Chuyên đề ôn thi tốt nghiệp 2025 - Chuyên đề 6: Khảo sát hàm số phân thức hữu tỉ

 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025 
 CHUYÊN ĐỀ 6. KHẢO SÁT HÀM SỐ PHÂN THỨC HỮU TỈ
 •Fanpage: Nguyễn Bảo Vương -
PHẦN A. LÝ THUYẾT 
 Sơ đồ khảo sát hàm số y f( x) : 
 1. Tìm tập xác định của hàm số.
 2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số:
 -Tính đạo hàm y . Tìm các điểm tại đó y bằng 0 hoặc đạo hàm không tồn tại.
 -Xét dấu y để chỉ ra các khoảng đơn điệu của hàm số.
 -Tìm cực trị của hàm số.
 -Tìm các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tìm tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có).
 - Lập bảng biến thiên của hàm số.
 3. Vẽ đồ thị của hàm số dựa vào bảng biến thiên.
 Chú ý. Khi vẽ đồ thị, nên xác định thêm một số điểm đặc biệt của đồ thị, chẳng hạn tìm giao 
 điểm của đồ thị với các trục toạ độ (khi có và việc tìm không quá phức tạp). Ngoài ra, cần lưu ý 
 đến tính đối xứng của đồ thị (đối xứng tâm, đối xứng trục). 
 ax b
a) Hàm số phân thức y ( c 0, ad bc 0)
 cx d
 x 1
Ví dụ 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y . 
 x 2
Giải 
1. Tập xác định của hàm số: \{2}.
2. Sự biến thiên:
 3
- Ta có: y 0 với mọi x 2 . 
 (x 2)2
-Hàm số nghịch biến trên từng khoảng ( ;2) và (2; ) .
-Hàm số không có cực trị.
 x 1 x 1
- Tiệm cận: limy lim ; limy lim ; 
 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2
 x 1 x 1
limy lim 1; limy lim 1.
x x x 2 x x x 2
Do đó, đồ thị của hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng x 2 , tiệm cận ngang là đường thẳng y 1. 
- Bảng biến thiên:
3. Đồ thị:
 1 
- Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm 0; . 
 2 
-Giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là điểm ( 1;0) .
- Đồ thị hàm số nhận giao điểm I(2;1) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân
giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm trục đối xứng.
 Facebook Nguyễn Vương Trang 1 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025 
- Đồ thị hàm số nhận giao điểm I(2;3) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân
giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các trục đối xứng.
 x2 x 2
Ví dụ 3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y . 
 x 1
Giải 
1. Tập xác định của hàm số: \{ 1}.
2. Sự biến thiên:
 2 2
- Viết y x , ta có y 1 0 với mọi x 1. 
 x 1 (x 1)2
-Hàm số đồng biến trên từng khoảng ( ; 1) và ( 1; ).
-Hàm số không có cực trị.
 2 2
 2 x 1 2 x 1 
 x x 2 x x 2
- limy lim lim x ; limy lim lim x . 
 x x x 1 x x x 1
 x 1 1 x 1 1 
 x x
 2 2 
- Tiệm cận: limy lim x ; limy lim x ; 
 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 
 2 2 
lim [y x ] lim 0; lim [y x ] lim 0. 
x x x 1 x x x 1 
Do đó, đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng x 1, tiệm cận xiên là đường thẳng y x . 
- Bảng biến thiên:
3. Đồ thị
- Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm (0; 2) .
 x2 x 2
-Ta có y 0 0 x 2 hoăc x 1. Do đó giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành 
 x 1
là các điểm ( 2;0) và (1;0) . 
- Đồ thị hàm số nhận giao điểm I( 1; 1) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường
phân giác của góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các trục đối xứng.
 Facebook Nguyễn Vương 3 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025 
 2x 1
Câu 14. Cho hàm số y , gọi đồ thị của hàm số là ( C) 
 x 1
 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số;
 2. Tìm k để đường thẳng y kx 2 k 1 cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho
 khoảng cách từ A và B đến trục hoành bằng nhau.
 2x
Câu 15. Cho hàm số y , gọi đồ thị của hàm số là ( C) 
 x 1
 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. Từ đó suy ra đồ thị của hàm số:
 2 x
 y C 
 x 1 1
 2. Biện luận theo m số nghiệm x  1 ; 2  của phương trình: m 2 x m 0
 x2 x 1
Câu 16. Cho hàm số y , gọi đồ thị của hàm số là ( C) 
 x 1
 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số ;
 5 
 2. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M 0; và tiếp xúc với đồ thị. 
 4 
 x2 2 x 1
Câu 17. Cho hàm số y , gọi đồ thị của hàm số là ( C) 
 x 1
 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số ;
 x2 2 x 1
 2. Dựa vào đồ thị của hàm số ở câu 1, vẽ đồ thị của hàm số y và từ đồ thị của 
 x 1
 x2 2 x 1
 hàm số này, biện luận về số nghiệm của phương trình a theo các giá trị của tham 
 x 1
 số a . 
 bx c
Câu 18. (Sở Cần Thơ - 2021) Cho hàm số y (a 0 và a, b, c ) có đồ thị như sau: 
 x a
 Xác định dấu của a, b, c 
 ax 6
Câu 19. (Tiên Lãng - Hải Phòng - 2020) Cho hàm số f x a, b, c có bảng biến thiên
 bx c
 như sau: 
 Trong các số a, b, c có bao nhiêu số âm? 
 Facebook Nguyễn Vương 5 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025 
 x 1 2x 1 x2 3 x 1
 A. y . B. y . C. y . D. y x3 3 x2 . 
 x 1 2x 2 x 3
Câu 5. Đường cong trong hình là đồ thị của hàm số nào dưới đây? 
 x2 1 2x 1 x2 x 1
 A. y . B. y . C. y . D. y x3 3 x2 .
 x 2x 2 x 1
 x a
Câu 6. (Mã 101 - 2021 Lần 1) Biết hàm số y ( a là số thực cho trước, a 1 có đồ thị như 
 x 1
 hình bên). Mệnh đề nào dưới đây đúng? 
 A. y' 0,  x 1 . B. y' 0,  x 1. C. y' 0,  x . D. y' 0,  x .
 ax b
Câu 7. (Đề Minh Họa 2023) Cho hàm số y có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên. Tọa 
 cx d
 độ giao điểm của đồ thị hàm số đã cho và trục hoành là 
 Facebook Nguyễn Vương 7 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025 
 A. 2 . B. 3. C. 1. D. 0 .
 x2 3 x 5
Câu 15. Hàm số y có giá trị cực tiểu bằng: 
 x 2
 A. 1 2 3 . B. 1 2 3 . C. 1 2 3 . D. 1 2 3 . 
 x2 x 1
Câu 16. Đồ thị hàm số y có tiệm cận xiên là
 x 1
 A. y x . B. y x . C. y x 1. D. y x 1.
 x2 2x
Câu 17. Cho hàm số y . Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là: 
 x 1
 A. 2 5 . B. 2 3 . C. 6 3 . D. 2 15 . 
 x2 x 4
Câu 18. Cho hàm số y có đồ thị là (C). Có bao nhiêu điểm trên đồ thị (C) của hàm số có 
 x 1
 tọa độ là các số nguyên. Chọn câu trả lời đúng. 
 A. 2. B. 4. C. 6. D. 0.
 x2 3 x 3
Câu 19. Cho hàm số y có đồ thị (C). Nếu M là một điểm trên
 1 x
 (C) cách đều 2 trục toạ độ thì điểm đó là:
 3 3 1 1 3 1 
 A. ; B. (1;1) . C. ; . D. ; 
 2 2 2 2 2 2 
 NHÓM CÂU HỎI DÀNH CHO HỌC SINH KHÁ – GIỎI 
 2x2 mx 2 m
Câu 20. Cho hàm số y . Tìm hoành độ của điểm cực đại, biết tiệm cận xiên qua điểm 
 x 1
 ( 3;3) . Chọn câu trả lời đúng.
 2 2 2
 A. x 1 . B. x 1 . C. x 1 . D. x 2 2 . 
 2 2 2
 x2 2( m 1) x 5
Câu 21. Cho hàm số y . Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số có cực đại, cực tiểu 
 x 1
 A. m 4 B. m 4 C. m 4 D. m 
 x2 mx 2 m
Câu 22. Cho hàm số y C . Có bao nhiêu đồ thị C đi qua điểm (0,1) . Chọn câu trả 
 x m m m
 lời đúng. 
 A. Đúng 1 đường. B. Đúng 2 đường. C. Không có đường nào. D. Có vô số
 đường.
 r
Câu 23. Cho hàm số y ax b ( abr 0) và có đồ thị là (C) có dạng như hình vẽ sau.
 x
 Các hệ số a, b, r phải thoả mãn điều kiện nào dưới đây. 
 Facebook Nguyễn Vương 9