Chuyên đề Ôn thi vào 10 - Chủ đề: Giải bài toán bằng cách lập phương trình bậc hai

 GIẢI BÀI TOÁN 
 Chủ đề 4 BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
D. GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
D. GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI.............................1
. KIẾN THỨC CẦN NHỚ ..................................................................................................2
. PHÂN DẠNG TOÁN.......................................................................................................2
 Dạng 1. Toán về quan hệ số ................................................................................................2
 Ví dụ minh họa:.................................................................................................................2
 Bài tập tự luyện:.................................................................................................................3
 Dạng 2: Toán chuyển động..................................................................................................4
 Ví dụ minh họa:.................................................................................................................4
 Bài tập tự luyện:...............................................................................................................10
 Dạng 3: Toán về năng suất – Khối lượng công việc - %...............................................12
 Ví dụ minh họa:...............................................................................................................12
 Bài tập tự luyện:...............................................................................................................15
 Dạng 4: Toán có nội dung hình học.................................................................................17
 Ví dụ minh họa:...............................................................................................................17
 Bài tập tự luyện:...............................................................................................................18
 Dạng 5. Các dạng toán khác ..............................................................................................19
 Ví dụ minh họa:...............................................................................................................19
 Bài tập tự luyện:...............................................................................................................21 Vì tổng các bình phương của nó là 85 nên ta có phương trình: x2 x 1 2 85 
 x2 x2 2x 1 85
 2x2 2x 84 0
 x2 x 42 0
 b2 4ac 12 4.1.( 42) 169 0
 169 13
 1 13
 x 6 (tho¶ m·n ®iÒu kiÖn)
 1 2
Phương trình có hai nghiệm: 
 1 13
 x 7 (lo¹i)
 2 2
Vậy hai số phải tìm là 6 và 7.
Bài 2: Một phân số có tử số bé hơn mẫu số là 11. Nếu bớt tử số đi 5 đơn vị và 
tăng mẫu số lên 4 đơn vị thì sẽ được phân số mới là nghịch đảo của phân số đã cho. 
Tìm phân số đó
 Hướng dẫn giải 
Gọi tử số của phân số của phân số cần tìm là x thì mẫu số của phân số cần là x 11 (đk: 
x Z; x 0, x 11)
 x
Phân số cần tìm là 
 x 11
Khi bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu số 4 đơn vị ta được phân số 
 x 7
 (Điều kiện : x 15 )
 x 15
 x x 15
Theo bài ra ta có phương trình : 
 x 11 x 7
 5
Giải PT tìm x 5 vậy phân số cần tìm là .
 6
Bài tập tự luyện:
Bài A.01: Tìm hai số biết rằng hai lần số thứ nhất hơn ba lần số thứ hai là 9 và hiệu các bình 
phương của chúng bằng 119.
Bài A.02: Tìm hai số biết rằng tổng chúng là 17 và tổng lập phương của chúng bằng 1241.
Bài A.03: Tích của hai số tự nhiên lien tiếp lớn hơn tổng của chúng là 109. Tìm hai số đó. Gọi vận tốc của người đi xe đạp khi đi từ A đến B là x km/h, x 0 . 
 36
Thời gian của người đi xe đạp khi đi từ A đến B là (giờ)
 x
Vận tốc của người đi xe đạp khi đi từ B đến A là x+3 (km/h)
 36
Thời gian của người đi xe đạp khi đi từ B đến A là (giờ)
 x 3
 36 36 36
Ta có phương trình: 
 x x 3 60
 x 12
Giải phương trình này ra hai nghiệm 
 x 15 loai 
 
Vậy vận tốc của người đi xe đạp khi đi từ A đến B là 12 km/h
Bài 2: Hai người đi xe đạp cùng xuất phát từ A để đến B với vận tốc bằng nhau. 
 2
Đi được quãng đường, người thứ nhất bị hỏng xe nên dừng lại 20 phút và đón ô tô 
 3
quay về A, còn người thứ hai không dừng lại mà tiếp tục đi với vận tốc cũ để tới B.Biết 
rằng khoảng cách từ A đến B là 60 km, vận tốc ô tô hơn vận tốc xe đạp là 48 km/h và 
khi người thứ hai tới B thì người thứ nhất đã về A trước đó 40 phút. Tính vận tốc của 
xe đạp
 Hướng dẫn giải
Gọi x (km/h) là vận tốc của xe đạp, thì x 48 (km/h) là vận tốc của ô tô. Điều kiện: 
x > 0
 60 km
 A C B
 oâ toâ xe ñaïp
 2
Hai người cùng đi xe đạp một đoạn đường AC = AB = 40km
 3
Đoạn đường còn lại người thứ hai đi xe đạp để đến B là: CB AB AC 20 km Gọi x (km/h) là vận tốc ban đầu của xe ô tô ( điều kiện: x > 0)
Thì vận tốc lúc sau của ô tô là x + 20 (km/h)
Quãng đường đi được sau 2 giờ là: 2x (km)
Quãng đường đi sau khi nghỉ ngơi là: 180 – 2x (km)
 180 1 180 2x
Viết được phương trình: 2 
 x 4 x 20
Hay x2 180x –14400 0 
Tìm được x 60 (thỏa mãn) ; x 240 (loại)
Vậy vận tốc ban dầu của xe là 60km/h.
Bài 5: Trên một vùng biển được xem như bằng phẳng và không có chướng ngại 
vật. Vào lúc 6 giờ có một tàu cá đi thẳng qua tọa độ X theo hướng Từ Nam đến Bắc với 
vận tốc không đổi. Đến 7 giờ một tàu du lịch cũng đi thẳng qua tọa độ X theo hướng từ 
Đông sang Tây với vận tốc lớn hơn vận tốc tàu cá 12 km/h. Đến 8 giờ khoảng cách giữa 
hai tầu là 60 km. Tính vận tốc của mỗi tàu.
 Hướng dẫn giải
Gọi vận tốc của tàu cá là: x (km/h), điều kiện: x > 0 
Vận tốc của tàu du lịch là: x 12 (km/h )
Đến 8 giờ thì hai tàu cách nhau khoảng AB = 60 (km)
lúc đó, thời gian tàu cá đã đi là: 8 – 6 = 2 (giờ)
thời gian tàu du lịch đã đi là: 8 – 7 = 1 (giờ)
Giả sử tàu cá đến điểm A, tàu du lịch đến điểm B
Tàu cá đã đi đoạn XA = 2x (km)
Tàu du lịch đã đi đoạn XB 1. x 12 x 12 (km)
Vì XA  XB (do hai phương Bắc – Nam và Đông –Tây vuông góc nhau)
Nên theo định lý Pytago, ta có: XA2 XB2 AB2 
 (2x)2 (x 12)2 602 5x2 24x 3456 0
 x1 28,8 (L)
 x2 24 (TM )
Vậy vận tốc của tàu cá và tàu du lịch lần lượt là: 24 km/h và 36 km/h 1 1 1 1 1 1
 x2 14x 24 0
 x y 4 x x 6 4 ( điều kiện: x 6 )
 y 2 6
 x y 6 y x 6
Giải phương trình x2 14x 24 0 được: x = 12 (thỏa mãn); hoặc x = 2 (loại)
Với x = 12, tìm được y = 6. Do đó, nghiệm của hệ là (12;6)
Vậy thời gian xe máy đi hết quãng đường AB là 12 giờ, ôtô đi hết quãng đường AB là 
6 giờ.
Bài 8: Cho quãng đường từ địa điểm A tới địa điểm B dài 90 km. Lúc 6 giờ một 
xe máy đi từ A để tới B. Lúc 6 giờ 30 phút cùng ngày, một ô tô cũng đi từ A để tới B với 
vận tốc lớn hơn vận tốc xe máy 15 km/h (Hai xe chạy trên cùng một con đường đã cho). 
Hai xe nói trên đều đến B cùng lúc. Tính vận tốc mỗi xe.
 Hướng dẫn giải 
 1
Xe máy đi trước ô tô thời gian là : 6 giờ 30 phút - 6 giờ = 30 phút = h .
 2
Gọi vận tốc của xe máy là x ( km/h ) ( x > 0 )
Vì vận tốc ô tô lớn hơn vận tốc xe máy 15 km/h nên vận tốc của ô tô là x + 15 (km/h)
 90
Thời gian xe máy đi hết quãng đường AB là : (h)
 x
 90
Thời gian ô tô đi hết quãng đường AB là : (h)
 x 15
 1
Do xe máy đi trước ô tô giờ và hai xe đều tới B cùng một lúc nên ta có phương trình: 
 2
90 1 90
 x 2 x 15
 90.2.(x 15) x(x 15) 90.2x
 180x 2700 x2 15x 180x
 x2 15x 2700 0b
Ta có : 152 4.( 2700) 11025 0 ; 11025 105
 15 105
x 60 ( không thỏa mãn điều kiện )
 1 2 Toán về chuyển động cùng chiều
Bài B.09: Hai xe máy khởi hành lúc 7 giờ sáng từ A để đến B. Xe máy thứ nhất chạy với 
vận tốc 30 km/h, xe máy thứ hai chạy với vận tốc lớn hơn vận tốc xe máy thứ nhất là 6 
km/h. Trên đường đi xe thứ hai dừng lại nghỉ 40 phút rồi lại tiếp tục chạy với vận tốc 
cũ. Tính chiều dài quãng đường AB, biết cả hai xe đến B cùng lúc.
Bài B.10: Lúc 7 giờ sáng một người đi xe đạp khởi hành từ A với vận tốc 10 km/h. Sau 
đó lúc 8 giờ 40 phút, một người khác đi xe máy từ A cũng đuổi theo với vận tốc 30 km/h. 
Hỏi hai người gặp nhau lúc mấy giờ?
Bài B.11. Một đoàn tàu hỏa từ Hà Nội đi Thành phố Hồ Chí Minh, 1 giờ 48 phút sau, 
một đoàn tàu hỏa khác khởi hành từ Nam Định cũng đi Thành phố Hồ Chí Minh với 
vận tốc nhỏ hơn vận tốc của đoàn tàu thứ nhất 5 km/h. Hai đoàn tàu gặp nhau ( tại 1 ga 
nào đó) sau 4 giờ 48 phút kể từ khi đoàn tàu thứ nhất khởi hành. Tính vận tốc của mỗi 
đoàn tàu, biết rằng Ga Nam Định nằm trên đường từ Hà Nội đi Thành phố Hồ Chí 
Minh và cách Ga Hà Nội 87 km.
Toán về chuyển động trên dòng nước
Bài B.12: Một ca nô tuần tra đi xuôi dòng từ A đến B hết 1 giờ 20 phút và ngược dòng 
từ B về A hết 2 giờ. Tính vận tốc riêng của ca nô, biết vận tốc dòng nước là 3 km/h. 
Bài B.13: Quãng đường một ca nô đi xuôi dòng trong 4 giờ bằng 2,4 lần quãng đường 
một ca nô đi ngược dòng trong 2 giờ. Hỏi vận tốc ca nô khi xuôi dòng. Biết rằng vận tốc 
ca nô khi nước yên tĩnh là 15 km/h.
Bài B.14. Lúc 7 giờ sáng, một chiếc ca nô xuôi dòng từ bến A đến bến B, cách nhau 36 
km, rồi ngay lập tức quay trở về và đến bến A lúc 11 giờ 30 phút. Tính vận tốc của ca 
nô khi xuôi dòng, biết vận tốc của dòng chảy là 6 km/h.
Bài B.15. Một chiếc ca nô khởi hành từ bến A đến bến B dài 120 km rồi từ B quay về A 
mất tổng cộng 11 giờ. Tính vận tốc của ca nô. Cho biết vận tốc của dòng là 2 km/h và 
vận tốc thật không đổi.