Chuyên đề Ôn thi vào 10 - Chủ đề: Bất đẳng thức kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán bất đẳng thức

 BẤT ĐẲNG THỨC
 Chủ đề 8 Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán bất đẳng thức.
H. BẤT ĐẲNG THỨC
Mục Lục
H. BẤT ĐẲNG THỨC.........................................................................................................1
. KIẾN THỨC LÍ THUYẾT .............................................................................................1
. BÀI TẬP..........................................................................................................................3
 Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán cực trị xảy ra ở biên....................................7
 Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán cực trị đạt được tại tâm............................13
. BÀI TẬP TỰ LUYỆN...................................................................................................19
. KIẾN THỨC LÍ THUYẾT
1. Định nghĩa bất đẳng thức
Ta gọi hệ thức dạng a b (hay a b;a b;a b) là bất đẳng thức.
Tính chất của bất đẳng thức
 1. a b b a. 3. a b a c b c.
 4. a b a.c b.c c 0 .
 2. a b;b c a c.
 a b a.c b.c c 0 
  5. Cộng từng vế của hai bất đẳng thức cùng chiều được một bất đẳng thức 
 cùng chiều.
  6. Trừ từng vế của hai bất đẳng thức khác chiều được một bất đẳng thức 
 mới cùng chiều với bất đẳng thức thứ nhất.
  7. Nhân từng vế của hai bất đẳng thức cùng chiều mà hai vế không âm, ta 
 được một bất đẳng thức cùng chiều. Đặc biệt:
 a b 0 a2 b2 ; a b a2n b2n .
 a b a2n 1 b2n 1 .
 1 1
  8.Nếu a b 0 thì .
 a b
2. Một số hằng bất đẳng thức hay dùng. Áp dụng bất đẳng thức AM - GM, ta có:
 a b b c c a 2 ab.2 bc.2 ac 8abc (đpcm)
Bài 2: Cho 4 số thực dương a, b, c, d. Chứng minh rằng: ac bd a b c d 
 Hướng dẫn giải
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM, ta có:
 ac bd a c b d
 . .
 a b c d a b c d a b c d 
 1 a c 1 b d 1 a b c d 
 1
 2 a b c d 2 a b c d 2 a b c d 
 ac bd a b c d (đpcm)
 a c
Bài 3: Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa .
 b c
Chứng minh rằng c a c c b c ab
 Hướng dẫn giải
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM, ta có:
 c a c c b c c a c c b c 
 . .
 ab b a a b
 1 c a c 1 c b c 
 2 b a 2 a b 
 1 c c 1 c c 
 1 1 1
 2 b a 2 a b 
 c a c c b c ab (đpcm)
 a 1
Bài 4: Cho 2 số thực dương a, b thỏa . Chứng minh rằng: a b 1 b a 1 ab
 b 1
 Hướng dẫn giải
 1 ab
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM, ta có: a b 1 a ab a a ab a (1)
 2 2
 ab
Tương tự: b a 1 (2)
 2
Cộng theo vế (1) và (2), ta được: a b 1 b a 1 ab (đpcm)
Bài 5: Cho 2 số thực dương a, b. Chứng minh rằng: 16ab a b 2 a b 4
 Hướng dẫn giải Hướng dẫn giải
 Với a 0 , áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có:
 3a2 1 1 1 1
 4 4 (đpcm)
1 9a 1 9a 1 2 1 2 2
 2 3a 2 .3a
 3a2 3a2 3a 3a2
 2 2
 2 a 
Bài 11: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A a 1 2 , a 1
 a 1 
 Hướng dẫn giải
 2 2
 2 a 2a 2 
 A a 1 
 a 1 
 2 2
 2 a 1 1 
 a 1 
 a 1 
 2
 2 1 
 a 1 a 1 
 a 1 
 1 Cauchy 1
 2 a 1 2 2 2 2 a 1 2 2 2 2 2
 a 1 2 a 1 2
 1 2 4 8
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 2 a 1 2 hay a 
 a 1 2 2
Vậy GTNN của A 2 2 2
 1
Bài 12: Chứng minh rằng: a 3 , a b 0
 b(a b)
 Hướng dẫn giải
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có: 
 1 1 1
a b a b 33 b. a b . 3
 b a b b a b b a b 
 bc ca ab
Bài 13: Cho ba số thực dương a, b, c. CMR: a b c
 a b c
 Hướng dẫn giải
Ta có: b c c a a b b c c a a b 
 1 1 1 3
 a b c a b c 
 a b c b c a c a b
 3
 a b c
 1 1 1 
 a b c 3 9 3 6
 a b c 
 Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán cực trị xảy ra ở biên.
Xét các bài toán sau: 
 1
Bài 1: Cho số thực a 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của A a 
 a
 1 1
Sai lầm thường gặp là: A a 2 a. 2 . Vậy GTNN của A là 2.
 a a
 1
Nguyên nhân sai lầm: GTNN của A là 2 a a 1vô lý vì theo giả thuyết thì 
 a
a 2 .
 1 a 1 3a a 1 3a 3.2 5
Lời giải đúng: A a 2 . 1 
 a 4 a 4 4 a 4 4 2
 a 1
 Dấu “=” xảy ra hay a 2 
 4 a
 5
 Vậy GTNN của A là . 
 2
Vì sao chúng ta lại biết phân tích được như lời giải trên. Đây chính là kỹ thuật chọn 
điểm rơi trong bất đẳng thức.
Quay lại bài toán trên, dễ thấy a càng tăng thì A càng tăng. Ta dự đoán A đạt GTNN 
khi a 2 . Khi đó ta nói A đạt GTNN tại “Điểm rơi a 2 ” . Ta không thể áp dụng 
 1
bất đẳng thức AM - GM cho hai số a và vì không thỏa quy tắc dấu “=”. Vì vậy ta 
 a
 1
phải tách a hoặc để khi áp dụng bất đẳng thức AM - GM thì thỏa quy tắc dấu 
 a
 a 1 
“=”. Giả sử ta sử dụng bất đẳng thức AM - GM cho cặp số , sao cho tại “Điểm 
 a 
 a 2
 a 1 2 1
rơi a 2 ” thì , ta có sơ đồ sau: a 2 4 
 a 1 1 2
 a 2 ab 1
 1 4 1 1
Sơ đồ điểm rơi: ab 4 
 4 1 4 16
 4
 ab
Giải:
Ta có: 
 2
 a b 1
 ab 
 2 4
 1
 ab 
 4
 1 1 1 17
 A 16ab 15ab 2 16ab 15ab 8 15. 
 ab ab 4 4
 1 1
Dấu “=” xảy ra ab a b 
 4 2
 17
Vậy GTNN của A là 
 4
 18
Bài 2: Cho số thực a 6. Tìm GTNN của A a 2 
 a
Phân tích:
 18 9 9
Ta có : A a 2 a 2 
 a a a
Dễ thấy a càng tăng thì A càng tăng. Ta dự đoán A đạt GTNN khi a 6 . Ta có sơ 
 a 2 36
 36 3
đồ điểm rơi: a 6 24
 9 9 3 2
 a 6 2
Giải:
 a2 9 9 23a2 a2 9 9 23a2 9 23.36
Ta có: A 33 . . 39
 24 a a 24 24 a a 24 2 24
 a 2 9
 Dấu “=” xảy ra a 6
 24 a
 Vậy GTNN của A là 39 
Bài 3: Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa a 2b 3c 20 . Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có:
 a b 2 a b 2 1
 33 . . 
 18 24 ab 18 24 ab 2
 a c 2 a c 2
 33 . . 1
 9 6 ca 9 6 ca
 b c 2 b c 2 3
 33 . . 
16 8 bc 16 8 bc 4
 a c b 8 a c b 8 4
 44 . . . 
 9 6 12 abc 9 6 12 abc 3
13a 13b 13a 13b 13 13 13
 2 . 2 . .12 
 18 24 18 24 18 24 3
13b 13c 13b 13c 13 13 13
 2 . 2 . .8 
 48 24 48 24 48 24 4
Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được:
 1 1 1 8 121
 a b c 2 (đpcm)
 ab bc ca abc 12
 Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán cực trị đạt được tại tâm
Xét bài toán sau: 
 1 1
Bài toán: Cho 2 số thực dương a, b thỏa a b 1.. Tìm GTNN của A a b 
 a b
 1 1 1 1
Sai lầm thường gặp là: A a b 44 a.b. . 4 . Vậy GTNN của A là 4.
 a b a b
 1 1
Nguyên nhân sai lầm: GTNN của A là 4 a b a b 1. Khi đó 
 a b
a b 2 1 trái giả thuyết .
Phân tích:
 1
Do A là biểu thức đối xứng với a, b nên ta dự đoán GTNN của A đạt tại a b 
 2