Chuyên đề Ôn thi vào 10 - Chủ đề: Phương pháp chung để giải bài toán quỹ tích

 Toán lớp 9: QUỸ TÍCH
 PHƯƠNG PHÁP CHUNG ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN QUỸ TÍCH
I). Định nghĩa:
Một hình H được gọi là tập hợp điểm ( Quỹ tích) của những điểm M thỏa mãn tính chất A khi và chỉ 
khi nó chứa và chỉ chứa những điểm có tính chất A .
II). Phương pháp giải toán:
Để tìm một tập hợp điểm M thỏa mãn tính chất A ta thường làm theo các bước sau:
Bước 1: Tìm cách giải:
+ Xác định các yếu tố cố định, không đổi, các tính chất hình học có liên quan đến bài toán
+ Xác định các điều kiện của điểm M
+ Dự đoán tập hợp điểm.
Bước 2: Trình bày lời giải:
 A. Phần thuận:Chứng minh điểm M thuộc hình H
 B. Giới hạn: Căn cứ vào các vị trí đặc biệt của điểm M để chứng minh điểm M chỉ thuộc một phần 
 B của hình H ( Nếu có)
 C. Phần đảo: Lấy điểm M bất kỳ thuộc B . Ta chứng minh điểm M thoả mãn các tính chất A
 D. Kết luận: Tập hợp các điểm M là hình B . (Nêu rõ hình dạng và cách dựng hình B )
III). MỘT SỐ DẠNG QUỸ TÍCH CƠ BẢN TRONG CHƯƠNG TRÌNH THCS
I). TẬP HỢP ĐIỂM LÀ ĐƯỜNG TRUNG TRỰC
Tập hợp các điểm M cách đều hai điểm A, B 
cho trước là đường trung trực của đoạn thẳng AB
Ví dụ 1: Cho góc xOy cố định và điểm A cố định nằm trên tia Ox .
B là điểm chuyển động trên tia Oy , Tìm tập hợp trung điểm M của AB
 a) Phần thuận: 
 y
+ Xét tam giác vuông OAB ta có : 
 B
 z
OM MA MB nên 
 M
tam giác OAM cân tại M . Mặt khác OA cố định
 O x
 M1 A b) Giới hạn, Phần đảo: Dành cho học sinh.
 c) Kết luận:Tập hợp điểm C là tia phân giác Oz của góc xOy
III). TẬP HỢP ĐIỂM LÀ ĐƯỜNG THẲNG , ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG.
Ta thường gặp các dạng tập hợp cơ bản như sau: 
 1. Tập hợp các điểm M nằm trên đường thẳng đi qua các điểm cố định A, B là đường thẳng AB
 2. Tập hợp các điểm M nằm trên đường thẳng đi qua điểm cố định A tạo với đường thẳng (d) 
 một góc không đổi 
 3. Tập hợp các điểm M cách đường thẳng (d) cho trước một đoạn không đổi h là các đường thẳng 
 song song với (d) và cách đường thẳng (d) một khoảng bằng h
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC .Tìm tập hợp các điểm M sao cho 
S
 MAB a 0 cho trước.
SMAC
Hướng dẫn: A
Phần thuận: 
 M
Gọi D là giao điểm của AM và BC . H
 D
Vẽ BH,CK lần lượt vuông góc B C
 K
với AM , H, K AM
 S BH S DB
Ta có: MAB ABD a . 
 SMAC CK SACD DC
 BD a 1 a
Suy ra 1 DB BC D là điểm cố định .
 CD a a 1
Vậy điểm M nằm trên đường thẳng (d) cố định đi qua A, D .
Phần còn lại dành cho học sinh.
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC và điểm K chuyển động trên cạnh AC, P là 
điểm chuyển động trên trung tuyến BD của tam giác ABC sao cho 
SAPK SBPC . Gọi M là giao điểm của AP, BK Tìm tập hợp các điểm M . 
Hướng dẫn: 
Bài toán liên quan đến diện tích nên ta 
 A
 F
dựng các đường cao E
 K I
 M1
MF  AC, BE  AC, AH  BD,CI  BD M D
 H
 P
 B C
 M2 cùng phụ với góc Bµ . Mặt khác A· DB A· CB
(cùng chắn cung AB ). Suy ra 
B· AI A· DI suy ra AB là tiếp tuyến của
đường tròn ngoại tiếp tam giác ADI . Mặt khác AC cố định AC  AB nên tâm K của đường tròn ngoại 
tiếp tam giác ADI luôn thuộc đường thẳng AC . 
IV. TẬP HỢP ĐIỂM LÀ ĐƯỜNG TRÒN, CUNG CHỨA GÓC.
 1. Nếu A, B cố định. Thì tập hợp các điểm M sao cho ·AMB 900 là đường tròn đường kính AB ( 
 Không lấy các điểm A, B )
 2. Nếu điểm O cố định thì tập hợp các điểm M cách O một khoảng không đổi R là đường tròn 
 tâm O bán kính R .
 3. Tập hợp các điểm M tạo thành với 2 đầu mút của đoạn thẳng AB cho trước một góc M· AB 
 không đổi 0 1800 là hai cung tròn đối xứng nhau qua AB . Gọi tắt là ‘’cung chứa góc ‘’
 M
 α
 A A B
 O
 α
 M
Ví dụ 1. Cho tam giác cân ABC AB AC và D là một điểm trên cạnh 
BC . Kẻ DM / /AB ( M AC ). DN / /AC N AB . Gọi D' là điểm đối xứng 
của D qua MN . Tìm quỹ tích điểm D' khi điểm D di động trên cạnh BC .
Hướng dẫn giải:
 A
 M
 D'
 N
 B D C 1
c). Phần thuận: Do AMC cân tại A , nên B· MC B· AC . Giả sử số đo B· AC là 2 (không đổi) thì khi A 
 2
di động trên cung lớn BC thì M thuộc cung chứa góc dựng trên đoạn BC về phía điểm O .
Phần đảo: Tiếp tuyến Bx với đường tròn O cắt cung chứa góc vẽ trên đoạn BC tại điểm X . Lấy 
điểm M bất kỳ trên C»x (một phần của cung chứa góc và vẽ trên đoạn BC M#X;M#C . Nếu MB cắt 
đường tròn O tại A thì rõ ràng A thuộc cung lớn BC của đường tròn O . 
Vì B· AC 2 ; A· MC suy ra AMC cân tại A hay AC AM . Kết 
luận: Quỹ tích các điểm M là cung C»x , một phần của cung chứa góc vẽ trên đoạn BC về phía O trừ 
hai điểm C và X . 
Ví dụ 3. Cho đường tròn (O;R) và dây BC cố định. A là điểm di động 
trên đoạn thẳng BC . D là tâm của đường tròn đi qua A,B và tiếp xúc với 
(O;R) tại B ; E là tâm của đường tròn đi qua A,C và tiếp xúc với (O;R) 
tại C . Tìm tập hợp các giao điểm M khác A của hai đường tròn (D) và 
(E ).
Hướng dẫn:
 a) Phần thuận: 
(O) và (D) tiếp xúc tại B Þ O,B,D thẳng hàng; (O) và (E ) tiếp xúc tại C Þ O,E,C thẳng hàng. 
¶ µ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ µ ¶
B1 = A1 (DB = DA), B1 = C1 (OB = OC ), A2 = C1 (EA = EC ). Suy ra B1 = A2,A1 = C1 , 
¶ ¶ µ ¶
B1 = A2 Þ BO / / AE,A1 = C1 Þ DA / /OE . 
Do đó ADOE là hình bình hành. 
Gọi K là tâm hình bình hành 
ADOE Þ K là trung điểm 
 O M
của AO và DE . (D) cắt (E ) tại A ,M D I
 K E
 1 1 2 1
 B C
Þ DE là trung trực của AM . A
Gọi I là giao điểm của DE và AM . 
IK là đường trung bình của
 DAMO Þ IK / / MO Þ DOME 
là hình thang. Mà DM = OE · 0 ¼ ¼
a) Phần thuận: ACD = 90 Þ AD là đường kính của đường tròn (ACD) Þ AM = AN,AM = AN . 
 ¶ · · æ¼ ¼ ö
Xét DAMB và DACM có M chung, AMB = ACM çAN = AM ÷. Do đó DAMB : DACM , suy ra 
 èç ø÷
AM AB
 = Þ AM 2 = AB.AC Þ AM = AB.AC (không đổi). Vậy AM = AN = AB.AC 
AC AM
không đổi. Do đó M ,N thuộc đường tròn cố định (A; AB.AC ).
b) Giới hạn: Điểm D chuyển động trên đường thẳng (d) nên M ,N chuyển động trên đường tròn 
(A; AB.AC ).
c) Phần đảo: Lấy điểm M bất kỳ thuộc đường tròn (A; AB.AC ). Vẽ AH ^ MB (H Î MB) cắt (d) tại 
 µ
D; MH cắt (A; AB.AC ) tại N . Ta có AM = AN = AB.AC . DAHB : DACD (A chung, 
 AH AB
A·HB = A·CD = 900 ) Þ = Þ AH.AD = AB.AC . Do đó AM 2 = AN 2 = AH.AD . Xét 
 AC AD
 µ AM AH 2
DAMH và DADM có A chung, = (AM = AH.AD). Do đó 
 AD AM
 · · · 0 · 0
DAMH : DADM Þ AHM = AMD . Mà AHM = 90 nên AMD = 90 Þ M thuộc đường tròn 
ngoại tiếp DACD .
Tương tự N cũng thuộc đường tròn ngoại tiếp DACD .
d). Kết luận: Tập hợp các điểm M là đường tròn (A; AB.AC ). 
Ví dụ 5. Cho đường tròn (O;R) hai đường kính AB và CD vuông góc. 
M là điểm di động trên C¼AD . H là hình chiếu của M trên AB . Gọi I là 
tâm đường tròn nội tiếp tam giác HMO . Tìm tập hợp các điểm I .
Hướng dẫn: C
 M
a) Phần thuận: I
 A B
DHMO có H O
µ 0 · · 0
H = 90 Þ HMO + HOM = 90 .
 · · 1 · 0
Do đó IMO + IOM = HOM = 45 D
 2 MA MD
Do đó DMAD : DMCA Þ = Þ MA2 = MC.MD . Chứng minh tương tự ta có 
 MC MA 
MB 2 = MC.MD . Suy ra MA2 = MB 2 Þ MA = MB Þ M cố định. IC = ID Þ OI ^ CD
O·IM = 900,OM cố định. Do đó I thuộc đường tròn đường kính OM .
b) Giới hạn: Điểm I là trung điểm dây cung CD của (O) Þ I nằm trong đường tròn (O) Þ I chuyển 
động trên đường tròn đường kính OM nằm trong đường tròn (O).
c) Phần đảo: Lấy điểm I bất kỳ trên đường tròn đường kính OM (phần nằm trong đường tròn (O)) 
 · 0
Þ OIM = 90 . MI cắt (O) tại C,D . Gọi (O ') là đường tròn (BDC ). OI ^ CD Þ I là trung điểm 
 · · · MA MD
CD . DMAD : DMCA (vì AMD chung, MAD = MCD ) Þ = . Mà MA = MB , suy ra 
 MC MA
MB MD ¶ MB MD
 = . Xét DMDB và DMBC có M chung, = . Do đó 
MC MB MC MB
 · · · · · ·
DMDB : DMBC Þ MBD = MCB . Vẽ O 'H ^ DB , ta có HO 'B = MCB suy ra MBD = HO 'B . 
 · · · · 0
Do đó MBD + HBO ' = HO 'B + HBO ' = 90 Þ O 'B ^ AB Þ AB tiếp xúc với đường tròn (O ').
d) Kết luận: Tập hợp các điểm I là đường tròn đường kính OM (phần nằm trong đường tròn (O).
 MỘT SỐ BÀI TẬP TỔNG HỢP
Câu 1. Cho đường tròn (O), A là điểm cố định nằm ngoài đường tròn (O). 
OBC là đường kính quay quanh O . Tìm tập hợp tâm I đường ngoại tiếp 
tam giác ABC .
Hướng dẫn: (d)
a) Phần thuận: 
Gọi D là giao điểm của AO 
với đường tròn I A ¹ D . I
 ( ) ( ) C
Xét DOAB và DOCD có: A D
 O
 »
O·AB = O·CD (cùng chắn BD ) B