Chuyên đề ôn thi tốt nghiệp 2025 - Chuyên đề 8: Vecto trong không gian

 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025 
 CHUYÊN ĐỀ 8. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
 •Fanpage: Nguyễn Bảo Vương -
 PHẦN A. LÝ THUYẾT VÀ VÍ DỤ 
 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
 -Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng.
 - Độ dài của vectơ trong không gian là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó.
 Chú ý. Tương tự như vectơ trong mặt phẳng, đối với vectơ trong không gian ta cũng có các kí 
 hiệu và khái niệm sau:  
 - Vectơ có điểm đầu là A và điểm cuối là B được kí hiệu là AB . 
 - Khi không cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối của vectơ thì vectơ còn được kí hiệu là
 a, b,,, x y  
   
 - Độ dài của vectơ AB được kí hiệu là | AB | , độ dài của vectơ a được kí hiệu là | a |.
 -Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của một vectơ
 được gọi là giá của vectơ đó. 
Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD có độ dài mỗi cạnh bằng 1. 
 a) Có bao nhiêu vectơ có điểm đầu là A và điểm cuối là một trong các đỉnh còn lại của tứ
 diện?
 b) Trong các vectơ tìm được ở câu a, những vectơ nào có giá nằm trong mặt phẳng (ABC) ?
 c) Tính độ dài của các vectơ tìm được ở câu#a.
 Giải    
 a) Có ba vectơ là AB, AC và AD . 
      
 b) Trong ba vectơ AB, AC và AD chỉ có hai vectơ AB và AC có giá nằm trong mặt phẳng 
 (ABC) .
    
 c) Vì tứ diện ABCD có độ dài mỗi cạnh bằng 1 nên | AB| | AC | | AD | 1. 
 Tương tự như trường hợp của vectơ trong mặt phẳng, ta có các khái niệm sau đối với vectơ 
 trong không gian: 
 -Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu chúng có giá song song hoặc trùng nhau.
 - Nếu hai vectơ cùng phương thì chúng cùng hướng hoặc ngược hướng.
 - Hai vectơ a và b được gọi là bằng nhau, kí hiệu a b , nếu chúng có cùng độ dài và cùng 
 hướng. 
 Chú ý. Tương tự như vectơ trong mặt phẳng, ta có tính chất và các quy ước sau đối với vectơ 
 trong không gian:
 - Trong không gian, với mỗi điểm O và vectơ a cho trước, có duy nhất điểm M sao cho
  
 OM a .
   
 - Các vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, ví dụ như AA, BB, gọi là các vectơ-không. 
 Facebook Nguyễn Vương Trang 1 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025 
 Giải   
 Tứ giác ABCD là hình vuông nên BC AD . 
      
 Do đó BC DD AD DD AD .
   
 Tứ giác ADD A là hình vuông nên AD AD2 DD 2 2 , suy ra BC DD 2 . 
 Chú ý. Tương tự như phép cộng vectơ trong mặt phẳng, phép cộng vectơ trong không gian có 
 các tính chất sau: 
 - Tính chất giao hoán: Nếu a và b là hai vectơ bất kì thì a b b a . 
 -Tính chất kết hợp: Nếu a,b và c là ba vectơ bất kì thì (a b)() c a b c .
 -Tính chất cộng với vectơ 0 : Nếu a là một vectơ bất kì thì a 0 0 a a .
 Từ tính chất kết hợp của phép cộng vectơ trong không gian, ta có thể viết tổng của ba vectơ 
 a,b và c là a b c mà không cần sử dụng các dấu ngoặc. Tương tự đối với tổng của nhiều
 vectơ trong không gian.     
Ví dụ 4: Cho tứ diện ABCD . Chứng minh rằng AC BD AD BC . 
 Giải    
 Theo quy tắc ba điểm trong không gian, ta có AC AD DC . 
 Từ đó  lần lượt  áp dụng  tính  chất của  phép  cộng  vectơ trong không gian, ta được:
 AC BD ( AD DC) BD AD () DC BD
      
 AD (). BD DC AD BC
 Quy tắc hình hộp. 
     
 Cho hình hộp ABCD  ABCD . Khi đó, ta có AB AD AA AC . 
     
Ví dụ 5: Cho hình hộp ABCD A B C D . Chứng minh rằng BC DC AA AC . 
 Giải     
 Vì tứ giác ABCD là hình bình hành nên BC AD và DC AB . 
        
 Áp dụng quy tắc hình hộp suy ra BC DC AA AD AB AA AC . 
 b) Hiệu của hai vectơ trong không gian
 Trong không gian, vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với vectơ a được gọi là vectơ đối của
 vectơ a , kí hiệu là a .
 Chú ý 
 - Hai vectơ là đối nhau nếu và chỉ nếu tổng của chúng bằng 0 . 
   
 -Vectơ BA là một vectơ đối của vectơ AB . 
 -Vectơ 0 được coi là vectơ đối của chính nó. 
 Tương tự như hiệu của hai vectơ trong mặt phẳng, ta có định nghĩa về hiệu của hai vectơ trong 
 không gian: 
 Facebook Nguyễn Vương 3 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025 
   
 Chứng minh rằng CC ( 2) OM . 
 Giải 
 Vì O là trung điểm của AB nên OM là đường trung bình của tam giác AB B . Suy ra 
 B B/ / OM và B B 2 OM . Tứ giác BCCB là hình bình hành nên BBCC / / và B BCC .
   
 Do đó C C/ / OM và C C 2 OM . Vì hai vectơ CC và OM ngược hướng nên
   
 CC ( 2) OM . 
 Chú ý. Tương tự như phép nhân một số với một vectơ trong mặt phẳng, phép nhân một số với 
 một vectơ trong không gian có các tính chất sau: 
 - Tính chất kết hợp: Nếu h,k là hai số thực và a là một vectơ bất kì thì h( ka)() hk a .
 -Tính chất phân phối: Nếu h, k là hai số thực và a,b là hai vectơ bất kì thì (h k) a ha ka
 và k( a b) ka kb . 
 -Tính chất nhân với 1 và 1: Nếu a là một vectơ bất kì thì 1a a và ( 1)a a .
Ví dụ 8: Cho tứ diện ABCD . Gọi G là trọng tâm của tam giác BCD . Chứng minh rằng
     
 AB AC AD 3 AG . 
 Giải 
    
 Vì G là trọng tâm của tam giác BCD nên GB GC GD 0 .
          
 Do đó ta có: AB AC AD AG GB AG GC AG GD 
       
 3AG ( GB GC GD) 3 AG 0 3 AG.
 Chú ý. Tương tự như trong mặt phẳng, nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì với điểm O
     
 tuỳ ý, ta có OA OB OC 3 OG
 4. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
 a) Góc giữa hai vectơ trong không gian
 Trong không gian, cho hai vectơ a,b khác 0 . Lấy một điểm O bất kì và gọi A, B là hai điểm 
   
 sao cho OA a, OB b . Khi đó, góc AOB 0 AOB 180 được gọi là góc giữa hai vectơ
 a và b , kí hiệu là (a,) b . 
 Facebook Nguyễn Vương 5 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025 
   
 a) AS BC
   
 b) AS  AC . 
 Giải
 a) Tam giác SAD có ba cạnh bằng nhau nên là tam giác đều, suy ra SA D 60 . Tứ giác
       
 ABCD là hình vuông nên AD BC , suy ra (AS, BC ) ( AS , AD ) SAD 60 . 
     1 a2
 Do đó AS BC | AS|  | BC |  cos60 a  a  . 
 2 2
 b) Tứ giác ABCD là hình vuông có độ dài mỗi cạnh là a nên độ dài đường chéo AC là 2a . 
 Tam giác SAC có SA SC a và AC 2a nên tam giác SAC vuông cân tại S , suy ra 
     2
 SA C 45 . Do đó AS AC | AS|  | AC |  cos SAC a  2 a  a2 . 
 2
 Nhận xét. Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian cũng có các tính chất giống như các
 tính chất của tích vô hướng của hai vectơ trong mặt phẳng. Cụ thể, nếu a, b, c là các vectơ
 trong không gian và k là một số thực thì ta có: 
 - a b b  a 
 - k( a b)()() ka  b a  kb ; 
 - a( b c) a  b a  c .
Ví dụ 11: Cho tứ diện ABCD có AC và BD cùng vuông góc với AB . Gọi M , N lần lượt là trung 
 điểm của hai cạnh AB,CD . Chứng minh rằng: 
  1   
 a) MN (AC BD) 
   2
 b) MN AB 0 . 
 Giải         
 a) Ta có: MN MA AC CN và MN MB BD DN .
        
 Do đó 2MN ()()() MA MB AC BD CN DN . 
     
 Vì M , N lần lượt là trung điểm của AB, CD nên MA MB CN DN 0 . 
     1   
 Suy ra 2MN AC BD , hay MN ( AC BD) . 
     2
 b) Từ giả thiết, ta có AC AB BD  AB 0 . 
 Facebook Nguyễn Vương 7