Chuyên đề Ôn thi vào 10 - Chủ đề: Các bài toán chứng minh 3 điểm thẳng hàng

 Chủ đề 5: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng 
 CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH 
 Chủ đề 5 3 ĐIỂM THẲNG HÀNG 
E. CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH ĐỒNG QUY – THẲNG HÀNG
MỤC LỤC
10 phương pháp chứng minh 3 điểm thẳng hàng..........................................................2
Ví dụ minh họa.....................................................................................................................3
 Dạng 1: chứng minh qua 3 điểm xác định một góc bẹt (tổng hai góc chung đỉnh 
 bằng 180 độ).......................................................................................................................3
 Dạng 2: Sử dụng tính chất đường chéo của hình đặc biệt (vd: hình bình hành)
 ..............................................................................................................................................3
 Dạng 3: Sử dụng tính chất về tâm và đường kính của đường tròn ........................3
 Dạng 4: Tiên đề Ơ-Clit: Qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng ta vẽ được 
 một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho...........................4
 Qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng ta vẽ được một và chỉ một đường 
 thẳng vuông góc với đường thẳng đã cho. ..................................................................5
Một số bài tập......................................................................................................................11
Chủ đề vận dụng trong bài toán liên quan đến đường tròn.
 CÁC PHƯƠNG PHÁP THƯỜNG DÙNG.
1. Chứng minh qua 3 điểm xác định một góc bẹt (1800)
2. Chứng minh 3 điểm xác định được hai đường thẳng cùng vuông góc hay cùng 
song song với một đường thẳng thứ 3. (Tiên đề Ơclit)
3. Sử dụng tính chất đồng quy của các đường: trung tuyến, phân giác, đường cao 
trong tam giác.
4. Sử dụng tính chất đường chéo của các tứ giác đặc biệt: hình vuông, hình chữ 
nhật, hình thoi, hình bình hành, hình thang.
 Chúc các em học sinh học tập tốt! Chủ đề 5: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng 
 µ ¶ µ o · o
 A1 A2 A3 180 hay FAH 180 M , A , H thẳng hàng.
Dạng 2: Sử dụng tính chất đường chéo của hình đặc biệt (vd: hình bình hành)
Bài 2: Cho ABC có trực tâm H nội tiếp O đường kính CM , gọi I là trung điểm của 
 AB . Chứng minh rằng H , I , M thẳng hàng. A
 Hướng dẫn giải
 I H
 M
MB  BC , AH  BC (suy từ giả thiết). O
 MB//AH . B C
Mà MA//BH (cùng vuông góc với AC ).
 AMBH là hình bình hành.
 AB cắt MH tại trung điểm I của AB và MH (t/c hình bình hành).
Suy ra H , I , M thẳng hàng.
Dạng 3: Sử dụng tính chất về tâm và đường kính của đường tròn 
1. Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền
2. Đường kính của đường tròn thì đi qua tâm.
Bài 3: Cho O đường kính AB . Điểm M chuyển động trên O , M A; M B . Kẻ 
MH vuông góc với AB . Vẽ đường tròn O1 đường kính MH cắt đường thẳng MA 
và MB tại C và D . Chứng minh rằng:
a) C , D , O1 thẳng hàng.
b) ABCD nội tiếp.
 Hướng dẫn giải
 M
a) Ta có : D
·AMB 90o (góc nội tiếp chắn nửa O ).
 O
 C 1
 · o
 CMD 90 . CD là đường kính của O1 .
 A B
 H O
Suy ra C , D , O1 thẳng hàng.
b) MCHD là hình chữ nhật nội tiếp O1 .
 M· CD M· HD ( 2 góc nội tiếp cùng chắnC»D ).
Mà M· CD Bµ M· CD ·ACD Bµ ·ACD 180o .
Vậy ABCD nội tiếp.
Dạng 4: Tiên đề Ơ-Clit: Qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng ta vẽ được 
một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho. Chủ đề 5: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng 
 AQ AD AQ AM
 hay MQ//ED . (định lý 
 AM AE AD AE A
 D
Talét đảo)
 Q
Kết hợp với 1 , 2 ta có: E
 P
M , N , Q thẳng hàng và M , P , Q thẳng hàng 
(tiên đề Ơclít). M N
Do đó M , N , P , Q thẳng hàng. B C
 H
Qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng ta vẽ được một và chỉ một đường 
thẳng vuông góc với đường thẳng đã cho.
• Nếu qua điểm M nằm ngoài đường thẳng a có 2 đường thẳng vuông góc 
 với a thì chúng trùng nhau.
• Cho điểm M ở ngoài đường thẳng a. Đường thẳng đi qua M và vuông góc 
 với a là duy nhất.
Bài 6: Cho đường tròn (O; R) và một điểm A nằm ngoài đường tròn (O) sao cho 
OA 2R . Từ A vẽ tiếp tuyến AB của đường tròn (O) (B là tiếp điểm).
 1) Chứng minh tam giác ABO vuông tại B và tính độ dài AB theo R 
 2) Từ B vẽ dây cung BC của (O) vuông góc với cạnh OA tại H. Chứng minh AC là 
tiếp tuyến của đường tròn (O). 
3) Chứng minh tam giác ABC đều. 
4) Từ H vẽ đường thẳng vuông góc với AB tại D. Đường tròn đường kính AC cắt 
cạnh DC tại E. Gọi F là trung điểm của cạnh OB. Chứng minh ba điểm A, E, F thẳng 
hàng.
 Hướng dẫn giải
1) Ta có: A· BO 900 (AB là tiếp tuyến của(O) tại B)
 ABO vuông tại B 
 AB2 OB2 OA2 (Đ/L Pytago)
 AB2 OA2 OB2 2R 2 R2 4R2 R2 3R2 AB R 3 Chủ đề 5: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng 
 AF  HK (3)
 Chứng minh HK là đường trung bình của BDC
 HK // CD (4)
 Từ (3) và (4)
 AF  CD 
 Ta có: AEC nội tiếp đường tròn đường kính AC
 AEC vuông tại E 
 AE  CD
 Mà AF  CD
Vậy Ba điểm A, E, F thẳng hàng 
Dạng 5: Sử dụng tính chất đồng quy của các đường: trung tuyến, phân giác, đường 
cao trong tam giác.
Bài 7: Cho tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm của cạnh AC. Đường tròn 
đường kính MC cắt BC tại N. Đường thẳng BM cắt đường tròn đường kính MC tại 
D.
1) Chứng minh tứ giác BADC nội tiếp. Xác định tâm O của đường tròn đó.
2) Chứng minh DB là phân giác của góc ADN.
3) Chứng minh OM là tiếp tuyến của đường tròn đường kính MC.
4) BA và CD kéo dài cắt nhau tại P. Chứng minh ba điểm P, M, N thẳng hàng.
 Hướng dẫn giải
 a) B· AC B· DC 90o (gt) nên tứ giác BADC nội 
 tiếp đường tròn tâm O là trung điểm của 
 BC.
 b) ·ADB B· DN ( ·ACB) (hai góc nội tiếp 
 cùng chắn một cung trong các đường tròn 
 ngoại tiếp tứ giác BADC, NMDC) nên DB là 
 phân giác góc AND.
 c) OM ⊥ AC (OM là đường trung bình 
 tamgiác ABC) nên suy ra MO là tiếp tuyến 
đường tròn đường kính MC.
d) MN ⊥ BC (góc MNC nội tiếp nửa đường tròn đường kính MC)
PM ⊥ BC (M là trực tâm tam giác PBC)
Suy ra P, M, N thẳng hàng. Chủ đề 5: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng 
=>O· MC O· IC 90o nên CM là tiếp tuyến của (O).
d) Do O· MC O· IC 90o nên tứ giác OIMC nội tiếp đường tròn đường kính OC.
Đường tròn ngoại tiếp tam giác CIM là đường tròn đường kính OC.
=> O· FC 90o 
Mặt khác ta có O· FD 90o. Như vậy OFC;OFD kề bù suy ra ba điểm C, F, D thẳng 
hàng.
Xét tam giác OCD có ba đường cao CH, DI, OF mà có E là giao điểm CH, DI nên ba 
điểm O, E, F thẳng hàng.
Bài 9: Tuyển sinh 10 Hải Dương 15 – 16
Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Gọi C là điểm cố dịnh thuộc đoạn thẳng 
OB (C khác O và B). Dựng đường thẳng d vuông góc với AB tại điểm C, cắt nửa 
đường tròn (O) tại điểm M. Trên cung nhỏ MB lấy điểm N bất kỳ (N khác M và B), 
tia AN cắt đường thẳng d tại điểm F, tia BN cắt đường thẳng d tại điểm E. Đường 
thẳng AE cắt nửa đường tròn (O) tại điểm D (D khác A).
a) Chứng minh AD. AE = AC.AB
b) Chứng minh: Ba điểm B, F, D thẳng hàng và F là tâm đường tròn nội tiếp ∆ CDN
c) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ AEF. Chứng minh rằng điểm I luôn nằm 
 trên một đường thẳng cố định khi 
 điểm N di chuyển trên cung nhỏ MB
 Hướng dẫn giải
 a) Có ·ADB ·ANB 90 (góc nội tiếp 
 chắn nửa đường tròn)
 ·ABD ·AEC ( cùng phụ góc BAE)
 => Tam giác ADB đồng dạng với tam 
 giác ACE(g-g)
 AD AB
 AD  AE AC.AB
 AC AE
 b) Có AN ⊥ EB, EC ⊥ AB , EC giao AN 
tại F nên F là trực tâm của tam giác AEB 
⇒ BF ⊥ EA
Mà BD ⊥ EA ⇒ B, D, F thẳng hàng
+ Tứ giác ADFC có hai góc đối bằng 90o nên là tứ giác nội tiếp, suy ra D· CF D· AF 
Tương tự ta có: N· CF N· BF 
Mà D· AF N· BF (cùng phụ với góc AEB) => D· CF N· CF Chủ đề 5: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng 
quy
d) Chứng minh MF là tiếp tuyến của O ' 
 Hướng dẫn giải 
a) Tứ giác ADBE là hình thoi vì AM = MB; MD = ME và DE  AB
b) Ta có BE / /DA . Nối BF ta có ·ADF B· FD 900 BF / /DA. Như vậy BE / /DA và 
BF / /DA mà qua B chỉ có duy nhất một đường thẳng song song với DA do đó 3 
điểm B, F, E phải thẳng hàng
c) Ta có CG vuông góc với DB, mặt khác EC vuông góc với DB. Nhưng qua C chỉ 
tồn tại duy nhất một đường vuông góc với DB nên E, C , G phải thẳng hàng và DF, 
EG, AB phải đồng quy tại điểm C, chính là trực tâm tam giác EDB
 · µ · µ · · 0 µ µ 0
d) Nhận thấy MEF F1 và O ' BF F2 mà MEF O ' BF 90 nên F1 F2 90 , suy ra 
M· FO ' 900 . Vậy MF là tia tiếp tuyến của đường tròn tâm O’.
Bài 3: Cho nửa đường tròn đường kính AB trên đó có một điểm M. Trên đường kinh 
AB lấy một điểm C sao cho AC CB . Trên nửa mặt phằng bờ AB có chứa điểm M, 
người ta kẻ các tia Ax, By vuông góc với AB; đường thẳng qua M vuông góc với MC 
cắt Ax tại P; đường thẳng qua C vuông góc với CP cắt By tại Q. Gọi D là giao điểm 
của CP và AM; E là giao điểm của CQ và BM
a) Chứng minh rằng các tứ giác ACMP, CDME nội tiếp được
b) Chứng minh rằng hai đường thẳng AB, DE song song
c) Chứng minh rằng ba điểm P,M, Q thẳng hàng
d) Ngoài điểm M ra, các đường tròn ngoại tiếp các tam giác DMP, EMQ còn điểm 
chung nào nữa không? Vì sao?
 Lời giải: