Chuyên đề Ôn thi vào 10 - Chủ đề: Hàm số bậc hai và các bài toán tương giao với đồ thị hàm số bậc nhất

 HÀM SỐ BẬC HAI VÀ CÁC BÀI TOÁN 
 Chủ đề 6 TƯƠNG GIAO VỚI ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC NHẤT
 HÀM SỐ BẬC HAI VÀ CÁC BÀI TOÁN 
 Chủ đề 6 TƯƠNG GIAO VỚI ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC NHẤT
F. HÀM SỐ BẬC HAI
Mục Lục
F. HÀM SỐ BẬC HAI...............................................................................................................1
￿. KIẾN THỨC CẦN NHỚ......................................................................................................1
￿. BÀI TẬP ..................................................................................................................................3
 Sự tương giao giữa đường thẳng và đồ thị hàm số bậc hai. 6
￿. PHẦN BÀI TẬP TỰ LUYỆN .............................................................................................17
￿. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
 2
Hàm số y ax với a 0 
* Hàm số này có tập xác định x ¡ 
* Nếu a >0 thì hàm số nghịch biến khi x 0
* Nếu a 0 và đồng biến khi x < 0
* Nếu a > 0 thì y > 0 ￿x ≠ 0
+) y = 0 khi x = 0. Giá trị nhỏ nhất của hàm số là y = 0.
* Nếu a < 0 thì y < 0 ￿x ≠ 0
+) y = 0 khi x = 0. Giá trị lớn nhất của hàm số là y = 0.
 2
 ● Đồ thị của hàm số y ax (a 0)
 2
 * Đồ thị của hàm số y ax (a 0) là một đường cong đi qua gốc tọa độ và nhận 
 trục Oy làm trục đối xứng. Đường cong đó được gọi là một Parabol với đỉnh O. ￿. BÀI TẬP
 3
 y f x x2
Bài 1: Cho hàm số 2
 2 
 f 
 f 5 
 1) Hãy tính f 2 ; f 3 ; ; 3 
 1 3 
 B 2;3 D ; 
 2) Các điểm A 2;6 , , C 4; 24 , 2 4 có thuộc đồ thị hàm số không ?
 Hướng dẫn giải
 3 2 3 3 3 27
 f 2 . 2 .4 6 f 3 .32 .9 
 1) Ta có: 2 2 ; 2 2 2 ; 
 2
 2 2 3 2 3 2 1
 3 3 15 f . . 
 f 5 . 5 .5 3 2 3 2 9 3
 2 2 2 ; 
 3
 y f x x2
 2) +) Thay toạ độ điểm A 2;6 vào công thức hàm số 2 
 3
 6 .22
 Ta có 2 6 6 ( thỏa mãn) 
 3
 y f x x2
 Vậy điểm A 2;6 thuộc đồ thị hàm số 2
 3
 y f x x2
 +) Thay toạ độ điểm C 4; 24 vào công thức hàm số 2 
 3 2
 24 . 4 
 Ta có 2 24 24 ( vô lí) 
 3
 y f x x2
 C 4; 24 
 Vậy điểm không thuộc đồ thị hàm số 2
 3 2
 B 2;3 y f x x
 +) Thay toạ độ điểm vào công thức xác định hàm số 2 
 3 2 3
 3 . 2 3 .2
 Ta có 2 2 ( thỏa mãn) 
 3 2
 B 2;3 y f x x
 Vậy điểm thuộc đồ thị hàm số 2 x 1 y 2.12 2 M 1;2 
 +) Với 1 1 
 2
 1 1 1 1 1 1 
 y 2. 2. N ;
 x2 1 
 +) Với 2 2 4 2 2 2 
 2
Vậy với m = 0 thì đồ thị hàm số y 2x và đồ thị hàm số y x 1 cắt nhau tại 2 điểm 
 1 1 
 N ; 
phân biệt M 1;2 và 2 2 . 
 2
Bài 3: a) Vẽ đồ thị hàm số y x (P) và đường thẳng y x 2 d trên cùng một 
mặt phẳng toạ độ Oxy. 
b) Tìm toạ độ giao điểm của (P ) và d bằng phép tính. 
 Hướng dẫn giải
 2
a) Vẽ đồ thị hàm số y x (P) 
Lập bảng giá trị tương ứng giữa x và y.
 x - 3 - 2 - 1 0 1 2 3
 y x2 9 4 1 0 1 4 9
 2
Đồ thị hàm số y x (P) là một Parabol có bề lõm quay xuống phía dưới và đi qua các 
điểm có toạ độ O 0;0 ; A 1;1 ; A' 1;1 ; B 2;4 ; B ' 2;4 ; C 3;9 ;C ' 3;9 
+) Đường thẳng y x 2 d 
 Cho x = 0 y = 2 D 0;2 Oy 
 y = 0 x = 2 E 2;0 Ox 
 Đường thẳng y 2x 2 d 
đi qua 2 điểm D (0; 2) và E (2; 0)
 2
b) Toạ độ giao điểm của đồ thị hàm số y x (P) và đường thẳng y x 2 d là nghiệm 
 y x2 y x2 y x2 1 
 2 2
của hệ phương trình: y x 2 x x 2 x x 2 0 2 
 2
- Giải phương trình: x x 2 0 2 A x ; y
b) Tìm các giá trị của m để đường thẳng d luôn cắt P) tại hai điểm phân biệt 1 1 
B x ; y x y x y 0
 2 2 thỏa 1 1 2 2 .
 Hướng dẫn giải
 2 2
a) Phương trình hoành độ giao điểm x (2m 1)x m 2 x (2m 1)x m 2 0(*)
 2 2 2
Ta có (2m 1) 4.1(m 2) 4m 8m 9 4(m 1) 5 5 0
Vậy Parabol luông cắt đường thẳng tại hai điểm phân biệt.
 x1 x2 2m 1
 x x m 2
b) Vì là nghiệm của phương trình nên theo hệ thức Vi-et ta có: 1 2 . 
 y x2
 1 1
 y x2
Mặt khác 2 2 .
 x y x y 0 x3 x3 0 x x x2 x x x2 0
Ta có 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 
 1
 x x 0 2m 1 0 m 
 1 2 2
 2 2 2 
 x1 x1x2 x2 0 x1 x2 3x1x2 0 2
 4m 7m 7 0 (vn)
 1
 m 
Vậy 2 .
 2
Bài 6: Cho parabol (P) : y x và đường thẳng (d) : y 2ax 4a (với a là tham số )
 1
 a 
a) Tìm tọa độ giao điểm của (d) và P) khi 2 .
b) Tìm tất cả các giá trị của a để đường thẳng (d) cắt P) taị hai điểm phân biệt có 
 x ; x x x 3
hoành độ 1 2 thỏa mãn 1 2 .
 Hướng dẫn giải
a) Phương trình hoành độ (d) và P) là x2 2ax 4a 0 
 1
 a 
Khi 2 thì phương trình trở thành x2 x 2 0 
Có a b c 0 nên phương trình có 2 nghiệm là x 1; x 2 .
b) Phương trình hoành độ (d) và P) là x2 2ax 4a 0 (*) b) Ta có số giao điểm của hai đồ thị hàm số đã cho là số nghiệm của phương trình (1)
 2 2
Phương trình (1) có: m 4( 4) m 16 0m ¡ 
 x ; x
Do đó (1) luôn có hai nghiệm phân biệt 1 2 
 A x ; y
Vậy đồ thị của hai hàm số đã cho luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt 1 1 1 và 
 A x ; y
 2 2 2 với mọi m 
 x1 x2 m
 x  x 4
Theo hệ thức Vi-et ta có: 1 2 
 y x2
 1 1
 y x2
Ta lại có: 2 2 
 y2 y2 72
Theo đề, ta có: 1 2 
 2 2 2 2 2 2
 2 2 x x 2x x 2 x x 49 2 2
 x1 x2 49 1 2 1 2 1 2 m 2.( 4) 2 4 49
 2 2 2 2 2
 (m 8) 81 m 8 9 m 1 (trường hợp m 8 9 vô nghiệm vì m 0 )
 y 2 y 2 72
Vậy với m 1;m 1 thì 1 2 .
 1
 y x2
Bài 8: Cho hàm số 2 có đồ thị (P) .
a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số.
b) Cho đường thẳng y mx n ( ) . Tìm m,n để đường thẳng ( ) song song với đường 
thẳng y 2x 5 (d) và có duy nhất một điểm chung với đồ thị (P) .
 Hướng dẫn giải
a) HS tự vẽ đồ thị hàm số.
 m 2
b) song song với y 2x 5 suy ra n 5 
 1
 x2 2x n
Phương trình hoành độ giao điểm của và (P): 2 
 x2 4x 2n 0 (*)
Để và (P) có một điểm chung duy nhất thì phương trình (*) có nghiệm duy nhất thì 
 0 4 2n 0 n 2 (thỏa mãn) Với x 2 ta có y 2 A( 2;2) 
Với x 4 ta có y 8 B(4;8) 
Gọi M (m;0) thuộc tia Ox(m 0) Gọi C( 2;0), D(4;0) 
Xét hai trường hợp:
 S S S S
Trường hợp 1: M thuộc đoạn OD: Ta có AMB ABDC ACM BDM
Có ABDC là hình thang, AC 2cm, BD 8cm,CD 6cm 
 (2 8)6 2
 SABDC 30 cm 
⇒ 2
 S 30
Suy ra AMB cm2 (loại)
Trường hợp 2: M thuộc tia Dx (M D) m 4 
 S S S S
Ta có : AMB ABDC ACM BDM
 S 30cm2 , MC m 2(cm), MD m 4(cm)
Có ABCD
Suy ra
 1 1 2
SACM AC.CM .2.(m 2) m 2(cm )
 2 2 
 1 1
S BD.DM .8.(m 4) 4(m 4)(cm2 )
 BDM 2 2
 2
 SAMB 30cm SACM SBDM m 2 4(m 4) m 6
m = 6 (thỏa mãn). Vậy M (6;0) là điểm cần tìm.
Bài 11: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d) : y 3x m 1 và parabol 
 2
(P) : y x 
a) Chứng minh (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi m.
 x , x x 1 x 1 1
b) Gọi 1 2 là hoành độ các giao điểm của (d) và (P). Tìm m để 1 2 
 Hướng dẫn giải
a) Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P)
x2 3x m2 1 x2 3x m2 1 0(*)