Chuyên đề Ôn thi vào 10 - Chủ đề: Góc với đường tròn

 GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN
 GÓC Ở TÂM – GÓC NỘI TIẾP – GÓC TẠO BỞI TIẾP TUYẾN VÀ DÂY CUNG 
 Chủ đề 2
 GÓC CÓ ĐỈNH BÊN TRONG, BÊN NGOÀI ĐƯỜNG TRÒN
B. GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN
MỤC LỤC
B. GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN............................................................................................1
. GÓC Ở TÂM.................................................................................................................2
 . Lý thuyết.....................................................................................................................2
 . Bài tập..........................................................................................................................3
. GÓC NỘI TIẾP - GÓC TẠO BỞI TIẾP TUYẾN VÀ DÂY CUNG....................5
 . Lý thuyết.....................................................................................................................5
 . Bài tập..........................................................................................................................7
. GÓC CÓ ĐỈNH BÊN TRONG VÀ BÊN NGOÀI ĐƯỜNG TRÒN .................12
 . Lý thuyết...................................................................................................................12
 . Bài tập........................................................................................................................13
. MỘT SỐ BÀI TẬP .....................................................................................................14
 DẠNG 1: GÓC NỘI TIẾP – GÓC TẠO BỞI TIA TIẾP TUYẾN VÀ DÂY CUNG
 ............................................................................................................................................14
 HƯỚNG DẪN GIẢI DẠNG 1.....................................................................................17
 DẠNG 2: GÓC CÓ ĐỈNH Ở BÊN TRONG VÀ BÊN NGOÀI ĐƯỜNG TRÒN
 ............................................................................................................................................23
 HƯỚNG DẪN GIẢI DẠNG 2.....................................................................................25
 Chúc các em học sinh học tập tốt! ￿ Đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thỡ qua trung điểm của dây 
 căng cung ấy ( đảo lại không đúng)
￿ Đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuông góc với dây căng 
 cung ấy và ngược lại.
 PHƯƠNG PHÁP GIẢI:
 Để tính số đo của góc ở tâm, số đo của cung bị chắn, ta sử dụng các kiến thức sau:
 ✓ Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó.
 ✓ Số đo của cung lớn bằng hiệu giữa 3600 và số đo của cung nhỏ (có chung hai 
 đầu mút với cung lớn).
 ✓ Số đo của nửa đường tròn bằng 1800 . Cung cả đường tròn có số đo 3600 .
 ✓ Sử dụng tỉ số lượng giác của một góc nhọn để tính góc.
 ✓ Sử dụng quan hệ đường kính và dây cung.
. Bài tập
Bài 1: Hai tiếp tuyến tại A và B của đường tròn (O) cắt nhau tại P. Biết A· PB 550 . 
Tính số đo cung lớn AB.
 Hướng dẫn giải
Tìm cách giải. Tính góc ở tâm trước, rồi tính số đo cung nhỏ AB. Cuối cùng tính số 
đo cung lớn.
Trình bày lời giải
 A
Tứ giác APBO có O· AP 90 ;O· BP 90 ( vì PA, PB là tiếp 
tuyến), APB 550 nên: 
 O
·AOB 360 90 90 550 125 (tổng các góc trong tứ P
giác AOBP) suy ra số đo cung nhỏ AB là 1250. 
 Vậy số đo cung lớn AB là: 3600 –1250 2350 . B
Bài 2: Cho hai tiếp tuyến tại A và B của đường tròn (O) cắt nhau tại M, biết·A MB 400 .
a) Tính ·AMO và ·AOM . 
b) Tính số đo cung AB nhỏ và số đo cung AB lớn.
 Hướng dẫn giải Hướng dẫn giải
Tìm cách giải. Vận dụng tỉ số lượng giác trong tam giác vuông khi biết độ dài hai 
cạnh (theo bán kính) từ đó tính ra được góc ở tâm.
Trình bày lời giải
a) Do MA và MB là các tiếp tuyến của (O) nên MA  AO và MB  BO
Xét tam giác vuông MAO có A
 AO 1 0 0
sin A· MO ·AMO 30 ·AOM 60 ;
 MO 2 C
 M O
 · 0 » 0
b) Tương tự bài 1 tính được AOB 120 , sđ AB 120 ;
 B
 · · » »
c) AOC BOC AC BC.
. GÓC NỘI TIẾP - GÓC TẠO BỞI TIẾP TUYẾN VÀ DÂY CUNG
. Lý thuyết
 A
1. Định nghĩa . 
￿ Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa 
 hai dây cung của đường tròn đó.
 O
Cung nằm bên trong góc được gọi là cung bị chắn.
 B
Trong hình bên thì C
 B· AC là góc nội tiếp
 B»C là cung bị chắn x
￿ Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung là góc có đỉnh nằm 
 B
 trên đường tròn và một cạnh là một tia tiếp tuyến còn cạnh A
 kia chứa dây cung của đường tròn đó. O
Theo hình bên thì
 y
 B· Ax và B· Ay là hai góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung.
2. Định lý . 
￿ Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn.
￿ Số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo góc của cung bị 
 chắn.
3. Hệ quả 1. Trong một đường tròn :
a) Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau.
b) Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau. Do M là điểm chính giữa cung nhỏ AB nên sđ M¼ B sđ M¼ A
Do MN // BC nên N· MC M· CB sđ M¼ B = sđ N¼C 
 ¼ ¼ ¼
Vậy sđ MB sđ MA =sđ NC 
N· AS A· NS (hai góc nội tiếp cùng chắn hai cung bằng nhau)
S·MC S·CM (hai góc nội tiếp cùng chắn hai cung bằng nhau)
Vậy các tam giác ASN và MSC cân tại C SN SA;SM SC 
Nhận xét: Ở bài toán này học sinh có thể nhớ tới bài toán: Trong một đường tròn, 
hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau từ đó nhìn ra M¼ B C»N 
Bài 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Tia phân giác góc A cắt BC tại D 
và cắt đường tròn tại điểm thứ hai là M. Kẻ tiếp tuyến AK với đường tròn (M, MB), 
K là tiếp điểm. Chứng minh rằng DK vuông góc với AM.
 Hướng dẫn giải
Tìm cách giải. Ta có: A· KM 90 nên DK  AM DMK￿ KMA . Mặt khác hai tam 
giác có ·AMK chung. Do yêu cầu chứng minh về góc nên để chứng minh hai tam giác 
 MD MK
đồng dạng ta nên dùng c.g.c. Do vậy cần chứng minh .
 MK MA
Trình bày lời giải:
 ¶ ¶ µ ¶ µ ¶ A
A1 A2 mà B1 A2 ( góc nội tiếp) nên B1 A1 . 
 2
 MD MB MD MK 1
 MBD ∽ MAB (g.g) K
 MB MA MK MA O
 · · B
Kết hợp với DMK AMK (góc chung) 1 D C
ta có: DMK￿ KMA (c.g.c) M· DK M· KA 90
 M
Vậy DK AM.
Bài 3: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AH và nội tiếp đường tròn tâm 
O, đường kính AM.
a) Tính ·ACM ;
b) Chứng minh B· AH O· CA;
c) Gọi N là giao điểm AH với đường tròn (O). Tứ giác BCMN là hình gì? Vì sao?
 Hướng dẫn giải Mặt khác : E· BC D· CB B· ED, E· AB D· AB D· AE . Vậy B· ED D· AE .
b) Ta có : A· DE A· BC C· AB E· DB mà theo câu a): B· ED D· AE , suy ra: 
 DE DB
 BED ∽ EAD (g-g) DE2 DA.DB
 DA DE
Bài 5: Tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Các điểm M, N, P là điểm chính 
giữa của các cung AB, BC, CA. Gọi D là giao điểm của MN và AB, E là giao điểm 
của PN và AC. Chứng minh rằng DE song song với BC.
 Hướng dẫn giải
Tìm cách giải. Khai thác điểm chính giữa của một cung , ta nhận được các tia phân 
giác của góc. Do vậy nếu khai thác tính chất đường phân giác của tam giác, ta được 
các tỉ số. Với suy luận đó, để chứng minh DE // BC ta cần vận dụng định lý Ta-lét 
đảo.
Trình bày lời giải: A
» » AE AN P
 AP PC NE là đường phân giác của ANC (1) M
 EC NC
 D E
 AD AN O
¼AM M»B ND là đường phân giác của ANB 
 DB NB B C
(2) 
 N
B»N N»C NB = NC (3)
 AE AD
Từ (1), (2) và (3) suy ra , do đó DE // BC.
 EC DB
Bài 6: Từ điểm M ở ngoài đường tròn (O), vẽ hai tiếp tuyến MA, MB và một cát 
 IC MC
tuyến MCD. Gọi I là giao điểm của AB và CD. Chứng minh rằng: .
 ID MD
 Hướng dẫn giải
Tìm cách giải. Khai thác góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung dễ dàng chỉ ra 
 MAC ∽ MDA và MBC ∽ MDB . Từ đó biến đổi các hệ thức để giải bài toán.
Trình bày lời giải
Ta có M· AC ·ADC (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung); A· MD chung. Suy ra 
 MA AC
 MAC ∽ MDA (g-g) suy ra: MA2 MC.MD và 
 MD AD