Chuyên đề Ôn thi vào 10 - Chủ đề: Chứng minh Tứ giác nội tiếp

 Chủ đề 3: Chứng minh Tứ giác nội tiếp
 TỨ GIÁC NỘI TIẾP
 Chủ đề 3 CHỨNG MINH CÁC ĐIỂM THUỘC 1 ĐƯỜNG TRÒN
C. TỨ GIÁC NỘI TIẾP – CHỨNG MINH CÁC ĐIỂM THUỘC 1 ĐƯỜNG TRÒN
MỤC LỤC
C. TỨ GIÁC NỘI TIẾP – CHỨNG MINH CÁC ĐIỂM THUỘC 1 ĐƯỜNG TRÒN
..................................................................................................................................................1
. TỨ GIÁC NỘI TIẾP ....................................................................................................2
 . Lý thuyết.....................................................................................................................2
 . Bài tập..........................................................................................................................4
. CHỨNG MINH CÁC ĐIỂM CÙNG THUỘC MỘT ĐƯỜNG TRÒN............11
 . Lý thuyết...................................................................................................................11
 . Bài tập........................................................................................................................11
. BÀI TẬP THAM KHẢO (tự luyện)........................................................................14
 Dạng 1: Tứ giác có hai đỉnh liên tiếp cùng nhìn một cạnh dưới góc bằng 
 nhau ..............................................................................................................................14
 Dạng 2: Tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng 1800 ............................................16
 Dạng 3: Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện.17
 Dạng 4: Tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm .................................................18
 Dạng 5: Chứng minh 5 điểm nằm trên một đường tròn .....................................18
Trong bài hình học trong đề thi tuyển sinh vào 10, câu a sẽ thường yêu cầu các em 
chứng minh một tứ giác là tứ giác nội tiếp hoặc chứng minh các điểm cùng thuộc 
một đường tròn. Đây là một ý dễ trong bài toán nên các em hãy kiếm điểm tối đa từ 
ý này nhé!
Chủ đề dưới đây đã hệ thống một số biện pháp chứng minh tứ giác là tứ giác nội 
tiếp mà các em thường gặp. Hãy nắm vững kiến thức đã học trước đó để phục vụ 
cho lời giải nhé! Chủ đề 3: Chứng minh Tứ giác nội tiếp
Ví dụ minh họa:
Bài 1: Cho tam giác ABC, 2 đường cao BB’, CC’. Chứng minh tứ giác BCB’C’ 
nội tiếp.
 Hướng dẫn giải
Cách 1: Phương pháp 2: Chứng minh 4 đỉnh cách đều 1 điểm
Gọi O là trung điểm của BC. Xét BB’C có : B· B'C 900 (GT)
OB’ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền A
 (1)
 OB’ = OB = OC = r C'
 B'
Xét BC’C có : B· C'C 900 (GT)
Tương tự trên OC’ = OB = OC = r (2)
Từ (1) và (2) B, C’, B’, C (O; r) Tứ giác B
 O C
BC’B’C nội tiếp đường tròn.
Cách 2: Phương pháp 3: Tứ giác có hai đỉnh kề nhau 
cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lạ dưới một góc 
bằng nhau là tứ giác nội tiếp. 
 A
 Ta có: BB’  AC (giả thiết) B· B'C 900 .
 C'
 B'
 CC’  AB (giả thiết) B· C'C 900 .
 B’, C’ cùng nhìn cạnh BC dưới một góc vuông 
 B
 O C B’, C’ nằm trên đường tròn đường kính BC
 Hay tứ giác BC ' B 'C nội tiếp đường tròn đường kính 
 BC.
Cách 3: Phương pháp 1 và phương pháp 4: Tứ giác có tổng 2 góc đối bằng 1800 và 
Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện. 
Ta có: BB’  AC (giả thiết) B· B'A 900 . Chủ đề 3: Chứng minh Tứ giác nội tiếp
Từ 1 , 2 , 3 suy ra K· IM I·HM ;M· KI M· IH.
Do đó IMK : MHI(g.g) 
 MK MI
 MI 2 MK.MH .
 MI MH
c) * Ta có P· MQ P· IQ B· MC P· IM Q· IM 
 B· MC M· CI M· BC 1800 
Hay P· MQ P· IQ 1800
Suy ra tứ giác MPIQ nội tiếp. (phương pháp 1)
* Từ đó ta có M· PQ M· IQ M· PQ M· BC
 PQ / /BC mà MI  BC nên MI  PQ
Bài 2: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính 
 AB 2R và tia tiếp tuyến Ax cùng phía với nửa đường tròn đối với AB . Từ điểm 
M trên Ax kẻ tiếp tuyến thứ hai MC với nửa đường tròn (C là tiếp điểm). AC cắt 
OM tại E; MB cắt nửa đường tròn O tại D ( D khác B ).
a) Chứng minh: AMCO và AMDE là các tứ giác nội tiếp đường tròn.
b) Chứng minh MBCD là tứ giác nội tiếp (xem cách giải Bài 3)
 Hướng dẫn giải
 x
 N
 C
 M D
 I
 E
 A H O B
 · ·
 Vì MA, MC là tiếp tuyến nên: MAO MCO 900 . Tứ giác AMCO có 
M· AO M· CO 1800 AMCO là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính MO.
· ·
ADB 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ADM 900 (1) Chủ đề 3: Chứng minh Tứ giác nội tiếp
a) Chứng minh tứ giác ADHE là hình chữ nhật, từ đó tính DE biết R 25 và 
BH 10
b) Chứng minh tứ giác BDEC nội tiếp đường tròn.
 Hướng dẫn giải
 A
 Ta có B· AC 90o (vì góc nội tiếpchắn 
 nửa đường tròn)
 E
 Tương tự có B· DH C· EH 90o
 D
 Xét tứ giác ADHE có 
 Aµ A· DH A· EH 90o ADHE
 B hay là hình 
 O H O O C
 1 2 chữ nhật.
Từ đó DE AH mà AH 2 =BH .CH (Hệ thức lượng trong tam giác vuông)
hay AH 2 10.40 202 BH 10;CH 2.25 10 40 DE 20
b) Ta có: B· AH = Cµ (góc có cạnh tương ứng vuông góc) mà D· AH A· DE (1)
(Vì ADHE là hình chữ nhật) => Cµ A· DE do Cµ B· DE 180o nên tứ giác BDEC nội tiếp 
đường tròn.
Lưu ý: Có thể hướng dẫn học sinh một cách sử dụng hệ thức lượng và tam giác 
đồng dạng như sau:
Tam giác AHB vuông tại H, đường cao AH. Ta có AH 2 AD.AB 
Tam giác AHC vuông tại H, đường cao AE. Ta có AH 2 AE.AC 
 AD AE
Ta có AD.AB AE.AC 
 AC AB
 AD AE
Xét tam giác ADE và tam giác ACB có , B· AC D· AE 900 (góc chung)
 AC AB
 ADE” ACB ·ADE ·ACB mà ·ADE E· DB 1800 nên ·ADE E· CB 1800
Tứ giác BDEC có ·ADE E· CB 1800 nên tứ giác BDEC nội tiếp đường tròn.
Bài 5: Chủ đề 3: Chứng minh Tứ giác nội tiếp
 M· NC M· AC 1800 ACNM là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính MC . Tương 
tự tứ giác BDNM nội tiếp đường tròn đường kính. MD
b) ANB và CMD có:
· ·
ABN CDM (do tứ giác BDNM nội tiếp)
· ·
BAN DCM (do tứ giác ACNM nội tiếp ) nên ANB : CMD (g.g)
 ·
c) ANB : CMD C· MD A· NB 90o (do ANB là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn 
 O )
 · ·
Suy ra IMK INK 900 I·NK I·MK 1800 . Vậy IMKN là tứ giác nội tiếp đường tròn 
đường kính IK
Bài 6: Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O), M là điểm chính giữa của cung AB. Nối M 
với D, M với C cắt AB lần lượt ở E và P. Chứng minh tứ giác PEDC nội tiếp được 
đường tròn.
 Hướng dẫn giải
 sd »AD M»B 
 Ta có : M· EP (góc có đỉnh nằm bên trong (O))
 2
 sd D¼M M
Mà D· CP (góc nội tiếp)
 2
 A E P B
 sd »AD M» A 
Hay D· CP 
 2 O
 D
Lại có : A¼M M¼ B
 · ·
Nên : MEP = DCP C
Nghĩa là: Tứ giác PEDC có góc ngoài tại đỉnh E bằng góc 
trong tại đỉnh C. Vậy tứ giác PEDC nội tiếp được đường tròn.
Bài 7: Định lý Ptoleme.
Ta có : Tứ giác ABCD nội tiếp (O) Ta phải chứng minh: AC. BD = AB. DC + AD. BC Chủ đề 3: Chứng minh Tứ giác nội tiếp
 Hướng dẫn giải
Gọi O là giao điểm của AC và BD ta có B
OB = OD
 E
Do ABCD là hình thoi nên ta có AC  BD . F
 A C
Ta có B· AD 600 nên B· AO 300 (tính chất O
đường chéo hình thoi) H G
Tam giác ABO vuông tại O có 
 D
 a
OB ABsinB· AO OB a.sin 300 
 2
Xét tam giác vuông ABO có ·ABO B· AO 900 ( hai góc phụ nhau) mà B· AO 300 suy 
ra ·ABO 600 hay E· BO 600 
 1
OE AB EB EA ( tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông và E là 
 2
trung điểm của AB.
Tam giác EOB là tam giác cân tại E có E· BO 600 nên tam giác EBO là tam giác đều
 OE OB 
Chứng minh tương tự với các tam giác vuông BOC, COD và DOA ta có :
OE OB OF OC OG OD OH 
 a
Vậy 6 điểm E, F, G, H, B, D cùng nằm trên một đường tròn tâm O. Bán kính OB 
 2
Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên AC lấy điểm D. Hình chiếu của D lên 
BC là E, điểm đối xứng của E qua BD là F. Chứng minh 5 điểm A, B, E, D, F cùng 
nằm trên một đường tròn. Xác định tâm O của đường tròn đó.
 Hướng dẫn giải
Do DE  BC D· BE 900