Chuyên đề Ôn thi vào 10 - Chủ đề: Các bài toán giải hệ phương trình

 CÁC BÀI TOÁN
 Chủ đề 2 GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
B. CÁC BÀI TOÁN GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
B. CÁC BÀI TOÁN GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH .............................................................1
 . Kiến thức cơ bản .......................................................................................................2
 . Ví dụ minh họa..........................................................................................................3
 . Bài tập..........................................................................................................................4
 . Bài tập tự luyện .........................................................................................................8
 . Giải hệ phương trình và một số ý phụ................................................................11
 . Giải hệ phương trình bậc cao ...............................................................................19
. Kiến thức cơ bản
 ax by c
Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng: (I) 
 a ' x b' y c '
Trong đó a và b cũng như a’ và b’ không đồng thời bằng 0.
 a b
 * Hệ (I) có nghiệm duy nhất khi 
 a ' b'
 a b c
 * Hệ (I) vô nghiệm khi .
 a ' b' c '
 a b c
 * Hệ (I) có vô số nghiệm khi .
 a ' b' c '
 1. Giải phương trình bằng phương pháp thế. (giả sử hệ có ẩn x và y )
- Từ một phương trình của hệ, biểu thị một ẩn chẳng hạn ẩn x theo ẩn kia
- Thế biểu thức của x vào phương trình còn lại rồi thu gọn, ta tìm được giá trị của y.
- Thế giá trị của y vào biểu thức của x ta tìm được giá trị của x.
 2. Giải phương trình bằng phương pháp cộng đại số (giả sử hệ có ẩn x và y ) 3 8y 11 3 11 8y 8y 8 y 1 y 1 y 1
 x 1 2y x 1 2y x 1 2y x 1 2y x 1 2.( 1) x 3
 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (3;-1).
+ Giải theo phương pháp cộng đại số:
 3x 2y 11 4x 12 x 3 x 3 x 3
 x 2y 1 x 2y 1 3 2y 1 2y 2 y 1
 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (3;-1).
b) + Giải hệ bằng phương pháp đặt ẩn phụ.
 Điều kiện: x 0; y 0 
 1 1
 Đặt a; b (*)
 x y
 a b 1
 Hệ phương trình đã cho tương đương với 
 3a 4b 5
 2
 2 b 
 a b 1 3a 3b 3 7b 2 b 7
 Ta có: 7 
 3a 4b 5 3a 4b 5 a b 1 9
 a 1 b a 
 7
 2 1 2 7
 b y 
 7 y 7 2
 Thay vào (*) ta có (thỏa mãn)
 9 1 9 7
 a x 
 7 x 7 9
 7 7 
 Vậy nghiệm của hệ phương trình là x; y ; 
 9 2 
. Bài tập.
Bài 1: Giải hệ phương trình
 2x y 5 2x 5y 3 x y 1
 a) b) c) 
 x y 1 3x y 4 3x 2y 3
 x 7y 26 3x 2y 11 2x 3y 1
 d) e) f) 
 5x 3y 16 x 2y 1 4x y 9
 x 2y 8 3x y 5 2x y 1
 g) h) i) 
 x y 1 5x 2y 23 x y 1
 Hướng dẫn giải Nhận xét: Học sinh thành thạo phương pháp thế hoặc phương pháp cộng thì giải 
theo phương pháp đó. 
Bài 2: Giải hệ phương trình
 2
 y 3
 3(x 1) 2(x 2y) 4 x
 a) b) 
 4(x 1) (x 2y) 9 1
 2y 4
 x
 1 1 3x 2
 x 4
 y 2 x 1 y 2
 c) d) 
 3 7 2x 1
 2x 5
 y 2 x 1 y 2
 4 1
 5
 x y y 1 4 x 3 y 4
 e) f) 
 1 2
 1 2 x y 2
 x y y 1
 Hướng dẫn giải
a) 
 3(x 1) 2(x 2y) 4 3x 3 2x 4y 4 5x 4y 1 5x 4y 1
 4(x 1) (x 2y) 9 4x 4 x 2y 9 3x 2y 5 6x 4y 10
 11x 11 x 1
 6x 4y 10 y 1
 Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất x; y 1; 1 .
b) Điều kiện x 0 
 2 4 5 1
 y 3 2y 6 10 x 1
 x x x 2 x 
 2 (thỏa mãn)
 1 1 1 2
 2y 4 2y 4 2y 4 y 3 y 1
 x x x x
 1 
 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x; y ; 1 .
 2 
 1
c) Điều kiện y 0 . Đặt t , hệ phương trình đã cho trở thành
 y f) Điều kiện: x 0; y 0 
 4 x 3 y 4 4 x 3 y 4 5 y 0
 2 x y 2 4 x 2 y 4 2 x y 2
 y 0 y 0
 (Thỏa mãn)
 2 x 2 x 1
 Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất x; y 1;0 .
. Bài tập tự luyện
Bài 1: Giải hệ phương trình. 
 x 2 y 1 7x 2y 1 x y 3 2x y 8
 1. 2. 3. 4. 
 2 x y 7 3x y 6 x 2y 0 3x y 7
 5x 2y 9 2x y 4 0 2x 3y 7 0 5x 6y 17
 5. 6. 7. 8. 
 4x 3y 2 x 2y 5 0 x 2y 4 0 9x y 7
 4x 2y 3 2x 3y 5 3x 4y 2 0 2x 5y 3
 9. 10. 11. 12. 
 6x 3y 5 4x 6y 10 5x 2y 14 3x 2y 14
 x y
 3 2
 1 1 x 2 x y 1
 x y 3 2 3 16. 5 3
 13. 2 3 14. 15. y 3 
 x 8 9 3 1
 x y 5
 4x 3y 7 x y 10 0 
 y 4 4 7 3
 ( 2 1)x 2y 1 2x y 2 1 5x 3y 4 3x 2y 3
 17. 18. 19. 20. 
 4x ( 2 1)y 3 x y 1 x 2y 3 2x y 5
 5x 2y 2 x y 2 x y 3 x 3
 21. 22. 23. 24. 
 2x 3y 4 3x 3y 6 x y 3 2x 3y 1
 2x y 1 4x 2y 4 3x 4y 7 3x 3y 1
 25. 26. 27. 28. 
 4x 2y 2 x 5y 17,5 3x 4y 7 x 1,5y 0,5
 5x 3 y 2 2 0,2x 0,1y 0,3 0,75x 3,2y 10 2x y 7
 29. 30. 31. 32. 
 x 6 y 2 2 3x y 5 x 3 y 2 4 3 x 4y 10
 3x y 5 3x 5y 1 2x 3y 1 x 2y 1
 33. 34. 35. 36. 
 5x 2y 28 2x y 8 x y 8 2x y 4
Phương pháp: Giải hệ bằng phương pháp thế hoặc cộng đại số. 4 1 12 5 5 1
 1 63 10
 x 2y x 2y x 3 y 2 x 1 y 1
 7) 8) 9) 
 20 3 8 15 1 3
 1 13 18
 x 2y x 2y x 3 y 2 x 1 y 1
 8 15 2 1 1 2
 1 7 1
 x 1 y 2 x 1 y 1 x 2y x 2y
 10) 11) 
 1 1 1 5 2 12) 2 3
 4 11
 x 1 y 2 12 x 1 y 1 x 2y x 2y
 1 1 2 5
 2 1 2 
 3 3
 x y x y x 2 y 1 3x y x 3y
 14) 15) 
 13) 2 3 1 2 3
 1 3 1 
 1 x 2 y 1 
 x y x y 3x y x 3y 5
 1 2 3 5 2 5
 2 2 2
 x y x y 2x y 2x y x x y
 16) 5 4 17) 18) 
 3 1 1 2 3 1
 1,7
 x y x y 2x y 2x y 15 x x y
 5 3 4 9 4 5
 2 1 2
 x 2 y 1 2x 1 y 1 2x 3y 3x y
 19) 20) 21) 
 2 5 3 2 13 3 5
 1 21
 x 2 y 1 2x 1 y 1 6 3x y 2x 3y
 6x 3 2y 5 2 4 5 5
 5 8 
 y 1 x 1 x y 3 x y 1 x y 1 2x y 3 2
 22) 23) 24) 
 4x 2 4y 3 1 3 1 7
 2 1,5 
 y 1 x 1 x y 3 x y 1 x y 1 2x y 3 5
 x x 5x y 2x 3y
 1 27 1
 y y 12 x 1 y 3 y 1 x 1
 25) 26) 27) 
 x x 2x 3y 2y 5x
 2 4 2
 y 12 y x 1 y 3 x 1 y 1
 2x2 3y2 36 3x2 y2 5 4x 2 y 2 13
 28) 2 2 29) 2 2 30) 2 2
 3x 7y 37 x 3y 1 2x y 7
Phương pháp: Nên đặt ẩn phụ để giải hệ phương trình để hệ được gọn và tránh sai xót 
trong giải toán.
Lưu ý đặt điều kiện của x; y và ẩn phụ (nếu có)
Bài 3: Giải hệ phương trình. 
 x 2 y 1 5 3x 1 2y 1 1 x 2 y 3 3
 1) 2) 3) 
 4 x y 1 2 2 3x 1 3 2y 1 12 2 x 2 3 y 3 4