Chuyên đề ôn thi tốt nghiệp 2025 - Chuyên đề 7: Ứng dụng đạo hàm giải toán thực tế

 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025 
 CHUYÊN ĐỀ 7. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM GIẢI TOÁN THỰC TẾ
 •Fanpage: Nguyễn Bảo Vương -
PHẦN A. LÝ THUYẾT VÀ VÍ DỤ 
1. TỐC ĐỘ THAY ĐỔI CỦA MỘT ĐẠI LƯỢNG
Giả sử y là một hàm số của x và ta viết y f( x) . Nếu x thay đổi từ x1 đến x2 , thì sự thay đổi của x
là x x2 x1, và sự thay đổi tương ứng của y là y f x2 f x1 . 
 y f x2 f x1 
Tỉ số được gọi là tốc độ thay đổi trung bình của y đối với x trên đoạn x1; x2  . 
 x x2 x 1
 y f x f x 
Giới hạn lim lim 2 1 được gọi là tốc độ thay đổi tức thời của y đối với x tại điểm 
 x 0 x x
 x2 1 x2 x 1
x x1 . 
Như vậy, đạo hàm f (a) là tốc độ thay đổi tức thời của đại lượng y f( x) đối với x tại điểm x a . 
Dưới đây, chúng ta xem xét một số ứng dụng của ý tưởng này đối với vật lí, hoá học, sinh học và kinh tế: 
- Nếu s s( t) là hàm vị trí của một vật chuyển động trên một đường thẳng thì v s ( t) biểu thị vận tốc
tức thời của vật (tốc độ thay đổi của độ dịch chuyển theo thời gian). Tốc độ thay đổi tức thời của vận tốc
theo thời gian là gia tốc tức thời của vật: a( t) v ( t ) s ( t ).
- Nếu C C( t) là nồng độ của một chất tham gia phản ứng hoá học tại thời điểm t , thì C (t) là tốc độ
phản ứng tức thời (tức là độ thay đổi nồng độ) của chất đó tại thời điểm t .
- Nếu P P( t) là số lượng cá thể trong một quần thể động vật hoặc thực vật tại thời điểm t , thì P (t)
biểu thị tốc độ tăng trưởng tức thời của quần thể tại thời điểm t .
- Nếu C C( x) là hàm chi phí, tức là tổng chi phí khi sản xuất x đơn vị hàng hoá, thì tốc độ thay đổi tức
thời C (x) của chi phí đối với số lượng đơn vị hàng được sản xuất được gọi là chi phí biên.
- Về ý nghĩa kinh tế, chi phí biên C (x) xấp xỉ với chi phí để sản xuất thêm một đơn vị hàng hoá tiếp
theo, tức là đơn vị hàng hoá thứ x 1 (xem SGK Toán 11 tập hai, trang 87, bộ sách Kết nối tri thức với
cuộc sống).
Ví dụ 1. Khi bỏ qua sức cản của không khí, độ cao (mét) của một vật được phóng thẳng đứng lên trên từ
điểm cách mặt đất 2 m với vận tốc ban đầu 24,5 m / s là h( t) 2 24,5 t 4,9 t2 (theo Vật lí đại cương,
NXB Giáo dục Việt Nam, 2016).
a)Tìm vận tốc của vật sau 2 giây.
b) Khi nào vật đạt độ cao lớn nhất và độ cao lớn nhất đó là bao nhiêu?
c) Khi nào thì vật chạm đất và vận tốc của vật lúc chạm đất là bao nhiêu?
Giải
a)Theo ý nghĩa cơ học của đạo hàm, vận tốc của vật là v h ( t) 24,5 9,8t ( m / s ) .
Do đó, vận tốc của vật sau 2 giây là v(2) 24,5 9,8  2 4,9( m / s ) .
 b 24,5
b) Vì h( t) là hàm số bậc hai có hệ số a 4,9 0 nên h( t) đạt giá trị lớn nhất tại t 2,5 
 2a 2 4,9
(giây). Khi đó, độ cao lớn nhất của vật là h(2,5) 32,625(m ) . 
c)Vật chạm đất khi độ cao bằng 0 , tức là h 2 24,5 t 4,9 t 2 0 , hay t 5,08 (giây).
Vận tốc của vật lúc chạm đất là v 5,08 24,5 9,8  5,08 25, 284( m / s ) .
Vận tốc âm chứng tỏ chiều chuyển động của vật là ngược chiều dương (hướng lên trên) của trục đã chọn 
(khi lập phương trình chuyển động của vật). 
Ví dụ 2. Giả sử số lượng của một quần thể nấm men tại môi trường nuôi cấy trong phòng thí nghiệm 
 a
được mô hình hoá bằng hàm số P(t) , trong đó thời gian t được tính bằng giờ. Tại thời điểm 
 b e 0,75t
 Facebook Nguyễn Vương Trang 1 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025 
Bảng biến thiên: 
Đồ thị hàm số như Hình. 
a) Chi phí cần bỏ ra C( x) sẽ luôn tăng khi x tăng.
b) Vì limC (x ) (hàm số C( x) không xác định khi x 100 ) nên nhà máy không thể loại bỏ 100%
 x 100 
chất gây ô nhiễm không khí (dù bỏ ra chi phí là bao nhiêu đi chăng nữa). 
2. MỘT VÀI BÀI TOÁN TỐI ƯU HOÁ ĐƠN GIẢN
Một trong những ứng dụng phổ biến nhất của đạo hàm là cung cấp một phương pháp tổng quát, hiệu quả 
để giải những bài toán tối ưu hoá. Trong mục này, chúng ta sẽ giải quyết những vấn đề thường gặp 
như tối đa hoá diện tích, khối lượng, lợi nhuận, cũng như tối thiểu hoá khoảng cách, thời gian, chi 
phí. 
Khi giải những bài toán như vậy, khó khăn lớn nhất thường là việc chuyển đổi bài toán thực tế cho bằng 
lời thành bài toán tối ưu hoá toán học bằng cách thiết lập một hàm số phù hợp mà ta cần tìm giá trị lớn 
nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của nó, trên miền biến thiên phù hợp của biến số. 
Quy trình giải một bài toán tối ưu hoá: 
Bước 1. Xác định đại lượng Q mà ta cần làm cho giá trị của đại lượng ấy lớn nhất hoặc nhỏ nhất và biểu 
diễn nó qua các đại lượng khác trong bài toán. 
Bước 2. Chọn một đại lượng thích hợp nào đó, kí hiệu là x , và biểu diễn các đại lượng khác ở Bước 1 
theo x . Khi đó, đại lượng Q sẽ là hàm số của một biến x . Tìm tập xác định của hàm số Q Q( x) . 
Bước 3. Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của hàm số Q Q( x) bằng các phương pháp đã biết và 
kết luận. 
Ví dụ 5. Một nhà sản xuất cần làm những hộp đựng hình trụ có thể tích 1 lít. Tìm các kích thước của hộp 
đựng để chi phí vật liệu dùng để sản xuất là nhỏ nhất (kết quả được tính theo centimét và làm tròn đến 
chữ số thập phân thứ hai). 
Giải 
Đổi 1 lít 1000 cm3 . 
Gọi r( cm ) là bán kính đáy của hình trụ, h( cm ) là chiều cao của hình trụ. 
Diện tích toàn phần của hình trụ là: S 2 r2 2 rh . 
 Facebook Nguyễn Vương 3 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025 
Vậy với giá vé là 95 nghìn đồng một vé thì doanh thu bán vé là lớn nhất. 
Ví dụ 7. Một nhà phân tích thị trường làm việc cho một công ty sản xuất thiết bị gia dụng nhận thấy rằng 
nếu công ty sản xuất và bán x chiếc máy xay sinh tố hằng tháng thì lợi nhuận thu được (nghìn đồng) là 
P( x) 0,3 x3 36 x2 1800 x 48000. 
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y P( x), x 0. Sử dụng đồ thị đã vẽ để trả lời các câu hỏi 
sau: 
a) Khi chỉ sản xuất một vài máy xay sinh tố, công ty sẽ bị lỗ (vì lúc này lợi nhuận âm). Hỏi hằng tháng
công ty phải sản xuất ít nhất bao nhiêu chiếc máy xay sinh tố để hoà vốn?
b) Lợi nhuận lớn nhất mà công ty có thể đạt được là bao nhiêu? Công ty có nên sản xuất 200 chiếc máy
xay sinh tố hằng tháng hay không?
Giải
Xét hàm số y P( x) 0,3 x3 36 x2 1800 x 48000, x 0 .
Ta có:
- y P ( x) 0,9 x2 72 x 1800; y 0 x 100 (vì x 0 ).
P (x) 0 với mọi x [0;100), P ( x ) 0 với mọi x (100; ) .
Do đó hàm số đồng biến trên nửa khoảng [0;100) và nghịch biến trên khoảng (100; ).
Tại x 100 , hàm số đạt cực đại và yCĐ y(100) 192000 . 
- limP (x ) . 
 x 
Bảng biến thiên: 
Đồ thị hàm số như Hình (ở đây ta lấy một đơn vị trên trục hoành bằng 1000 đơn vị trên trục tung). 
Từ đồ thị đã vẽ suy ra: 
a)Đồ thị xuất phát từ điểm (0; 48000) , ở phía dưới trục hoành (tức là công ty đang bị lỗ), và giao với
trục hoành tại điểm đầu tiên có hoành độ x 20 . Do đó, hằng tháng công ty cần sản xuất ít nhất 20 chiếc
máy xay sinh tố để hoà vốn.
 Facebook Nguyễn Vương 5 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025 
 a) Chứng minh rằng công thức tính bán kính r của đáy hình trụ theo chiều cao h của nó là:
 5(12 h )
 r .
 12
 b) Chứng minh biểu thức sau biểu thị thể tích khối trụ theo h:
 25 h (12 h )2
 V() h . 
 144
 c) Tìm h để khối trụ có thể tích lớn nhất.
Câu 6. Một hồ nước nhân tạo được xây dựng trong một công viên giải trí. Trong mô hình minh họa 
 (Hình), nó được giới hạn bởi các trục tọa độ và đồ thị của hàm số 
 1
 y f( x) x3 9 x2 15 x 56 . Đơn vị đo độ dài trên mỗi trục tọa độ là 100 m
 10
 a) Đường dạo ven hổ chạy dọc theo trục Ox dài bao nhiêu mét?
 b) Tại những điểm nào trên đường đi dạo ven hồ (chạy dọc theo trục Ox ) thì khoảng cách theo
 Hình phương thẳng đứng đến bờ hồ đối diện là lớn nhất? Tìm khoảng cách lớn nhất đó.
 c) Trong công viên có một con đường chạy dọc theo đồ thị hàm số y 1,5 x 18 . Người ta dự
 định xây dựng bên bờ hồ một bến thuyền đạp nước sao cho khoảng cách từ bến thuyền đến con
 đường này là ngắn nhất. Tìm tọa độ của điểm để xây bến thuyển này.
Câu 7. Một tàu đổ bộ tiếp cận Mặt Trăng theo cách tiếp cận thẳng đứng và đốt cháy các tên lửa hãm ở 
 độ cao 250 km so với bể mặt của Mặt Trăng. 
 Trong khoảng 50 giây đầu tiên kể từ khi đốt cháy các tên lửa hãm, độ cao h của con tàu so với 
 bề mặt của Mặt Trăng được tính (gẩn đúng) bởi hàm 
 h( t) 0,01 t3 1,1 t2 30 t 250, trong đó t là thời gian tính bằng giây và h là độ cao tính 
 bằng kilômét 
 a) Vẽ đồ thị của hàm số y h( t) với 0 t 50 (đơn vị trên trục hoành là 10 giây, đơn vị trên
 trục tung là 10 km ).
 b) Gọi v( t) là vận tốc tức thời của con tàu ở thời điểm t (giây) kể từ khi đốt cháy các tên lửa
 hãm với 0 t 50 . Xác định hàm số v( t).
 c) Vận tốc tức thời của con tàu lúc bắt đầu hãm phanh là bao nhiêu? Tại thời điểm t 25 (giây)
 là bao nhiêu?
 d) Tại thời điểm t 25 (giây), vận tốc tức thời của con tàu vẫn giảm hay đang tăng trở lại?
Câu 8. Trong 8 phút đầu kể từ khi xuất phát, độ cao h (tính bằng mét) của khinh khí cầu vào thời điểm 
 t phút được cho bởi công thức h(t) 6 t3 81 t2 324 t . Đồ thị của hàm số h( t) được biểu diễn 
 trong hình bên. Trong các khoảng thời gian nào khinh khí cầu tăng dần độ cao, giảm dần độ 
 cao? 
 Facebook Nguyễn Vương 7