Chuyên đề Ôn thi vào 10 - Chủ đề: Hệ thức lượng trong tam giác vuông

 HỆ THỨC LƯỢNG
 Chủ đề 1 TRONG TAM GIÁC VUễNG
A. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUễNG
MỤC LỤC
A. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUễNG.................................................1
. HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VUễNG.......2
 . Lý thuyết.....................................................................................................................2
 . Bài tập..........................................................................................................................2
. TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GểC NHỌN.............................................................10
 . Lý thuyết...................................................................................................................10
 . Bài tập........................................................................................................................11
. MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GểC TRONG TAM GIÁC VUễNG ....16
 . Lý thuyết...................................................................................................................16
 . Bài tập........................................................................................................................16
. GIẢI BÀI TOÁN HỆ THỨC LƯỢNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẠI SỐ......18
 . Lý thuyết...................................................................................................................18
 . Bài tập........................................................................................................................18
. MỘT SỐ BÀI TẬP SƯU TẦM ................................................................................21 Bài 2: Cho tam giỏc vuụng với cỏc cạnh gúc vuụng cú độ dài là 3 cm và 4 cm , 
kẻ đường cao ứng với cạnh huyền. Hóy tớnh đường cao này và cỏc đoạn thẳng mà 
nú chia ra trờn cạnh huyền.
 Hướng dẫn giải
Giả sử tam giỏc ABC cú cỏc cạnh gúc vuụng AB = 3cm, AC = 4cm, AH là đường cao.
Áp dụng định lớ Pitago cho tam giỏc vuụng ABC:
BC 2 AB2 AC 2 32 42 25 BC 5 cm
 A
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giỏc vuụng ta cú:
 2 2
 2 BA 3 9 4
BA BH.BC BH BH BH (cm) 3
 BC 5 5
 CA2 42 16
CA2 CH.CB CH CH CH (cm)
 CB 5 5 B H C
 9 16 12
 AH 2 HB.HC AH 2 . AH (cm)
 5 5 5
 1 1 1
(Cú thể tớnh đường cao AH bởi cụng thức )
 AH 2 AB2 AC 2
Bài 3: Cho tam giỏc ABC cõn tại A. Cỏc tia phõn giỏc của gúc A và gúc B cắt 
nhau tại O. Biết OA 2 3 cm, OB = 2cm, tớnh độ dài AB.
 Hướng dẫn giải
Qua A vẽ một đường thẳng vuụng gúc với AB cắt tia BO tại D.
 à à  ã ả 
Ta cú D B1 90 AOD B2 90 
 à ả ã à
mà B1 B2 nờn AOD D 
Do đú AOD cõn tại A. Suy ra AD AO 2 3 (cm).
Vẽ AH  OD thỡ HO = HD. 
Ta đặt HO HD x thỡ BD 2x 2. 
Xột ABD vuụng tại A, đường cao AH, ta cú AD2 BD.HD. 
Suy ra (2 3)2 x(2x 2) Từ đú ta được phương trỡnh: 
 2x2 2x –12 0 (x – 2)(x + 3) = 0 x = 2 hoặc x = 3.
Giỏ trị x = 2 được chọn, giỏ trị x = 3 bị loại. 
Do đú BD 2 2 2 6 (cm). Suy ra AB 62 (2 3)2 24 2 6 (cm). Do đú AC 25 9 34 (cm); BD 5,4 15 20,4 (cm).
 ACBD 34.20,4
Diện tớch hỡnh thang ABCD là: S 346,8 (cm2).
 2 2
 OM AO
b) Xột ADC cú OM // CD nờn (hệ quả của định lớ Ta-lột). (1)
 CD AC
 ON BN
Xột BDC cú ON // CD nờn (hệ quả của định lớ Ta-lột). (2)
 CD BC
 AO BN
Xột ABC cú ON // AB nờn (định lớ Ta-lột). (3)
 AC BC
 OM ON
Từ (1), (2), (3) suy ra 
 CD CD
Do đú OM = ON.
 1 1 1
Xột AOD vuụng tại O, OM  AD nờn (hệ thức 4).
 OM2 OA2 OD2
 1 1 1
Do đú OM 7,7 (cm). 
 OM2 92 152
Suy ra MN 7,7.2 15,4 (cm).
Vận dụng hệ thức 4:
Bài 1: Cho hỡnh vuụng ABCD cạnh 1. Gọi M là một điểm nằm giữa B và C. Tia 
 1 1
AM cắt đường thẳng CD tại N. Tớnh giỏ trị của biểu thức P 
 AM2 AN2
 Hướng dẫn giải
* Tỡm cỏch giải
 1 1 1 1 1
Biểu thức gợi ý cho ta vận dụng hệ thức (4) để giải. Muốn 
 AM2 AN2 h2 b2 c2
vậy phải tạo ra một tam giỏc vuụng cú cỏc cạnh gúc vuụng bằng AM, AN.
* Trỡnh bày lời giải
Qua A vẽ một đường thẳng vuụng gúc với AM cắt đường thẳng CD tại E.
 à à  à ả ã
 ADE và ABM cú D B 90 AD = AB; A1 A2 (cựng phụ với DAM ).
Do đú ADE ABM g.c.g . Suy ra AE = AM.
 1 1 1
Xột AEN vuụng tại A cú AD  EN nờn 
 AE2 AN2 AD2 Bài 1: Cho hỡnh thang ABCD, Aˆ Dˆ 90 hai đường chộo vuụng gúc với 
nhau tại O. Cho biết AD = 12cm; CD = 16cm. Tớnh cỏc độ dài OA, OB, OC, OD.
 Hướng dẫn giải
 ADC vuụng tại D, theo định lớ Py-ta-go ta cú: 
 AC 2 AD2 DC 2 122 162 400 . 
Suy ra AC = 20 (cm).
 ADC vuụng tại D, DO là đường cao nờn 
 AD.DC AC.DO (hệ thức 3).
 ADDC 12.16
Suy ra OD 9,6 (cm).
 AC 20
 AD2 122
Ta lại cú AD2 AC.AO (hệ thức 1) nờn OA 7,2 (cm).
 AC 20
Do đú OC 20 – 7,2 12,8 (cm).
Xột ABD vuụng tại A, AO là đường cao nờn AO2 OB.OD (hệ thức 2).
 AO2 7,22
 OB 5,4 (cm).
 OD 9,6
Bài 2: (Hóy giải bằng nhiều cỏch khỏc nhau) Cho tam giỏc ABC vuụng 
tại A, AH là đường cao. Biết AB=8cm, AC=6cm. Tớnh độ dài AH. )
 A
 Hướng dẫn giải
*Cỏch 1: Ta cú ABC vuụng tại A nờn :
 2 2 2 2 B
BC AB AC 8 6 10(cm) (Định lý Pytago) C H
 AB.AC
 ABC vuụng tại A, AH BC, nờn AH.BC AB.AC AH 4,8(cm)
 BC
*Cỏch 2: ABC vuụng tại A, AH BC, nờn:
 1 1 1 AB2.AC 2 64.36
 AH 2 AH 4.8(cm)
 AH 2 AB2 AC 2 AB2 AC 2 100
*Cỏch 3: Tam giỏc ABC vuụng tại A, Theo định lý Pytago ta cú Bước 2. Tớnh cỏc đoạn thẳng đú nhờ hệ thức về cạnh và đường cao.
 Bước 3. Liờn kết cỏc giỏ trị trờn để rỳt ra hệ thức cần chứng minh.
Chỳ ý: Cú thể vẽ thờm hỡnh phụ để tạo thành tam giỏc vuụng hoặc tạo thành đường 
cao trong tam giỏc vuụng từ đú vận dụng cỏc hệ thức.
. TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GểC NHỌN
. Lý thuyết
 1. Định nghĩa
 cạnh đối cạnh kề 
 sin cos 
 cạnh huyền cạnh huyền 
 cạnh đối cạnh kề 
 tan cot 
 cạnh kề cạnh đối
 Từ định nghĩa ta cú cả bốn tỉ số lượng giỏc đều dương và sina 1; cosa 1. 
 2. Định lớ
 Nếu hai gúc phụ nhau thỡ sin của gúc này bằng cụsin của gúc kia, tang của gúc 
 này bằng cụtang của gúc kia.
 3. Một số hệ thức cơ bản
 sin cos 
 tan (1); cot (2);
 cos sin 
 tan . cot 1 (3); sin2 cos2 1 (4).
 4. So sỏnh cỏc tỉ số lượng giỏc
 Cho ,  là hai gúc nhọn. Nếu  thỡ
 sin sin  ; tan tan ; 
 cos cos ; cot cot . 
 Bảng lượng giỏc một số gúc đặc biệt 2 2 2 2
 2 cos cos sin cos 1
 a) Ta cú 1 cot 1 1 2 2 2 
 sin sin sin sin 
Nhận xột: Trong cỏch giải trờn ta đó biến đổi vế trỏi thành vế phải. Ta cũng cú thể 
biến đổi vế phải thành vế trỏi theo chiều ngược lại.
Hai hệ thức trờn cũng là hệ thức cơ bản, nờn nhớ để sau này vận dụng.
Bài 2: Cho là một gúc nhọn. Chứng minh rằng:
 a) sin tan ; b) cos cot .
 Hướng dẫn giải
 AC AC AC AC
a) Ta cú sin tan mà BC > AB nờn 
 BC AB BC AB
Do đú sin tan ;
 AB AB AB AB
b) Ta cú cos cot mà BC > AC nờn 
 BC AC BC AC
Do đú cos cot 
Nhận xột: Phương phỏp giải vớ dụ này là dựng định nghĩa của tỉ số lượng giỏc.
Bài 3: Chứng minh định lớ sin: Trong một tam giỏc nhọn, độ dài cỏc cạnh tỉ lệ 
 a b c
với sin của cỏc gúc đối diện: 
 sin A sin B sin C
 Hướng dẫn giải
* Tỡm cỏch giải:
Để cú sin A (hoặc sin B, sin C) thỡ phải xột tam giỏc vuụng với A là 
một gúc nhọn. Do đú phải vẽ thờm đường cao.
* Trỡnh bày lời giải:
Vẽ đường cao CH. 
 CH
Xột ACH vuụng tại H ta cú: sin A (1)
 AC
 CH
Xột BCH vuụng tại H ta cú: sin B (2)
 BC