Chuyên đề Ôn thi vào 10 - Chủ đề: Các bài toán chứng minh các đường thẳng đồng quy

 Chủ đề 6: Chứng minh các đường thẳng đồng quy 
 CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH 
 Chủ đề 6 ĐỒNG QUY
F. CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH ĐỒNG QUY 
MỤC LỤC
F. CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH ĐỒNG QUY ........................................................1
Bài tập có giải........................................................................................................................2
Một số bài tập tự rèn:.........................................................................................................16
 CÁC PHƯƠNG PHÁP THƯỜNG ĐƯỢC SỬ DỤNG
Cách 1. Lợi dụng định lí về các đường đồng quy trong tam giác
 ➢ Sử dụng định lí ba đường cao của tam giác đồng quy tại một điểm 
 ➢ Sử dụng định lí ba đường trung tuyến của tam giác đồng quy tại một điểm. Điểm đó 
 gọi là trọng tâm của tam giác.
 ➢ Sử dụng các định lí: 1.Ba đường phân giác của tam giác đồng quy tại một điểm.
 ➢ Giao điểm của hai đường phân giác ngoài nằm trên đường phân giác trong của góc 
 thứ ba.
 ➢ Sử dụng định lí ba đường trung trực của tam giác đồng quy tại một điểm.
Cách 2. Sử dụng tính chất các đường chéo cắt nhau tai trung điểm mỗi đường của của hình 
bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông.
Cách 3. Lùi về quen thuộc, chứng minh ba điểm thẳng hàng hoặc giao điểm của hai đường 
nằm trên đường thẳng thứ ba.
 Chúc các em học sinh học tập tốt! Chủ đề 6: Chứng minh các đường thẳng đồng quy 
Bài 3: Cho tam giác ABC vuông ở A. Trên cạnh AC lấy điểm M, dựng đường tròn 
(O) có đường kính MC. đường thẳng BM cắt đường tròn (O) tại. D. đường thẳng AD 
cắt đường tròn (O) tại S.
1. Chứng minh ABCD là tứ giác nội tiếp.
2. Chứng minh CA là tia phân giác của góc SCB.
3. Gọi E là giao điểm của BC với đường tròn (O). Chứng minh rằng các đường 
thẳng BA, EM, CD đồng quy.
4. Chứng minh DM là tia phân giác của góc ADE.
5. Chứng minh điểm M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADE.
 Hướng dẫn giải
 C C
 2 1
 1 2 3
 O O
 D 3 E
 2 S
 1 1
 2
 S M E D 2 M
 1
 2
 1 2
 1 2 2 3 1
 3 1 F A
 F A B B
 H×nh a H×nh b
1. Ta có C· AB 900 ( vì tam giác ABC vuông tại A); M· DC 900 ( góc nội tiếp chắn 
nửa đường tròn ) => C· DB 900 như vậy D và A cùng nhìn BC dưới một góc bằng 
900 nên A và D cùng nằm trên đường tròn đường kính BC => ABCD là tứ giác nội 
tiếp.
 ¶ ¶
2. ABCD là tứ giác nội tiếp => D1 C3 ( nội tiếp cùng chắn cung AB).
 ¶ ¶ ¼ ¼ ¶ ¶
D1 C3 => SM EM => C2 C3 (hai góc nội tiếp đường tròn (O) chắn hai cung bằng 
nhau) => CA là tia phân giác của góc SCB.
TH2 (Hình b)
·ABC C· ME (cùng phụ ·ACB ); ·ABC C· DS (cùng bù ·ADC ) => C· ME C· DS 
=> C»E C»S S¼M E¼M => S·CM E· CM => CA là tia phân giác của góc SCB.
3. Xét CMB Ta có BACM; CD  BM; ME  BC như vậy BA, EM, CD là ba đường 
cao của tam giác CMB nên BA, EM, CD đồng quy.
 ¼ ¼ ¶ ¶
4. Theo trên Ta có SM EM => D1 D2 => DM là tia phân giác của góc ADE.(1)
5. Ta có M· EC 900 (nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)) => M· EB 900 . Chủ đề 6: Chứng minh các đường thẳng đồng quy 
1. Xét tam giác ABT và tam giác BDT có:
B· TD chung
B· AT T· BD (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp 
tuyến và dây cùng chắn cung BD).
=> ABT” BDT. (g-g)
2. Có ABT” BDT. (g-g)
 AB AT
 (1)
 BD BT
Chứng minh được ACT ” CDT (g-g)
 AC AT
 (2)
 CD CT
Tiếp tuyến tại B và C cắt nhau tại T nên BT = CT (3) 
 AB AC
Từ (1), (2), (3) có AB.CD BD.AC
 BD CD
3. Phân giác góc BAC cắt BC tại I, theo tính chất phân giác trong tam giác ta có:
 IB AB
 IC AC
 AB BD IB BD
Từ AB.CD = BD.AC 
 AC CD IC CD
=> DI là phân giác góc BDC
Do đó hai đường phân giác góc BAC và BDC và đường thẳng BC đồng quy. 
Bài 6: Cho nửa đường tròn ( O) đường kính AB. Vẽ 2 tiếp tuyến Ax và By. Lấy M 
trên đường tròn sao cho AM < BM. AM cắt By tại F, BM cắt Ax tại E.
a. Chứng minh: AB2 AE.BF 
b. Tiếp tuyến của đường tròn tại M cắt AE, BF tại C và D. Chứng minh C và D là 
trung điểm của AE và BF.
c. Chứng minh các đường thẳng AB, CD, EF đồng quy.
 Hướng dẫn giải 
a. Ta có A· MB = 90º (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) AM BE
Xét ∆EAB và ∆ABF có:
 ·
E· AB=A· BF; A· EB F· AB (cùng phụ với EAM ) Chủ đề 6: Chứng minh các đường thẳng đồng quy 
 1
 OM là đường trung bình của DAHD nên OM = AH
 2
 2
b) DABC có AM là đường trung tuyến, G thuộc đoạn thẳng AM và AG = AM 
 3
 nên G là trọng tâm của tam giác AHD . HO là đường trung tuyến nên HO đi qua 
 G và HG = 2GO
 Gọi N là giao điểm của d1 với AH
DHAD có MN PAD , M là trung điểm của HD
Þ N là trung điểm của AH
 1
Ta có: NH = OM (= AH ),NH POM
 2
Do đó HNOM là hình bình hành.
Þ d1 đi qua trung điểm I của OH
Chứng minh tương tự có d2,d3 đi qua I
Vậy các đường thẳng d1,d2,d3 đồng quy
Bài 8: Trên các cạnh AB,BC của tam giác ABC dựng ra phía ngoài tam giác các 
hình vuông ACA1A2 và BCB1B2 . Chứng minh rằng các đường thẳng AB1,A1B,A2B2 
đồng quy. B1
 Hướng dẫn giải A
 2 C
 µ 0
Trường hợp 1: C = 90 . Rõ ràng AB ,A B,A B đồng quy tại C .
 1 1 2 2 B2
Trường hợp 2: Cµ¹ 900
 A2
Các đường tròn ngoại tiếp hình vuông ACA1A2 và BCB1B2 
 A B
Có điểm chung c sẽ cắt nhau tại M (khác C )
 · 0
Ta có: AMA2 = 45 (góc nội tiếp chắn cung một phần tư đường tròn)
· · 0
A2MC = A2AC = 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
 · 0
Tương tự: CMB1 = 45
Vì tia MA2 nằm giữa hai tia MA và MC ,tia MC nằm giữa hai tia MB và MA2
 · · · 0 0 0 0
nên AMA2 + A2MC + CMB1 = 45 + 90 + 45 = 180
hay A,M ,B thẳng hàng.
Chứng minh tương tự A1,M ,B và A2,M ,B2 thẳng hàng Chủ đề 6: Chứng minh các đường thẳng đồng quy 
 O· AB ·ADE 90 hay OA  DE
c) Chứng minh các đường thẳng AF, DE, BC đồng quy:
Gọi S là giao điểm của AF và BC
 SAO có: AH  BC (gt)
OI  AS (tính chất đường nối tâm của 2 đtr cắt nhau)
 SI  OA (đường cao thứ ba trong SAO )
Mà OA  DE (câu b)
 S, D, I, E thẳng hàng hay đường thẳng DE qua S .
Vậy các đường thẳng AF, DE, BC đồng quy
d) Tính theo R diện tích tứ giác BDEC :
 sd »AB 60
Ta có: ABC vuông tại A , ·ACB 30
 2 2
 1 3
 AB BC.sin 30 2R. R ; AC BC.cos30 2R. R 3
 2 2
 AB.AC R.R 3 R 3
 AH.BC AB.AC AH 
 BC 2R 2
Ta lại có: ADE đồng dạng ACB
 2 2 2
 SACB BC BC 2R 4R 16
 SADE DE AH R 3 R 3 3
 2 
 S S S S S 13.S 13 AB.AC 13 R.R 3 13R2 3
 ACB ADE ACB ADE BDEC S ACB   
 16 3 16 3 13 BDEC 16 16 2 16 2 32
Bài 10: Cho tam giác ABC vuông tại A , I là một điểm trên cạnh AC . Đường tròn 
đường kính IC cắt BC ở E và cắt BI ở D .
a) Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp được trong đường tròn.
b) Chứng minh DB là phân giác của góc ADE .
c) Chứng minh I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADE .
d) Chứng minh AB,CD, EI đồng qui.
 Hướng dẫn giải Chủ đề 6: Chứng minh các đường thẳng đồng quy 
 KE là đường cao của CKB KE  BC(1) .
Mặt khác I·EC 90(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) IE  CE IE  BC(2) .
Từ (1),(2) suy ra E, I, K thẳng hàng.
Vậy AB,CD, EI đồng qui tại K .
Bài 11: Cho tam giác ABC vuông tại A . Trên cạnh AC lấy điểm M không trùng với 
 A và C . Vẽ đường tròn đường kính MC , cắt cạnh BC tại D . Các đường thẳng BM 
và AD lần lượt cắt đường tròn tại các điểm E, F . Chứng minh rằng:
a) ABC ∽ DMC . Suy ra AB.MC BC.DM .
b) Các tứ giác ABDM và AECB nội tiếp
c) AB//EF .
d) Các đường thẳng AB,CE, MD đồng quy.
 Hướng dẫn giải
 B
 D
 F
 A C
 M
 E
 I
a) Vì B· AC M· DC 90và B· CA chung nên ABC ∽ DMC .
 AB BC
Do đó AB.MC BC.DM .
 DM MC