Chuyên đề Ôn thi vào 10 - Chủ đề: Các bài toán chứng minh Cực trị hình học

 Chủ đề 7: Cực trị hình học 
 CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH 
 Chủ đề 7 CỰC TRỊ HÌNH HỌC
F. CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH CỰC TRỊ HÌNH HỌC
MỤC LỤC
F. CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH CỰC TRỊ HÌNH HỌC .......................................1
A. Phương pháp giải bài toán cực trị hình học...............................................................2
 1. Dạng chung của bài toán cực trị hình học:..............................................................2
 2. Hướng giải bài toán cực trị hình học:......................................................................2
 3. Cách trình bày lời giải bài toán cực trị hình học ..................................................3
B. Các kiến thức thường dùng giải bài toán cực trị hình học. .....................................4
 1. Sử dụng quan hệ giữa đường vuông góc, đường xiên, hình chiếu....................4
 2. Sử dụng quan hệ giữa đường thẳng và đường gấp khúc.....................................7
 3. Sử dụng các bất đẳng thức trong đường tròn. ........................................................9
 4. Sử dụng bất đẳng thức về lũy thừa bậc hai .........................................................10
 5. Sử dụng bất đẳng thức Cô-si ...................................................................................12
 6. Sử dụng tỉ số lượng giác. ..........................................................................................15
C. Một số bài toán ôn luyện có hướng dẫn....................................................................18
D. Bài tập tự luyện .............................................................................................................35
E. Rèn luyện tổng hợp .......................................................................................................40 Chủ đề 7: Cực trị hình học 
 Ví dụ : Cho đường tròn (O) và điểm P nằm trong đường tròn( P không trùng với O). Xác 
định vị trí của dây đi qua điểm P sao cho dây đó có độ dài nhỏ nhất.
 Hướng dẫn giải
+Cách 1 :
Gọi AB là dây vuông góc với OP tại P , và dây CD là dây bất kỳ đi qua P và không 
trùng với AB ( h.1). 
 C
Kẻ OH  CD . 
 O
 OHP vuông tại H OH AB H
 A B
 P
Như vậy trong tất cả các dây đi qua P , dây vuông góc với OP D
tại P có độ dài nhỏ nhất . h .1
+ Cách 2 :
Xét dây AB bất kỳ đi qua P ( h.2). Kẻ OH  AB 
Theo liên hệ giữa dây và khoảng cách đến tâm: A
 O
AB nhỏ nhất OH lớn nhất
 H
Ta lại có OH ≤ OP P
 B
OH = OP H ≡ P h .2
Do đó maxOH = OP 
Khi đó dây AB vuông góc với OP tại P.
B. Các kiến thức thường dùng giải bài toán cực trị hình học.
1. Sử dụng quan hệ giữa đường vuông góc, đường xiên, hình chiếu.
 a-Kiến thức cần nhớ:
 A
 B A K a
 a
 H C b
 A C B H
 h.3 h.4 B
 h.5
a1) ABC vuông tại A (có thể suy biến thành đoạn thẳng) AB ≤ BC . 
 Dấu “=” xảy ra A ≡ C . ( h.3 )
a2) ( h.4 ) Chủ đề 7: Cực trị hình học 
Ví dụ 2: Cho hình vuông ABCD. Trên các cạnh AB, BC, CD, DA ta lấy theo thứ tự các điểm 
E,F,G,H sao cho AE = BF = CG = DH . Xác định vị trí của các điểm E, F,G,H sao cho tứ giác 
EFGH có chu vi nhỏ nhất .
 Giải : A E K B
 HAE = EBF = FCG = GHD F
 HE = EF = FG = GH 
 O
 H
 EFGH là hình thoi .
 D C
 A· HE B· EF G
 A· HE A· EH 900 B· EF A· EH 900 h.8
 H· EF 900 
 EFGH là hình vuông 
 Gọi O là giao điểm của AC và EG . Tứ giác AECG có AE = CG, AE //CG nên là 
hình bình hành suy ra O là trung điểm của AC và EG , do đó O là tâm của cả hai 
hình vuông ABCD và EFGH.
 HOE vuông cân : HE2 = 2OE2 HE = OE 2
 Chu vi EFGH = 4HE = 4 2 OE . Do đó chu vi EFGH nhỏ nhất OE nhỏ nhất 
 Kẻ OK AB OE ≥OK ( OK không đổi )
 OE = OK E ≡ K
 Do đó min OE = OK
 Như vậy, chu vi tứ giác EFGH nhỏ nhất khi và chỉ khi E,F,G,H là trung điểm của 
AB , BC, CD, DA. Chủ đề 7: Cực trị hình học 
 Vậy Khi D ≡ B thì tổng các khoảng cách từ B và C đến AD có giá trị lớn nhất .
2. Sử dụng quan hệ giữa đường thẳng và đường gấp khúc.
 a. Kiến thức cần nhớ:
 Với ba điểm A,B,C bất kỳ ta có : AC CB AB 
 AC CB AB C thuộc đoạn thẳng AB
 b. Các ví dụ:
 Ví dụ 5: Cho góc x· Oy và điểm A nằm trong góc đó. Xác định điểm B thuộc tia Ox, điểm 
C thuộc tia Oy sao cho OB = OC và tổng AB +AC là nhỏ nhất .
 Hướng dẫn giải
 m
 Kẻ tia Om nằm ngoài góc xOy sao cho y
 D
y·Om x· OA . Trên tia Om lấy điểm D sao 
cho OD = OA . Các điểm D và A cố định .
 C
 OD =OA, OC = OB ,C· OD B· OA A
 DOC = AOB CD = AB
 O
 B x
 Do đó AC +AB = AC +CD h.11
 Mà AC +CD ≥ AD
 AC +AB ≥ AD
 Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi C AD
 Vậy min(AC+AB) =AD . Khi đó C là giao điểm của AD và Oy, B thuộc tia Ox sao 
cho OB = OC.
 Ví dụ 6: Cho hình chữ nhật ABCD và điểm E thuộc cạnh AD. Xác định vị trí các điểm 
F thuộc cạnh AB, G thuộc cạnh BC, H thuộc cạnh CD sao cho tứ giác EFGH có chu vi nhỏ 
nhất.
 Hướng dẫn giải
 A F B
 I A F B
 I
 E K
 G E K
 G
 D M M
 C D
 H C
 h.12 H
 h.13 Chủ đề 7: Cực trị hình học 
 OH, OK là các khoảng cách từ tâm đến dây AB và CD : 
 AB ≥ CD OH ≤ OK (h.15)
 · ·
 a3) AB,CD là các cung nhỏ của (O) : AB ≥ CD AOB COD (h.16)
 » »
 a4) AB,CD là các cung nhỏ của (O) : AB ≥ CD AB CD (h.17)
 b. Các ví dụ:
Ví dụ 7: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau 
ở A và B, một cát tuyến chung bất kỳ CBD (B A
nằm giữa C và D) cắt các đường tròn (O) và (O’) 
 D
tại C và D. Xác định vị trí của cát tuyến CBD để 
 O O’
 ACD có chu vi lớn nhất. n m
 Hướng dẫn giải C’ D’
 B
 µ 1 ¼ µ 1 ¼
 sđC = sđ AmB ; sđ D = sđ AnB C
 2 2 h.18
 số đo các góc ACD không đổi (do A, B cố 
định)
 ACD có chu vi lớn nhất khi một cạnh của nó lớn nhất , chẳng hạn AC là lớn nhất.
 AC là dây của đường tròn (O), do đó AC lớn nhất khi AC là đường kính của 
đường tròn (O), khi đó AD là đường kính của đường tròn (O’). Cát tuyến CBD ở vị 
trí C’BD’ vuông góc với dây chung AB.
 Ví dụ 8: Cho đường tròn (O) và một điểm P nằm trong đường tròn. Xác định dây AB 
đi qua P sao cho O· AB có giá trị lớn nhất .
 Hướng dẫn giải
 ·
 Xét tam giác cân OAB , góc ở đáy OAB lớn nhất nếu B’
góc ở đỉnh A· OB nhỏ nhất . O
 )
 1 A B
 A· OB sđ A»B H P
 2
 Góc A· OB nhỏ nhất CungA»B nhỏ nhất dây AB A’
nhỏ nhất Khoảng cách đến tâm OH lớn nhất. h.19
 Ta có OH ≤ OP 
 OH =OP H ≡ P nên max OH = OP AB  OP Chủ đề 7: Cực trị hình học 
 Đặt AD = x thì ME = x
 EM CE x CE 4
 ME //AB CE x
 AB CA 6 8 3
 C
 4
 AE = 8 x
 3
 4 4 4
 Ta có : S = AD .AE = x ( 8 x ) = 8x x2 = (x 3)2 +12 ≤ 12
 ADME 3 3 3
 2
 SADME = 12 cm x =3 
 Diện tích lớn nhất của tứ giác ADME bằng 12 cm 2 ,khi đó D là trung điểm của 
AB , M là trung điểm của BC và E là trung điểm của AC.
5. Sử dụng bất đẳng thức Cô-si .
 a-Kiến thức cần nhớ:
 x y
 Bất đẳng thức Cô-si : Với x ≥ 0 ; y ≥ 0 ta có : xy 
 2
 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y
 Bất đẳng thức Cô-si thường được sử dụng dưới các dạng sau :
 x y 2
 + Dạng 1: x2 y2 xy hay (x y)2 2 x2 y2 
 2
 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y
 2
 x y xy 1
 + Dạng 2:  ; 
 xy x y 2 4
 2
 x y x2 y2 1
  ; 
 x2 y2 x y 2 2
 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y
 + Dạng 3: Với x ≥ 0 ; y ≥ 0 ; x + y không đổi thì xy lớn nhất khi và chỉ khi x = y
 + Dạng 4: Với x ≥ 0 ; y ≥ 0 ; xy không đổi thì x+y nhỏ nhất khi và chỉ khi x = y
 b. Các ví dụ:
 Ví dụ 11: Cho đoạn thẳng AB, điểm M di chuyển trên đoạn thẳng ấy . Vẽ các đường 
tròn có đường kính MA và MB . Xác định vị trí của điểm M để tổng diện tích của hai hình 
tròn có giá trị nhỏ nhất .