bình hành. 
Ví dụ 11) Cho hình thoi ABCD . Đường chéo AC không nhỏ hơn đường 
chéo BD . M là một điểm tùy ý trên AC . Đường thẳng qua M song song 
với AB cắt AD tại E, cắt BC tại G Đường thẳng qua M song song với 
AD cắt AB tại F cắt CD tại H . Biết hình thoi ABCD có độ dài hai 
đường chéo là d1 và d2 . Xác định M sao cho chu vi tứ giác EFGH là nhỏ
nhất?Tính chu vi đó theo dd12, . 
Hướng dẫn giải: 
 B
Ta dễ dàng chứng minh được 
 F I
 G
EFGH là hình thang cân, 
 A J
 O C
 L M
 H
 K
 E
 D 2
 1 1 4 2 2 xy22xy
+ ; 
 a b a b ab22a b a b
 3 1 3
+a2 ab b2 ()()() a b2 a b2 a b 2
 444
 1 3 1
+ a2 ab b2 ()()() a b2 a b2 a b 2
 444
2). Cho các số thực dương a,, b c : 
 3
 a b c
+ a b c33 abc abc Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 
 3
 a b c
 1 1 1 9 3 3
+ 
 a b c a b c a2 b 2 c 2
 2
 a b c
4) ab bc ca a2 b 2 c 2
 3
 2
 x2 y 2 z 2 x y z
5) 
 a b c a b c
Ngoài ra các em học sinh cần nắm chắc các công thức về diện tích tam 
giác ,liên hệ độ dài các cạnh và góc như: 
 1
+ S a. h
 2
 111
+ S absin C ab sin C bc sin A
 222
 a b c
+ S p( p a )( p b )( p c ) với p
 2