Chuyên đề Ôn thi vào 10 - Chủ đề: Phương trình bậc hai một ẩn hệ thức Vi-et và ứng dụng

 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN
 Chủ đề 7 HỆ THỨC VI-ET VÀ ỨNG DỤNG
G. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN. HỆ THỨC VI-ET VÀ ỨNG DỤNG
Mục Lục
G. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN......................................................................1
Dạng 1: Giải phương trình và phương trình quy về phương trình bậc hai......................2
 1.1 Giải phương trình bậc hai cơ bản...............................................................................2
 1.2. Giải phương trình quy về phương trình bậc hai......................................................4
 1.2.1. Phương trình trùng phương....................................................................................4
 1.2.3. Giải phương trình đưa về phương trình tích.........................................................9
 1.2.4. Giải phương trình chứa căn bậc hai.....................................................................11
 a) Phương trình chứa căn bậc hai đơn giản (quy được về phương trình bậc hai)....11
 b) Phương trình vô tỉ.....................................................................................................12
 1.2.5. Giải phương trình chứa dấu GTTĐ .....................................................................13
Dạng 2: Hệ thức Vi-et và ứng dụng....................................................................................14
Dạng 3: Phương trình chứa tham số ..................................................................................19
. BÀI TẬP TỰ LUYỆN..................................................................................................50
Dạng 1: Giải phương trình và phương trình quy về phương trình bậc hai
1.1 Giải phương trình bậc hai cơ bản.
Đối với đề toán là giải phương trình với phương trình là phương trình bậc hai đơn 
giản (có dạng tổng quát ax 2 bx c 0 ), học sinh có thể sử dụng phương pháp đưa về 3x2 5x 2 0 3x2 6x x 2 0 3x(x 2) (x 2) 0
 1
 3x 1 0 x 
 (3x 1)(x 2) 0 3
 x 2 0 
 x 2
 1
Vậy tập nghiệm của phương trình là S 2;  
 3
Cách 2: Sử dụng công thức nghiệm để giải phương trình bậc hai.
 2 2
Ta có a 3; b = 5; c = -2 ; b 4ac 5 4.3.( 2) 25 24 49 0
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt:
 b 5 49 5 7 2 1
 x 
 1 2a 2.3 6 6 3
 b 5 49 5 7 12
 x 2
 2 2a 2.3 6 6
 1
Vậy tập nghiệm của phương trình là S 2;  
 3
b) Phương pháp 1: Đưa về giải phương trình tích bằng phương pháp phân tích đa 
thức thành nhân tử: 
 5x2 6x 1 0 5x2 5x x 1 0 5x(x 1) (x 1) 0
 1
 5x 1 0 x 
 (5x 1)(x 1) 0 5
 x 1 0 
 x 1
 1
Vậy tập nghiệm của phương trình là S 1;  
 5
Phương pháp 2: Sử dụng công thức nghiệm thu gọn ( hoặc công thức nghiệm tổng 
quát) để giải:
 b 6
Ta có a 5; b = 6 b' = = = -3; c = 1 
 2 2
 ' b 2 ac ( 3)2 5.1 9 5 4 0
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt: 0
 S 0
 P 0
 0
 P 0
 S 0
Phương trình (1) có vô nghiệm phương trình (2) vô nghiệm hoặc có hai nghiệm âm 
 0
 0
 P 0
 S 0
Nếu phương trình có 4 nghiệm thì tổng các nghiệm luôn bằng 0 và tích các nghiệm 
luôn bằng c .
 a
Phương pháp 2: Giải trực tiếp phương trình trùng phương bằng cách đưa về giải 
phương trình tích: 
 A 0
Biến đổi đưa về dạng phương trình tích : A.B 0 
 B 0
Bài 1: Giải phương trình: x 4 13x 2 36 0 (1)
 Hướng dẫn giải
Cách 1: Đặt t x 2 ( điều kiện: t 0 ) phương trình (1) có dạng :
 t 2 13t 36 0 . Ta có a 1;b 13; c 36 
 2 2
 b 4ac ( 13) 4.1.36 25 0 . 5 
 b ( 13) 5
 t 9 (thỏa mãn điều kiện t 0 )
 1 2a 2
 b ( 13) 5
 t 4 (thỏa mãn điều kiện t 0 )
 2 2a 2
 Với t 9 x2 9 x 9 x 3
 1 
 2
 Với t2 4 x 4 x 4 x 2
 Vậy phương trình (1) có 4 nghiệm : x1 2 ; x2 3; x3 2; x4 3 . b 5 1
 t 2 (loại vì không thỏa mãn điều kiện t 0 )
 1 2a 2.1
 b 5 1
 t 3 (loại vì không thỏa mãn điều kiện t 0 )
 2 2a 2.1
Vậy phương trình (1) vô nghiệm.
1.2.2. Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu
Cách giải: Thực hiện các bước sau:
 Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình.
 Bước 2: Quy đồng mẫu thức hai vế rồi khử mẫu thức.
 Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được.
 Bước 4: Trong các giá trị tìm được của ẩn, loại các giá trị không thoả mãn 
điều kiện xác định, các giá trị thoả mãn điều kiện xác định là nghiệm của phương 
trình đã cho.
Bài 1: Giải phương trình: 
 2
 14 1 2x x x 8
 a. 1 b. 
 x 2 9 3 x x 1 (x 1)(x 4)
 Hướng dẫn giải
 14 1
a. 1 
 x 2 9 3 x
 ĐKXĐ : x 3 
 14 1
 1 
 (x 3)(x 3) x 3
 14 (x 3)(x 3) (x 3)
 (x 3)(x 3) (x 3)(x 3)
 14 x –3 x 3 x 3 
 x 2 – 9 x 3 – 14 0 
 x 2 x – 20 0 
 Ta có: a 1; b 1; c 20 
 2
 b 2 – 4ac 1 –4.1. –20 81 0 81 9
 Phương trình có 2 nghiệm có 2 nghiệm phân biệt : 2
 c) 2x 2 3 – 10x 3 – 15x 0 d) x 4 13x 2 36 0
 Hướng dẫn giải
a) (x 3)(x2 3x 4) 0
 2
 x 3 0 hoặc x 3x 4 0
+) x 3 0 x1 3
+) x 2 3x 4 0 (1)
Ta có a 1;b 3, c 4 . và a b c 1 3 ( 4) 0 . Phương trình (1) có hai nghiệm:
 c
 x2 1; x 4 
 3 a
Kết luận: Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm là: x1 3;x2 1;x3 4
b) x 3 3x 2 – 2 x – 6 0 
 x2 x 3 – 2 x 3 0 
 x 3 x2 – 2 0 
 2
 x 3 0 hoặc x – 2 0 
+) x 3 0 x1 3 
 2 2
+) x – 2 0 x 2 x2 2 hoặc x3 2
Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm: x1 3; x2 2; x3 2
 2
c. 2x 2 3 – 10x 3 – 15x 0 
 2
 2x 2 3 – 5x 2x 2 3 0 
 2x2 3 2x2 3 – 5x 0 
 2 2
 2 x 3 0 hoặc 2 x – 5 x 3 0 
 2 2
+) 2 x 2 3 0 2x –3 x 1,5 (vô nghiệm)
+) 2 x 2 – 5 x 3 0 . Có a 2; b 5; c 3 và a b c 2 – 5 3 0 
Phương trình có 2 nghiệm: 
 c 3
 x1 1 ; x 
 2 a 2
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm: 169
KL: Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là x 16; x 
 1 2 16
b) x 2 x 1 7 0. Điều kiện: x 1 0 x 1 
 x 2 x 1 7 0 x 1 2 x 1 8 0 . Đặt t x 1 , điều kiện: t 0 .
Phương trình đã cho trở thành: t 2 2t 8 0 (1) có a 1;b 2;c 8 ; 
 ' b '2 ac 1 9 9 0 ; ' 3 . Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt:
 (thỏa mãn điều kiện t 0 )
 b' 1 3
 t 2 (loại vì không thỏa mãn điều kiện t 0 )
 2 a 1
Với t 4 x 1 4 x 1 16 x 15 (t/m)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x 15 .
b) Phương trình vô tỉ.
Phương pháp chung là bình phương hai vế để khử dấu căn. Cần thử lại để loại trừ 
nghiệm ngoại lai. (ngoài ra có thể dùng cách đặt ẩn phụ đưa về phương trình không 
có dấu căn giống phần a – dạng ý b bài toán 1)
 B(x) 0
Đặc biệt phương trình: A(x) B(x) 2 
 A(x) B(x) 
Ta chỉ có thể đem bình phương hai vế để giải bài toán tương đương khi cả hai vế 
cùng dương.
Bài 1: Giải phương trình:
 a) x 2x 3 0 c) 25 x2 x 1
 b) 4 2x x2 x 2 d) x 4 1 x 1 2x
 Hướng dẫn giải
 x 0 x 0
a) x 2x 3 0 2x 3 x
 2 2
 2x 3 x x 2x 3 0
 x 0
 x 3. Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x 3 
 x 1 hoÆc x 3
b) 4 2x x2 x 2 x 6 x 2 5x 9 x 2 6 x 15 0 x 1
 2 2 
 x 6 x 5x 9 x 4 x 3 0 x 3
Vậy phương trình có 2 nghiệm: x1 1; x2 3
Dạng 2: Hệ thức Vi-et và ứng dụng
 2 b
a) Nếu x1;x2 là hai nghiệm của phương trình ax bx c 0 a 0 thì x x và 
 1 2 a
 c
 x .x 
 1 2 a
b) Muốn tìm hai số u và v, biết u v S; uv P , ta giải phương trình: x 2 Sx P 0
(Điều kiện để có u và vlà S 2 4P 0 )
 2 c
c) Nếu a b c 0thì phương trình ax bx c 0 a 0 có hai nghiệm x 1; x 
 1 2 a
 2 c
 Nếu a b c 0 thì phương trình ax bx c 0 a 0 có hai nghiệm x 1; x 
 1 2 a
Sử dụng hệ thức Vi-et, biến đổi biểu thức đã cho suất hiện tổng và tích các nghiệm từ 
đó tính được giá trị biểu thức.
Các hệ thức thường gặp:
 2 2 2 2 2 2
 x1 x2 x1 2x1.x2 x2 2x1.x2 x1 x2 2x1.x2 S 2P .
 2 2
 x1 x2 x1 x2 4x1x2 S 4P .
 2 2
 x2 x1 x1 x2 4x1x2 S 4P .
 2 2 2 2
 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 4x1x2 S. S 4P .
 x 3 x 3 x x x 2 x .x x 2 x x x x 2 3x .x S. S2 3P
 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 .
 2 2 2 2
 x 4 x 4 x 2 x 2 x 2 x 2 2x 2.x 2 x x 2 2x x 2x2 x2 .
 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
 2
 S 2 2P 2P 2 .
 1 1 x x S 
 1 2 .
 x1 x2 x1x2 P