Chuyên đề Ôn thi vào 10 - Chủ đề: Hình học không gian - Hình trụ, hình nón, hình cầu

 Chủ đề Hình học không gian Toán 9: Hình trụ - Hình nón – Hình cầu
 HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
 Chủ đề 8 HÌNH TRỤ - HÌNH NÓN – HÌNH CẦU
H. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
Mục Lục
H. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN.........................................................................................1
. HÌNH TRỤ .....................................................................................................................2
 . Lý thuyết.....................................................................................................................2
 . Bài tập..........................................................................................................................2
. HÌNH NÓN..................................................................................................................11
 . Lý thuyết...................................................................................................................11
 . Bài tập........................................................................................................................12
. HÌNH CẦU...................................................................................................................20
 . Lý thuyết...................................................................................................................20
 . Bài tập........................................................................................................................20
. BÀI TẬP TỔNG HỢP ...............................................................................................28 Chủ đề Hình học không gian Toán 9: Hình trụ - Hình nón – Hình cầu
 Hướng dẫn giải
a) Vì chiều cao của hình trụ là 50cm nên chu vi hình tròn đáy là C = 189cm. 
 C 189
Ta có C 2 R R 30(cm) 
 2 2 
Vậy bán kính hình tròn đáy là 30cm.
Diện tích tôn để làm hai đáy là: S 2 R2 2. .302 1800 (cm2).
b) Thể tích hình trụ là: V R2h .302.50 45000 (cm3).
Nhận xét: Để trả lời hai câu hỏi của bài toán, ta cần biết bán kính của đường tròn 
đáy. Muốn vậy, phải xác định cạnh nào của tấm tôn cần giữ nguyên để làm chiều 
cao của hình trụ, cạnh nào phải cuộn lại. Từ công thức tìm chu vi của hình tròn suy 
ra cách tìm bán kính.
Bài 2. Một hình trụ có chiều cao là 25cm và diện tích toàn phần là 1200 cm2. 
Tính thể tích của hình trụ đó.
 Hướng dẫn giải
Gọi bán kính đáy hình trụ là R, chiều cao hình trụ là h.
Vì diện tích toàn phần của hình trụ là 1200 cm2 nên 2 R h R 1200 . 
Suy ra R 25 R 600 R2 25R – 600 0 .
Phương trình có hai nghiệm: R1 15 (chọn); R2 – 40 (loại).
Vậy bán kính đáy hình trụ là 15cm.
Thể tích hình trụ là: V R2h .152.25 5625 (cm3)
Nhận xét: Ta đã biết chiều cao nên muốn tính thể tích hình trụ chỉ cần tìm bán kính 
đáy. Do đó ta tìm bán kính đáy từ công thức tính diện tích toàn phần của hình trụ.
Bài 3. Một hình trụ với ABCD là một mặt cắt song song với trục. Diện tích 
mặt cắt là 96cm2, AB = 8cm. Biết tâm O cách AB là 3cm. Tính diện tích xung quanh 
và thể tích của hình trụ.
 Hướng dẫn giải Chủ đề Hình học không gian Toán 9: Hình trụ - Hình nón – Hình cầu
 S 360 
Ta thấy xq 10 (lần).
 S 36 
Do đó diện tích xung quanh gấp 10 lần diện tích đáy.
Bài 5. Cho hình trụ có bán kính đáy là 10cm và diện tích xung quanh là 420 
cm2. Vẽ một đường sinh PQ cố định. Lấy điểm M trên đường tròn đáy, có chứa 
điểm Q. Xác định vị trí của điểm M để PM lớn nhất. Tính giá trị lớn nhất đó.
 Hướng dẫn giải
Gọi bán kính hình trụ là R và chiều cao hình trụ là h.
 S 420 
Ta có: S 2 Rh suy ra h xq 21(cm)
 xq 2 R 2 10
Ta có PQ là đường sinh nên PQ = 21cm và PQ vuông góc với mặt 
phẳng đáy. Suy ra PQ  QM.
Xét PQM vuông tại Q, ta có: 
PM2 = PQ2 + QM2 = 212 + QM2 = 441 + QM2.
Do đó PM lớn nhất QM lớn nhất QM là đường kính 
 QM = 20cm.
Vậy max PM 441 400 841 29(cm) khi QM là đường kính của đường tròn đáy.
Lưu ý: Trong hình trụ, đường sinh vuông góc với đáy nên vuông góc với mọi 
đường thẳng nằm trong đáy, do đó PQ  QM.
Bài 6. Một hình trụ có thể tích là V (m3) và diện tích toàn phần là S (m2). Gọi R là 
 V 1
bán kính đáy hình trụ và h là chiều cao của nó. Biết thương bằng (m), chứng 
 S 2
 1 1
minh rằng 1
 h R
 Hướng dẫn giải
 V 1
Ta có V = R2h; S = 2 R(h + R). Theo đề bài ta có: 
 S 2
 R 2h 1 R h 1 1
Suy ra Rh = R + h 1 1
 2 R(h R) 2 Rh h R
 2
Bài 7: Một hình trụ có bán kính đáy bằng chiều cao. Cắt hình trụ này bằng 
 5
một mặt phẳng chứa trục ta được một mặt cắt có diện tích là 80cm 2. Tính diện tích 
toàn phần của hình trụ. Chủ đề Hình học không gian Toán 9: Hình trụ - Hình nón – Hình cầu
Diện tích vỏ hộp chính là diện tích toàn phần của hình trụ. Tìm được bán kính đáy 
sẽ tìm được chiều cao do đó sẽ tìm được diện tích toàn phần.
* Trình bày lời giải
Gọi R và h lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của hộp bánh hình trụ.
Ta có h R –1,5. 
Vì thể tích của hộp là 850 cm3 nên: R2h 850 . 
Suy ra R2(R – 1,5) = 850 R3 – 1,5R2 – 850 = 0 2R3 – 3R2 – 1700 = 0
 2R3 – 20R2 + 17R2 – 170R + 170R – 1700 = 0
 2R2(R – 10) + 17R(R – 10) + 170(R – 10) = 0
 (R – 10)(2R2 + 17R + 170) = 0
 R 10 0 (1)
 2
 2R 17R 170 0 (2)
Phương trình (1) có nghiệm R = 10 (thoả mãn).
Phương trình (2) vô nghiệm.
Vậy bán kính đáy hộp là 10cm. 
Chiều cao của hộp là: 10 – 1,5 = 8,5 (cm).
Diện tích vỏ hộp là: S 2 pR h R 2. .10 8,5 10 370 (cm2).
Bài 10: Một hình trụ có diện tích toàn phần gấp hai lần diện tích xung quanh. 
Biết bán kính đáy hình trụ là 6cm. Tính thể tích hình trụ.
 Hướng dẫn giải
Gọi bán kính đáy hình trụ là R và chiều cao hình trụ đó là h.
Vì diện tích toàn phần bằng hai lần diện tích xung quanh nên 2 Rh 2 R2 4 Rh. 
Suy ra 2 R2 2 Rh R = h = 6cm.
Thể tích của hình trụ là: V R2h .62.6 216 (cm3).
Bài 11: Một chậu hình trụ cao 20cm. Diện tích đáy bằng nửa diện tích xung 
quanh. Trong chậu có nước cao đến 15cm. Hỏi phải thêm bao nhiêu nước vào chậu 
để nước vừa đầy chậu?
 Hướng dẫn giải
Gọi R là bán kính đáy chậu và h là chiều cao của chậu. Chủ đề Hình học không gian Toán 9: Hình trụ - Hình nón – Hình cầu
 2 2 3
Thể tích cây gỗ hình trụ là: V1 R h 3,14.2 .50 628 (dm ).
Diện tích đáy hình vuông của hình lăng trụ đứng là:
 AC 2 42
 S AB2 8 (dm2).
 2 2
 3
Thể tích hình lăng trụ đứng là: V2 = S.h = 8.50 = 400 (dm ).
 Hình 23.9
Thể tích phần gỗ bị loại bỏ đi là: 
 3
 V = V1 – V2 = 628 – 400 = 228 (dm ).
Bài 15: Hai mặt của một cổng vòm thành cổ có dạng hình chữ nhật, phía trên 
là một nửa hình tròn có đường kính bằng chiều rộng của cổng. Biết chiều rộng của 
cổng là 3,2m, chiều cao của cổng (phần hình chữ nhật) bằng 2,8m và chiều sâu của 
cổng bằng 3,0m. Tính thể tích phần không gian bên trong cổng (làm tròn đến phần 
mười m3).
 Hướng dẫn giải
Phần không gian bên trong cổng gồm một hình hộp chữ nhật và một 
nửa hình trụ.
 3
Thể tích phần hình hộp chữ nhật là: V1 = 3,2 . 2,8 . 3,0 = 26,9 (m ).
Thể tích phần nửa hình trụ là:
 1 1
 V R 2h 3,14.(1,6)2.3,0 12,1(m3).
 2 2 2
Thể tích phần không gian bên trong cổng là: 
 3
 V = V1 + V2 = 26,9 + 12,1 = 39,0 (m ).
Bài 16: Một hình trụ có thể tích bằng 125 cm3. Biết diện tích xung quanh bằng 
hai lần diện tích đáy. Tính bán kính đáy và chiều cao của hình trụ này.
 Hướng dẫn giải
Gọi R và h lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của hình trụ.
Vì diện tích xung quanh bằng hai lần diện tích đáy nên ta có: 
2 Rh 2 R2 h R. Theo đề bài, thể tích hình trụ bằng 125 cm3 nên 
 R2h 125 . 
Suy ra R3 = 125 (vì h = R). Do đó R3 = 125 R = 5cm.
Vậy h = 5cm. Chủ đề Hình học không gian Toán 9: Hình trụ - Hình nón – Hình cầu
. Bài tập
Bài 1: Một hình nón có đường cao bằng 24cm và thể tích bằng 800 cm3. Tính 
diện tích toàn phần của hình nón này.
 Hướng dẫn giải
Gọi R là bán kính đáy và h là chiều cao của hình nón.
 1 3V 3.800 
Ta có V R 2h Suy ra R 2 100 cm2 
 3 h .24
Do đó R = 10cm. Vậy bán kính đáy hình nón là 10cm.
Đường sinh của hình nón này là: 
SB SO2 OB2 242 102 26(cm)
Diện tích toàn phần của hình nón là: 
 2
 Stp R l R .10 26 10 360 (cm ).
Nhận xét: Mấu chốt trong bài toán này là tìm được bán kính đáy, từ đó tính được 
đường sinh và do đó tính được diện tích toàn phần của hình nón.
Bài 2. Mặt cắt chứa trục của một hình nón là một tam giác đều có diện tích là 
9 3 cm2. Tính thể tích của hình nón đó.
 Hướng dẫn giải
* Tìm hướng giải 
Để tính thể tích hình nón ta cần biết bán kính đáy và chiều cao của 
nó. Vì mặt cắt chứa trục là một tam giác đều nên nếu biết cạnh 
của tam giác đều là tính được tất cả.
* Trình bày lời giải
Gọi mặt cắt là tam giác đều ABC. 
 a
Ta đặt AB = AC = BC = a thì bán kính đáy hình nón là R 
 2
 a 3
và chiều cao hình nón là h 
 2
 a 2 3
Vì diện tích của tam giác đều là 9 3 cm2 nên ta có: 9 3 a 2 36 a 6 (cm).
 4
 6 3
Vậy bán kính đáy là R = 3cm và chiều cao hình nón là h 3 3 (cm).
 2