Chuyên đề Ôn thi vào 10 - Chủ đề: Các bài toán chứng minh đẳng thức hình học

 Chủ đề 4: Chứng minh đẳng thức hình học
 CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH
 Chủ đề 4 ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC
D. CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC
MỤC LỤC
D. CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC.............................1
. LÝ THUYẾT CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC..................................3
A. CHỨNG MINH HAI ĐOẠN THẲNG BẰNG NHAU ............................................3
 Phương pháp 1: Hai tam giác bằng nhau.....................................................................3
 Phương pháp 2: Sử dụng tính chất của các hình đặc biệt.........................................6
 Phương pháp 3: Sử dụng tính chất của các đường đặc biệt, điểm đặc biệt...........7
 Phương pháp 4: Sử dụng các tính chất liên quan đến đường tròn.........................8
 Phương pháp 5: Sử dụng tỉ số, đoạn thẳng trung gian  ........................................9
B. CHỨNG MINH HAI ĐOẠN THẲNG TỈ LỆ...........................................................10
 1. Tính chất trung điểm của đoạn thẳng ....................................................................10
 3. Đường trung bình. .....................................................................................................10
 4. Định lý Talet: ..............................................................................................................11
 5. Tính chất đường phân giác của tam giác. ..............................................................12
 6. Các trường hợp đồng dạng của tam giác................................................................13
 7. Hệ thức lượng trong tam giác vuông......................................................................14
 8. Tỉ số lượng giác của góc nhọn..................................................................................15
. PHẦN BÀI TẬP..........................................................................................................16
Trong bài hình học trong đề thi tuyển sinh vào 10, sẽ có những yêu cầu chứng minh 
hai đoạn thẳng bằng nhau hoặc các đoạn thẳng tỷ lệ mà ta gọi chung là đẳng thức 
hình học.
Chủ đề dưới đây sẽ hệ thống một số biện pháp chứng minh đẳng thức hình học. Hãy 
nắm vững kiến thức đã học trong những năn học Toán THCS để phục vụ cho lời giải 
nhé!
Chúc các em đạt kết quả cao trong học tập! Chủ đề 4: Chứng minh đẳng thức hình học
*) Trường hợp 2: Cạnh - Góc - Cạnh (c.g.c)
- Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam giác này bằng hai cạnh và 
góc xen giữa của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau
NÕu ABC vµ A'B'C' cã:
AB A 'B'
 µ µ 
 B B'  ABC A 'B'C'(c.g.c)
BC B'C' 
  
 *) Trường hợp 3: Góc - Cạnh 
 - Góc (g.c.g)
 - Nếu một cạnh và hai góc kề của tam giác này bằng một 
 cạnh và hai góc kề của tam giác kia thì hai tam giác đó 
 bằng nhau
 NÕu ABC vµ A'B'C' cã:
 Bµ Bµ ' 
 BC B'C' ABC A 'B'C'(g.c.g )
 µ µ 
 C C'  
c) Các trường hợp bằng nhau của hai tam giác vuông
 ➢ Trường hợp 1: Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng hai cạnh góc 
 vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.
 ➢ Trường hợp 2: Nếu một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác 
 vuông này bằng một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông 
 kia thì hai giác vuông đó bằng nhau. Chủ đề 4: Chứng minh đẳng thức hình học
2. Sử dụng tính chất về cạnh và đường chéo của các tứ giác đặc biệt: hình thang cân, 
hình bình hành, hình chữ nhật, hình vuông, hình thoi. (Hình học lớp 8)
 Hình thang cân: Hai cạnh bên bằng nhau, hai đường chéo bằng nhau.
 Hình bình hành: Hai cặp cạnh đối bằng nhau, hai đường chéo cắt nhau tại trung 
 điểm của mỗi đường.
 Hình chữ nhật: Hai cặp cạnh đối bằng nhau, hai đường chéo bằng nhau, hai đường 
 chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
 Hình vuông: Bốn cạnh bằng nhau, hai đường chéo bằng nhau, giao điểm của hai 
 đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
 Hình thoi: Bốn cạnh bằng nhau, giao điểm của hai đường chéo cắt nhau tại trung 
 điểm của mỗi đường.
 A A ABCD là hình thang cân
 AD = BC
 ABC đều AC = BD
 AB = AC= BC A B
 ABC cân
 AB = AC
 B
 B C C D C
 ABCD là hình bình hành ABCD là hình chữ nhật ABCD là hình vuông 
 AD = BC AB = CD; AC = BC AB = BC = CD = DA
 AB = CD
 AC = BD AC = BD
 OA = OC OA = OB = OC = OD
 OD = OB A B OA = OC = OD = OB
 A
 B A B
 O
 O
 O
 D
 C D C
 D C
 A
 ABCD là hình thoi ABC vuông tại A A
 AB = BC = CD = DA AM là đường trung tuyến ABC , phân giác BD
 OA = OC 1 M thuộc MD
 OD = OB AM = BC = BM = MC MN  BA, MP  BC N
 2
 A B MN = MP D
 M
 O C
 B
 B M
 C P
 D C Chủ đề 4: Chứng minh đẳng thức hình học
- Điểm nằm trên tia phân giác thì cách đều 2 cạnh của góc đó
3. Khoảng cách từ một điểm trên đường trung trực của một đoạn thẳng đến hai đầu 
đoạn thẳng. (Hình học 7):
- Định lý thuận: Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút 
của đoạn thẳng đó.
Nếu điểm M nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB thì MA = MB
4. Sử dụng tính chất trung điểm. (Hình học 7)
- Trung điểm là điểm nằm chính giữa đoạn thẳng, chia đoạn thẳng ra làm hai đoạn dài bằng 
nhau.
5. Hình chiếu của hai đường xiên bằng nhau và ngược lại. (Hình học 7)
- Nếu hai đường xiên bằng nhau thì hai hình chiếu bằng nhau và ngược lại nếu hai hình 
chiếu bằng nhau thì hai đường xiên bằng nhau.
Phương pháp 4: Sử dụng các tính chất liên quan đến đường tròn.
1. Sử dụng tính chất hai dây cách đều tâm trong đường tròn. (Hình học 9)
- Trong một đường tròn: Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau
2. Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến giao nhau trong đường tròn. (Hình học 9)
- Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì điểm đó cách đều hai tiếp 
điểm
3. Sử dụng quan hệ giữa cung và dây cung trong một đường tròn. (Hình học 9)
- Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau: Hai cung 
bằng nhau căng hai dây bằng nhau
Phương pháp 5: Sử dụng tỉ số, đoạn thẳng trung gian 
1. Dùng tính chất bắc cầu: Hai đoạn thẳng cùng bằng đoạn thẳng thứ ba. 
2. Có cùng độ dài (cùng số đo) hoặc cùng nghiệm đúng một hệ thức. 
3. Đường thẳng song song cách đều:
- Nếu các đường thẳng song song cách đều cắt một đường thằng thì chúng chắn trên đường 
thẳng đó các đoạn thẳng liên tiếp bằng nhau.
3. Sử dụng tính chất của các đẳng thức, hai phân số bằng nhau. Chủ đề 4: Chứng minh đẳng thức hình học
 Hình 3.1 Hình 3.2
 Tính chất
 Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa 
 cạnh ấy.
 BC
 Trên hình 3.1 thì MN // BC và MN .
 2
 Đường trung bình của hình thang thì song song với hai cạnh đáy và bằng 
 nửa tổng hai đáy.
 AB CD
 Trên hình 3.2 thì MN // AB // CD và MN .
 2
 Định lí
 Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với 
 cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm của cạnh thứ ba.
 Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang và song song 
 với hai đáy thì đi qua trung điểm của cạnh bên thứ hai.
4. Định lý Talet:
 Tỉ số của hai đoạn thẳng.Tỉ số của hai đoạn thẳng là tỉ số độ dài của chúng 
 theo cùng một đơn vị đo.
 Đoạn thẳng tỉ lệ. Hai đoạn thẳng AB và CD gọi là tỉ lệ với hai đoạn thẳng 
 AB A ' B ' AB CD
 A'B' và C ' D ' nếu có tỉ lệ thức hay 
 CD C ' D ' A' B ' C ' D '
 Định lí Ta-lét trong tam giác. Nếu một đường thẳng song song với một cạnh 
 của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn 
 thẳng tương ứng tỉ lệ.
 Trong hình bên A
 ABC  AB ' AC ' AB ' AC ' B ' B C 'C
  ; ; 
 /
 B 'C '/ /BC AB AC B ' B C 'C AB AC B/ C
 B C