Chuyên đề Ôn thi vào 10 - Chủ đề: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

 GIẢI BÀI TOÁN 
 Chủ đề 3 BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH
C. GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH
C. GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH.........................................1
. KIẾN THỨC CẦN NHỚ ..................................................................................................2
. PHÂN DẠNG TOÁN.......................................................................................................2
 Dạng 1. Toán về quan hệ số ................................................................................................2
 Ví dụ minh họa:.................................................................................................................2
 Bài tập tự luyện:.................................................................................................................4
 Dạng 2: Toán chuyển động..................................................................................................6
 Ví dụ minh họa:.................................................................................................................7
 Bài tập tự luyện:...............................................................................................................10
 Dạng 3: Toán về năng suất – Khối lượng công việc - %...............................................11
 Ví dụ minh họa:...............................................................................................................12
 Bài tập tự luyện:...............................................................................................................19
 Dạng 4: Toán có nội dung hình học.................................................................................20
 Ví dụ minh họa:...............................................................................................................20
 Bài tập tự luyện:...............................................................................................................22
 Dạng 5. Các dạng toán khác ..............................................................................................22
 Ví dụ minh họa:...............................................................................................................22
 Bài tập tự luyện:...............................................................................................................25 Gọi chữ số hàng đơn vị của số cần tìm là y, điều kiện y N, (0 ≤ y ≤ 9)
Tổng chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị bằng 14 nên có phương trình: x y 14 
Số đó là: xy 10x y . Nếu đổi chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị cho nhau thì số 
mới là: yx 10y x
Theo bài ra ta số mới lớn hơn số đã cho 18 đơn vị nên có phương trình: 
10 y x – 10x y 18 
 x y 14 x 6
Từ đó ta có hệ phương trình (thoả mãn điều kiện)
 y x 2 y 8
Số cần tìm là 68.
Bài 2: Tìm một số tự nhiên có hai chữ số. Biết rằng chữ số hàng đơn vị hơn chữ 
số hàng chục là 5 đơn vị và khi viết chữ số 1 xen vào giữa hai chữ số của số đó thì ta 
được số mới lớn hơn số đó là 280 đơn vị.
 Hướng dẫn giải
Gọi chữ số hàng chục là a ( a N,0 a 9 )
Gọi chữ số hàng đơn vị là b ( b N,0 b 9 )
Số cần tìm là ab 10a b
Chữ số hàng đơn vị hơn chữ số hàng chục là 5 đơn vị nên ta có phương trình: 
b a 5 a b 5 1 
Khi viết chữ số 1 xen vào giữa hai chữ số của số đó thì ta được số mới là 
a1b 100a 10 b
Số mới lớn hơn số đó là 280 đơn vị nên ta có phương trình : 
 100a 10 b 10a b 280 2 
Từ 1 và 2 ta có hệ phương trình Bài A.02: Tổng các chữ số của 1 số có hai chữ số là 9. Nếu thêm vào số đó 63 đơn vị thì số thu 
được cũng viết bằng hai chữ số đó nhưng theo thứ tự ngược lại. Hãy tìm số đó? 
 (Đ/S: Số cần tìm là 18).
 2 1
Bài A.03: Tổng hai số bằng 51. Tìm hai số đó biết rằng số thứ nhất thì bằng số thứ hai. 
 5 6
 (Đ/S: Số cần tìm là 15 và 36).
Bài A.04: Tìm một số tự nhiên có hai chữ số, biết tổng các chữ số của nó là 7. Nếu đổi chỗ hai 
chữ số hàng đơn vị và hàng chục cho nhau thì số đó giảm đi 45 đơn vị.
 (Đ/S: Số cần tìm là 61).
 1
Bài A.05: Tìm một số tự nhiên có hai chứ số biết rằng tổng các chữ số của nó bằng số đó. 
 4
Nếu viết số đó theo thứ tự ngược lại thì được một số mới hơn số đã cho là 18.
 (Đ/S: Số cần tìm là 24 ).
Bài A.06: Tìm một số tự nhiên có ba chữ số sao cho tổng các chữ số bằng 17, chữ số hàng chục 
là 4, nếu đổi chỗ các chữ số hàng trăm và hàng đơn vị cho nhau thì số đó giảm đi 99 đơn vị.
 (Đ/S: Số cần tìm là 746).
Bài A.07: Tìm hai số tự nhiên có hai chữ số, biết tổng các chữ số của nó bằng 11, nếu đổi chỗ 
hai chữ số hàng chục và hàng đơn vị cho nhau thì nó tăng thêm 27 đơn vị.
 (Đ/S: Số cần tìm là 47).
Bài A.08: Tìm một số có hai chữ số biết rằng chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là 5 
và nếu đem số đó chia cho tổng các chữ số của nó thì được thương là 7 và dư 6.
 (Đ/S: Số cần tìm là 83).
Bài A.09: Một phân số có tử số bé hơn mẫu số là 11. Nếu bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu số 
lên 4 đơn vị thì sẽ được phân số mới là nghịch đảo của phân số đã cho. Tìm phân số đó.
 5
 (Đ/S: Số cần tìm là ).
 6
Bài A.10: Cho một số có hai chữ số. Nếu đổi chỗ hai chữ số của nó thì được một số lớn 
hơn số đã cho là 63. Tổng của số đã cho và số mới tạo thành bằng 99. Tìm số đã cho. 
Bài A.11: Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn 
vị là 2, nếu viết xen chữ số 0 vào giữa chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị thì số đó 
tăng thêm 630 đơn vị. Ví dụ minh họa: 
Bài 1: Lúc 6 giờ một ô tô chạy từ A về B. Sau đó nửa giờ, một xe máy chạy từ B về A. 
Ô tô gặp xe máy lúc 8 giờ. Biết vân tốc ô tô lớn hơn vận tốc xe máy là 10 km/h và khoảng 
cách AB 195 km . Tính vận tốc mỗi xe.
 Hướng dẫn giải 
Gọi vận tốc ô tô là x km/h x 0 .
Gọi vận tốc xe máy là y km/h y 0 .
Vì vận tốc ô tô hơn vận tốc xe máy là 10 km/h nên ta có phương trình: x y 10
Thời gian ô tô đã đi cho đến lúc gặp xe máy là: 8 6 2 (giờ).
 1 3
Thời gian xe máy đã đi cho đến lúc gặp ô tô là: 2 (giờ).
 2 2
Quãng đường ô tô chạy trong 2 giờ là 2x km .
 3 3y
Quãng đường xe máy chạy trong giờ là km .
 2 2
 3
Vì quãng đường AB dài 195km nên ta có phương trình 2x y 195 hay 4x 3y 390 . 
 2
 x y 10
Do đó ta có hệ hai phương trình : 
 4x 3y 390.
Giải hệ này ta được x 60; y 50 (thỏa mãn điều kiện).
Vậy vận tốc ô tô là 60 km/h, vận tốc xe máy là 50 km/h.
Bài 2: Một tàu thủy chạy xuôi dòng sông 66 km hết một thời gian bằng thời gian 
chạy ngược dòng 54 km. Nếu tàu chạy xuôi dòng 22 km và ngược dòng 9 km thì chỉ hết 
1 giờ. Tính vận tốc riêng của tàu thủy và vận tốc dòng nước (biết vận tốc riêng của tàu 
không đổi).
 Hướng dẫn giải
Gọi vận tốc riêng của tàu thủy là x (km/h).
Gọi vận tốc của dòng nước là y (km/h) (x y 0).
Suy ra vận tốc của tàu thủy khi xuôi dòng là x y (km/h).
Vận tốc của tàu thủy khi ngược dòng là x y (km/h). 10 10 1 1 1 1 1 1
 x y 6 x y 60 x 15 x 15 (tm)
Giải hệ pt: 
 5 5 7 1 1 7 1 1 y 20 (tm)
 x y 12 x y 60 y 20
Vậy vận tốc đạp xe hàng ngày của Nam là 15 (km/h)
Vận tốc đạp xe lớn nhất của Nam là 20 (km/h)
Bài 4: Một ca nô xuôi dòng một quãng sông dài 12km rồi ngược dòng quãng sông 
đó mất 2 giờ 30 phút. Nếu cũng quãng đường sông ấy, ca nô xuôi dòng 4km rồi ngược 
dòng 8km thì hết 1giờ 20 phút. Biết rằng vận tốc riêng của ca nô và vận tốc riêng của 
dòng nước là không đổi, tính cận tốc riêng của ca nô và vận tốc riêng của dòng nước.
 Hướng dẫn giải.
Gọi vận tốc riêng của ca nô và vận tốc riêng của dòng nước lần lượt là x, y (km/h; 
0 y x ).
Vận tốc ca nô xuôi dòng là: x y (km/h).
Vận tốc ca nô ngược dòng là: x y (km/h).
 5 4
Đổi: 2 giờ 30 phút giờ; 1giờ 20 phút giờ.
 2 3
Vì ca nô xuôi dòng một quãng sông dài 12km rồi ngược dòng quãng sông đó mất 2 giờ 
 12 12 5
30 phút nên ta có phương trình: (1).
 x y x y 2
Vì ca nô xuôi dòng 4km rồi ngược dòng 8km thì hết 1giờ 20 phút nên ta có phương 
 4 8 4
trình: (2)
 x y x y 3
 12 12 5
 x y x y 2
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình .
 4 8 4
 x y x y 3
 5 1
 12a 12b a 
 1 1 2 12
Đặt a ;b ( a 0;b 0 ) , ta có hệ  . 
 x y x y 4 1
 4a 8b b 
 3 8