Chuyên đề ôn thi tốt nghiệp 2025 - Chuyên đề 2: Cực trị của hàm số

 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025 
 CHUYÊN ĐỀ 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
PHẦN A. LÝ THUYẾT VÀ VÍ DỤ SÁCH GIÁO KHOA 
a) Khái niệm cực trị của hàm số
Tổng quát, ta có định nghĩa sau:
Cho hàm số y f() x xác định và liên tục trên khoảng (;a b) ( a có thể là ,b có thể là ) và 
điểm x0 (; a b). 
- Nếu tồn tại số h 0 sao cho f ()x f x0 với mọi x x0 h;( x 0 h  a;) b và x x0 thì ta nói 
hàm số f ()x đạt cực đại tại x0 . 
- Nếu tồn tại số h 0 sao cho f ()x f x0 với mọi x x0 h;( x 0 h  a;) b và x x0 thì ta nói 
hàm số f ()x đạt cực tiểu tại x0 . 
Chú ý 
- Nếu hàm số y f() x đạt cực đại tại x0 thì x0 được gọi là điểm cực đại của hàm số f ()x . Khi 
đó, f x0 được gọi là giá trị cực đại của hàm số f ()x và kí hiệu là fCĐ hay yCĐ . Điểm 
 M0 x 0 ; f x0 được gọi là điểm cực đại của đồ thị hàm số. 
- Nếu hàm số y f() x đạt cực tiểu tại x0 thì x0 được gọi là điểm cực tiểu của hàm số f ()x . Khi 
đó, f x0 được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f ()x và kí hiệu là fCT hay yCT . Điểm 
 M0 x 0 ; f x0 được gọi là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số. 
- Các điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại và giá trị cực
tiểu được gọi chung là giá trị cực trị (hay cực trị) của hàm số.
Ví dụ 1. Hình là đồ thị của hàm số y f() x . Hãy tìm các cực trị của hàm số.
Giải 
Từ đồ thị hàm số, ta có: 
Hàm số đạt cực tiểu tại x 1 và yCT y( 1) 2 . 
Hàm số đạt cực đại tại x 0 và yCĐ y(0) 3. 
Hàm số đạt cực tiểu tại x 1 và yCT y(1) 2. 
b) Cách tìm cực trị của hàm số
ĐỊNH LÍ
Giả sử hàm số y f() x liên tục trên khoảng (;a b) chứa điểm x0 và có đạo hàm trên các khoảng 
 a; x0 và x0 ; b . Khi đó: 
a) Nếu f() x 0 với mọi x a; x0 và f() x 0 với mọi x x0 ;b thì x0 là một điểm cực tiểu 
của hàm số f ()x . 
b) Nếu f() x 0 với mọi x a; x0 và f() x 0 với mọi x x0 ;b thì x0 là một điểm cực đại 
của hàm số f ()x . 
  Trang 1 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025 
Hàm số đạt cực đại tại x 1 và yCĐ y( 1) 4 . 
Hàm số đạt cực tiểu tại x 5 và yCT y(5) 8. 
 x 1
Ví dụ 4. Tìm cực trị của hàm số y .
 x 1
Giải 
Tập xác định của hàm số là \{1}. 
 (x 1) ( x 1) 2
Ta có: y 0 , với mọi x 1. 
 (x 1)2 ( x 1)2
Lập bảng biến thiên của hàm số: 
Từ bảng biến thiên suy ra hàm số không có cực trị. 
 PHẦN B. BÀI TẬP TỰ LUẬN 
 Dạng 1. Tìm cực trị của hàm số dựa vào bảng biến thiên, đồ thị của hàm số y, y’ 
 -Định lí cực trị
  Điều kiện cần (định lí 1): Nếu hàm số y f()x có đạo hàm trên khoảng (;a b) và đạt cực 
 đại 
 (hoặc cực tiểu) tại x thì f() x 0. 
  Điều kiện đủ (định lí 2): 
 Nếu f ()x đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua điểm x (theo chiều tăng) thì hàm số
 y f() x 
 đạt cực tiểu tại điểm x . 
 Nếu f ()x đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua điểm x (theo chiều tăng) thì hàm số
 y f() x 
 đạt cực đại tại điểm x . 
  Định lí 3: Giả sử y f() x có đạo hàm cấp 2 trong khoảng (;x h x h ), với h 0. 
 Khi đó: 
 Nếu y() x 0, y ( x ) 0 thì x là điểm cực tiểu. 
 Nếu y() xo 0, y ( xo ) 0 thì x là điểm cực đại. 
 - Các THUẬT NGỮ cần nhớ
  Điểm cực đại (cực tiểu) của hàm số là x , giá trị cực đại (cực tiểu) của hàm số là f ()x 
 (hay yCĐ hoặc yCT ). Điểm cực đại của đồ thị hàm số là M(; x f( x )). 
 y ( x ) 0
  Nếu M(; x y ) là điểm cực trị của đồ thị hàm số y f() x  
 M(; x y)() y f x
 3 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025 
 Bước 4. Từ bảng biến thiên, suy ra các điểm cực trị (dựa vào nội dung định lý 1).
 Quy tắc II: sử dụng nội dụng định lý 2 
 Bước 1. Tìm tập xác định D của hàm số.
 Bước 2. Tính đạo hàm y f ()x . Giải phương trình f() x 0 và kí hiệu xi , ( i 1,2,3,...,n ) là 
 các nghiệm của nó. 
 Bước 3. Tính f() x và f() xi .
 Bước 4. Dựa vào dấu của y() xi suy ra tính chất cực trị của điểm xi : 
 + Nếu f() xi 0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm xi . 
 + Nếu f() xi 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm xi . 
Câu 5. Tìm cực trị của hàm số f() x 2x3 9 x 2 24 x 1. 
Câu 6. Tìm cực trị của hàm số f() x x3 3 x 2 3 x 4 . 
 1 1
Câu 7. Tìm cực trị của hàm số y f ()x x3 x 2 3 x . 
 3 3
Câu 8. Tìm điểm cực trị của hàm số y x3 3 x 2 9 x 11. 
 x2 x 1
Câu 9. Tìm điểm cực trị của hàm số y . 
 x 1
Câu 10. Cho hàm số f() x có đạo hàm f () x x( x 1)( x 2)3 , x R . Xác định số điểm cực trị của 
 hàm số đã cho 
Câu 11. Cho hàm số y f x có đạo hàm f x x 2 x2 3 x 4 9 . Xác định số điểm cực trị
 của hàm số y f x 
 Dạng 3. Tìm m để hàm số đạt cực trị tại x = x0 
 Bước 1. Tính y', x0 y'' x0 
 Bước 2. Giải phương trình y' x0 0 m? 
 y'' 0 x0 CT
 Bước 3. Thế m vào y'' x0 nếu giá trị 
 y'' 0 x0 CD
Câu 12. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y x3 3x 2 mx 1 đạt cực tiểu tại x 2 . 
Câu 13. (THPT Đoàn Thượng - Hải Dương 2019) Tìm các giá trị thực của tham số m để hàm số 
 1
 y x3 mx 2 m2 4 x 3 đạt cực đại tại x 3. 
 3
Câu 14. (THPT Thăng Long - Hà Nội - Lần 2 - 2019) Tìm tập hợp tất cả các giá trị của m để hàm số 
 y x3 3m 1 x2 m2 x 3 đạt cực tiểu tại x 1. 
 Dạng 4. Tìm m để hàm số có n cực trị 
  Hàm số có n cực trị y 0 có n nghiệm phân biệt. 
  Xét hàm số bậc ba y ax3 bx 2 cx d : 
 a 0
 Hàm số có hai điểm cực trị khi . 
 b2 3 ac 0
 Hàm số không có cực trị khi y 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép. 
  Xét hàm số bậc bốn trùng phương y ax 4 bx 2 c. 
 Hàm số có ba cực trị khi ab 0. Hàm số có 1 cực trị khi ab 0. 
Câu 15. (Chuyên Sơn La - Lần 2 - 2019) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số 
 y x4 m 3 x2 m 1 có điểm cực đại mà không có điểm cực tiểu 
Câu 16. (Quang Trung - Bình Phước - Lần 5 - 2019) Cho hàm số y x4 2mx 2 m. Tìm tất cả các 
 giá trị thực của m để hàm số có 3 cực trị 
 5 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025 
 Để viết phương trình đường thẳng nối hai điểm cực trị, ta thường dùng phương pháp tách đạo 
 hàm (phần dư bậc nhất trong phép chia y cho y ), nghĩa là: 
 y1 h()x 1
 Phân tích (bằng cách chia đa thức y cho y ): y y  q() x h() x  
 y2 h()x2
 Đường thẳng qua 2 điểm cực trị là y h(x ). 
 Dạng toán: Tìm tham số m để các hàm số sau có cực trị thỏa điều kiện cho trước (cùng phía, 
 khác phía d): 
 Vị trí tương đối giữa 2 điểm với đường thẳng: 
 Cho 2 điểm A(; xAAy), B ( xBB ; y ) và đường thẳng d: ax by c 0. Khi đó: 
 Nếu (axAA by c)( axB byB c) 0 thì AB, nằm về 2 phía so với đường 
 thẳng d. 
 Nếu (axAA by c)( axB byB c) 0 thì AB, nằm cùng phía so với đường d. 
 Trường hợp đặc biệt: 
 Để hàm số bậc ba y f ()x có 2 điểm cực trị nằm cùng phía so với trục tung
 Oy phương trình y 0 có 2 nghiệm trái dấu và ngược lại. 
 Để hàm số bậc ba y f ()x có 2 điểm cực trị nằm cùng phía so với trục hoành
 Ox đồ thị hàm số y f ()x cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt phương trình 
 hoành độ giao điểm f() x 0 có 3 nghiệm phân biệt (áp dụng khi nhẩm được 
 nghiệm). 
 Dạng toán: Tìm m để các hàm số sau có cực trị thỏa điều kiện cho trước (đối xứng và cách 
 đều): 
  Bài toán 1. Tìm m để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị AB, đối xứng nhau qua 
 đường d : 
 — Bước 1. Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu m D1.
 — Bước 2. Tìm tọa độ 2 điểm cực trị AB, . Có 2 tình huống thường gặp: 
 + Một là y 0 có nghiệm đẹp x1, x 2 , tức có A(; x1y 1), B ( x2 ; y 2 ). 
 + Hai là y 0 không giải ra tìm được nghiệm. Khi đó ta cần viết phương trình đường
 thẳng nối 2 điểm cực trị là và lấy A(; x1y 1), B ( x2 ; y 2 ) . 
 x1 x 2 y1 y 2 
 — Bước 3. Gọi I ; là trung điểm của đoạn thẳng AB. 
 2 2 
   
  d AB ud 0
 Do AB, đối xứng qua d nên thỏa hệ m D2. 
 I d I d
 — Bước 4. Kết luận m D1  D 2. 
  Bài toán 2. Tìm m để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị AB, cách đều đường thẳng 
 d : 
 — Bước 1. Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu m D1.
 — Bước 2. Tìm tọa độ 2 điểm cực trị AB, . Có 2 tình huống thường gặp: 
 + Một là y 0 có nghiệm đẹp x1, x 2 , tức có A(; x1y 1), B ( x2 ; y 2 ). 
 + Hai là y 0 không giải ra tìm được nghiệm. Khi đó ta cần viết phương trình đường
 thẳng nối 2 điểm cực trị là và lấy A(; x1y 1), B ( x2 ; y 2 ) . 
 — Bước 3. Do AB, cách đều đường thẳng d nên d(; A d)(;). d B d m D2 
 — Bước 4. Kết luận m D1  D 2. 
  Lưu ý: Để 2 điểm AB, đối xứng nhau qua điểm II là trung điểm AB. 
Câu 22. Với giá trị nào của tham số m để đồ thị hàm số y x3 3x 2 m có hai điểm cực trị A , B thỏa 
 mãn OA OB (O là gốc tọa độ)? 
 7