Chuyên đề ôn thi tốt nghiệp 2025 - Chuyên đề 4: Tiệm cận của đồ thị hàm số

 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025 
 CHUYÊN ĐỀ 4. TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
 •Fanpage: Nguyễn Bảo Vương -
PHẦN A. LÝ THUYẾT VÀ VÍ DỤ SÁCH GIÁO KHOA 
1. ĐƯỜNG TIỆM CẬN NGANG
Đường thẳng y y0 gọi là đường tiệm cận ngang (gọi tắt là tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số y f( x)
nếu limf (x ) y0 hoặc limf (x ) y0 . 
 x x 
 3x 2
Ví dụ 1. Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y f() x . 
 x 1
Giải 
 2
 3 
 3x 2
Ta có: limf (x ) lim limx 3. Tương tự, limf (x ) 3 .
 x x x 1 x 
 x 1 1 
 x
Vậy đồ thị hàm số f( x) có tiệm cận ngang là đường thẳng y 3 . 
 x2 1
Ví dụ 2. Tìm các tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y f( x) .
 x
Giải 
Ta có: 
 x2 1 x2 1 1
limf ( x ) lim lim lim 1 1; 
x x x x x2 x x2
 x2 1 x2 1 1 
limf ( x ) lim lim lim 1 1. 
x x x 2 x 2 
 x x x 
Vậy đồ thị hàm số f( x) có hai tiệm cận ngang là y 1 và y 1. 
Nhận xét. Đồ thị hàm số f( x) như Hình. 
2. ĐƯỜNG TIỆM CẬN ĐỨNG
Đường thẳng x x0 gọi là đường tiệm cận đứng (gọi tắt là tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số y f( x)
nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thoả mãn: 
 limf (x ) ; lim f ( x ) ; lim f ( x ) ; lim f ( x ) . 
 x x0 x x0 x x0 x x0
 Facebook Nguyễn Vương Trang 1 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025 
Khi đó, ta có b lim [f ( x ) ax ] hoặc b lim [f ( x ) ax ].
 x x 
Ngược lại, với a và b xác định như trên, đường thẳng y ax b( a 0) là một tiệm cận xiên của đồ thị 
hàm số y f( x) . Đặc biệt, nếu a 0 thì đồ thị hàm số có tiệm cận ngang. 
 x2 x 2
Ví dụ 6. Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y f( x) . 
 x 1
Giải 
Ta có: 
 f (x) x2 x 2
a lim lim 1
 x xx x2 x
 2x 2
b lim [ f ( x ) x ] lim 2.
 x x x 1
 f (x)
(Tương tự, lim 1, lim [f ( x ) x ] 2.)
 x x x 
Vậy đồ thị hàm số f (x) có tiệm cận xiên là đường thẳng y x 2. 
Nhận xét. Trong thực hành, để tìm tiệm cận xiên của hàm phân thức trong Ví dụ 6, ta viết: 
 x2 x 2 4
y f( x) x 2 . 
 x 1 x 1
 4
Ta có: lim [f (x ) ( x 2)] lim 0 ; 
 x x x 1
 4
lim[f (x ) ( x 2)] lim 0.
x x x 1
Do đó, đồ thị hàm số f (x) có tiệm cận xiên là đường thẳng y x 2. 
PHẦN B. BÀI TẬP TỰ LUẬN 
 Dạng 1. Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số 
 Phương pháp. 
 1. Tìm tiệm cận ngang,tiệm cận đứng của đồ thị hàm
 Thực hiện theo các bước sau 
 B1. Tìm tập xác định của hàm số f x 
 B2. Tìm các giới hạn của f x khi x dần tới các biên của miền xác định và dựa vào định 
 nghĩa của các đường tiệm cận để kết luận 
 2. Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm
 Thực hiện theo các bước sau 
 B1. Tìm tập xác định của hàm số (đồ thị hàm số f chỉ có thể có tiệm cận xiên nếu tập xác định 
 của nó là là một khoảng vô hạn hay một nửa khoảng vô hạn) 
 B2. Sử dụng định nghĩa 
 Hoặc sử dụng định lí: 
 f (x) f (x)
 Nếu lim a 0 và lim [f (x ) ax ] b hoặc lim a 0 và lim [f (x ) ax ] b 
 x x x x x x 
 thì đường thẳng y ax b là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số f
 P(x)
 CHÚ Ý: Đối với hàm phân thức: f x trong đó P x , Q x là hai đa thức của x ta
 Q(x)
 thường dùng phương pháp sau để tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số 
 i) Tiệm cận đứng.
 P(x0 ) 0
 Nếu thì đường thẳng: x x0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số 
 Q( x0 ) 0
 ii) Tiệm cận ngang
 Facebook Nguyễn Vương 3 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025 
 Chứng minh rằng đường thẳng : y x 2 là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số 
 y f( x) . Vẽ lên cùng hệ trục toạ độ với C . 
Câu 8. Chứng minh rằng đường thẳng y 2x 1 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số 
 1
 y f( x) 2 x 1 . 
 x2 1
 x2 3x
Câu 9. Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y f( x) . 
 x 2
 x2 3x 1
Câu 10. Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số f (x) . 
 x 2
Câu 11. Tìm tiệm cận của hàm số: 
 2x 1
 a) y 
 x 1
 2 4x
 b) y 
 1 x
 1
 c) y 2x 1 
 x 2
 x2
 d) y 
 1 x
Câu 12. Tìm tiệm cận của hàm số: 
 x2 1
 a) y 
 x
 b) y x2 2 x 2
 c) y x x2 1 
Câu 13. Tìm các đường tiệm cận của đồ thị các hàm số sau: 
 1
 a) y x 1 
 x 5
 2x2 6x 1
 b) y 
 3x 1
Câu 14. Tìm các đường tiệm cận của đồ thị các hàm số sau: 
 2x 3
 a) y 
 x2 4
 4x
 b) y 
 x2 8
Câu 15. Tìm các đường tiệm cận của đồ thị các hàm số sau: 
 2x 4
 a) y 2x 3 
 x3 1
 x3 2
 b) y 
 x2 2x
Câu 16. Tìm các đường tiệm cận của đồ thị các hàm số sau: 
 2x3 x 4
 a) y 
 x2 4
 x2 x 2
 b) y 
 x2 2x 3
Câu 17. Tìm các đường tiệm cận của đồ thị các hàm số sau: 
 a) y x 4 x2 3 x 2
 b) y 3x x2 4
 Facebook Nguyễn Vương 5 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025 
 b. Tìm những điểm trên (C) sao cho từng khoảng cách từ điểm đó đến 2 tiệm cận là nhỏ nhất.
 2m x
Câu 31. Cho hàm số: y có đồ thị là C . Cho A 0;1 và I là tâm đối xứng. Tìm m để trên 
 x m m
 Cm tồn tại điểm B sao cho tam giác ABI vuông cân tại A . 
Câu 32. (Bình Giang-Hải Dương -2019) Cho hàm số y f( x) liên tục trên \ 1  và có bảng biến
 thiên như sau: 
 1
 Đồ thị y có bao nhiêu đường tiệm cận đứng? 
 2 f x 3
Câu 33. (THPT Minh Khai 2020) Cho hàm số y f x ax3 bx2 cx d có đồ thị như bên dưới.
 x2 2 x 2 x
 Hỏi đồ thị hàm số y có bao nhiêu đường tiệm cận đứng 
 2
 x 3 f x f x 
Câu 34. (Chuyên Lê Quý Đôn - Điện Biên - 2021) Cho hàm số y f x xác định trên , có bảng
 biến thiên như hình vẽ. 
 1
 Tìm giá trị của m thì đồ thị hàm số y có tổng số đường tiệm cận ngang và tiệm 
 f 2 x m
 cận đứng bằng 3. 
PHẦN C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 
 Dành cho đối tượng học sinh trung bình 
Câu 1. (Đề Minh Họa 2017) Cho hàm số y f( x) có limf (x ) 1và limf (x ) 1. Khẳng định nào
 x x 
 sau đây là khẳng định đúng? 
 A. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang là các đường thẳng x 1 và x 1.
 Facebook Nguyễn Vương 7 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025 
 x 1
Câu 14. (Mã 102 - 2021 Lần 1) Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y là đường thẳng có phương 
 x 2
 trình 
 A. x 1 . B. x 2 . C. x 2 . D. x 1 .
 x 1
Câu 15. (Mã 104 - 2021 Lần 1) Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y là đường thẳng có phương 
 x 2
 trình 
 B. x 2 . B. x 1 . C. x 2 . D. x 1 .
Câu 16. (Mã 103 - 2019) Cho hàm số y f x có báng biến thiên như sau:
 Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là: 
 A. 2. B. 3. C. 4. D. 1.
Câu 17. (Mã 102 - 2019) Cho hàm số f x có bảng biến thiên như sau
 Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là 
 A. 1. B. 2. C. 4. D. 3.
Câu 18. (Mã 101 - 2019) Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau:
 Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là: 
 A. 4 . B. 1. C. 3. D. 2.
Câu 19. (Đề Tham Khảo 2019) Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau
 Tổng số đường tiệm cận ngang và đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là 
 Facebook Nguyễn Vương 9