Chuyên đề ôn thi tốt nghiệp 2025 - Chuyên đề 14: Hình học không gian

 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025 
 CHUYÊN ĐỀ 14. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 
 •Fanpage: Nguyễn Bảo Vương -
 Chuyên đề này liên quan kiến thức toán 11. 
 Chuyên đề này được bên mình biên soạn dựa theo định hướng ôn thi 2025 
 A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
 I. QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN
 1. Hai đường thẳng vuông góc
 Hai đường thẳng a và b được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90 , kí hiệu 
 a  b . 
 2. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
 a) Định nghĩa
 Đường thẳng d được gọi là vuông góc với mặt phẳng (P) nếu đường thẳng d vuông góc với
 mọi đường thẳng trong mặt phẳng (P) (Hình), kí hiệu d ( P) hoặc (P)  d .
 b) Dấu hiệu nhận biết
 Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng thuộc một mặt phẳng thì
 nó vuông góc với mặt phẳng ấy.
 c) Tính chất
 - Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng
 cho trước.
 - Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng
 cho trước
 - Cho hai đường thẳng song song. Một mặt phẳng vuông góc với đường thẳng này thì cũng
 vuông góc với đường thẳng kia.
 - Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.
 - Cho hai mặt phẳng song song. Một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng này thì cũng vuông
 góc với mặt phẳng kia.
 - Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.
 d) Định lí ba đường vuông góc
 Cho đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) và đường thẳng d nằm trong mặt
 phẳng (P) . Khi đó, d vuông góc với a khi và chỉ khi d vuông góc với hình chiếu vuông góc
 a của a trên (P) (Hình).
 Facebook Nguyễn Vương Trang 1 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025 
- Cho góc nhị diện. Một góc có đỉnh thuộc cạnh của góc nhị diện, hai cạnh của góc đó lần lượt
thuộc hai mặt nhị diện và cùng vuông góc với cạnh của góc nhị diện, được gọi là góc phẳng nhị
diện của góc nhị diện đã cho.
- Số đo của một góc phẳng nhị diện được gọi là số đo của góc nhị diện đó.
- Nếu số đo góc phẳng nhị diện bằng 90 thì góc nhị diện đó gọi là góc nhị diện vuông.
Nhận xét: Góc nhị diện có số đo từ 0 đến 180 .
III.KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN
1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng là khoảng cách từ điểm M đến hình chiếu vuông 
góc H của M trên , kí hiệu d( M ,) . 
2. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) là khoảng cách từ điểm M đến hình chiếu vuông 
góc H của M trên (P) , kí hiệu d( M,( P )) . 
3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song
Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song và là khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc 
đường thẳng này đến đường thẳng kia, kí hiệu d , .
4. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song
Cho đường thẳng song song với mặt phẳng (P) . Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt 
phẳng (P) là khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc đường thẳng đến mặt phẳng (P) , kí 
hiệu d( ,( P )) . 
5. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (P) và (Q) là khoảng cách từ một điểm bất kì 
thuộc mặt phẳng này đến mặt phẳng kia, kí hiệu d(( P),( Q )) . 
6. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Cho hai đường thẳng a,b chéo nhau. 
- Có và chỉ có một đường thẳng c vừa vuông góc, vừa cắt cả hai đường thẳng a,b , gọi là
đường vuông góc chung của hai đường thẳng đó.
- Đoạn thẳng có hai đầu mút là giao điểm của đường thẳng c với hai đường thẳng a,b gọi là
đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó.
- Độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng a,b gọi là khoảng cách giữa hai đường
thẳng đó, kí hiệu d( a,) b .
Nhận xét
- Gọi (P) là mặt phẳng chứa b và song song với a , hình chiếu của a trên (P) là a , giao
điểm của a và b là K , hình chiếu của K trên a là H (Hình). Khi đó HK là đoạn vuông góc 
chung của a và b . Ngoài ra, d( a, b ) HK d ( a ,( P )) . 
 Facebook Nguyễn Vương 3 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025 
 Dạng 2. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng 
Câu 5. Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và đáy là tam giác ABC
 vuông tại B . Kẻ AM vuông góc với SB tại M và AN vuông góc với SC tại N . Chứng 
 minh rằng: 
 a) BC  (SAB) ;
 b) AM ( SBC) ;
 c) SC ( AMN) .
Câu 6. Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA,OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi H là chân 
 đường vuông góc hạ từ O đến mặt phẳng (ABC) . Chứng minh rằng: 
 a) BC ( OAH) ;
 b) H là trực tâm của tam giác ABC ;
 1 1 1 1
 c) .
 OH2 OA2 OB 2 OC 2
Câu 7. Cho tứ diện ABCD có AB AC và DB DC . Chứng minh rằng AD  BC . 
Câu 8. Cho hình lăng trụ tam giác ABC  ABC có AA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và đáy là 
 tam giác ABC vuông tại B . Chứng minh rằng: 
 a) BBABC  ;
 b) B C  ABB A .
Câu 9. Cho hình chóp S  ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O và SA SC , SB SD . Chứng 
 minh rằng: 
 a) SO ( ABCD) ;
 b) AC  (SBD) và BD ( SAC) .
Câu 10. Cho hình chóp S.ABC có SA ( ABC) , tam giác ABC nhọn. Gọi H, K lần lượt là trực tâm 
 của tam giác ABC và SBC . Chứng minh rằng: 
 a) BC ( SAH) và các đường thẳng AH, BC, SK đồng quy;
 b) SB  (CHK) và HK ( SBC) .
 Dạng 3. Góc của đường thẳng với mặt phẳng 
Câu 11. Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh bằng nhau và bằng a . Tính côsin của góc giữa đường 
 thẳng AB và mặt phẳng (BCD) . 
Câu 12. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a,SA () ABCD , SA a 2 . 
 a) Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) .
 b) Tính tang của góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAB) .
Câu 13. Cho hình chóp S.ABC có SA ( ABC) , đáy là tam giác ABC vuông cân tại B , biết 
 AB a, SA a 6 . 
 a) Tính tang của góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAC) .
 b) Tính sin của góc giữa đường thẳng AC và mặt phẳng (SBC).
Câu 14. Cho hình hộp ABCD A B C D có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và AA a 2 , hình chiếu 
 vuông góc của A trên mặt phẳng A BCD trùng với trung điểm của B D . Tính góc giữa
 đường thẳng AA và mặt phẳng A BCD .
Câu 15. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O và các cạnh đều bằng a . 
 a) Chứng minh rằng SO ( ABCD) .
 b) Tính góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (SBD).
 c) Gọi M là trung điểm của cạnh SC và là góc giữa đường thẳng OM và mặt phẳng
 (SBC). Tính sin .
 Facebook Nguyễn Vương 5 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025 
Câu 27. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy. 
 a 6
 Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) theo a, biết SA .
 2
Câu 28. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 3a , cạnh bên bằng 2a . Gọi G là trọng 
 tâm của tam giác ABC, M là trung điểm của SC . 
 a) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC) .
 b) Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SAG) .
Câu 29. Cho hình lập phương ABCD A B C D cạnh a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và 
 B C . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và B D . 
Câu 30. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 11 . Gọi I là trung điểm của cạnh CD . Tính khoảng 
 cách giữa hai đường thẳng AC và BI . 
Câu 31. Cho hình lập phương ABCD A B C D có cạnh bằng a . Tính theo a khoảng cách: 
 a) Giữa hai đường thẳng AB và C D .
 b) Giữa đường thẳng AC và mặt phẳng A BCD .
 c) Từ điểm A đến đường thẳng B D .
 d) Giữa hai đường thẳng AC và B D .
Câu 32. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC đều cạnh bằng a,SA () ABC và SA 2 a . 
 Tính theo a khoảng cách: 
 a) Từ điểm B đến mặt phẳng (SAC).
 b) Từ điểm A đến mặt phẳng (SBC).
 c) Giữa hai đường thẳng AB và SC .
 
Câu 33. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A , góc ABC bằng 60 , biết tam 
 giác SBC đều cạnh a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) . Tính theo a 
 khoảng cách: 
 a) Từ điểm S đến mặt phẳng (ABC) .
 b) Từ điểm B đến mặt phẳng (SAC).
 c) Giữa hai đường thẳng AB và SC .
Câu 34. Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D có AB a, AD a2, AA a 3 . Tính theo a 
 khoảng cách: 
 a) Từ điểm A đến mặt phẳng BDD B .
 b) Giữa hai đường thẳng BD và CD .
Câu 35. Cho hình lăng trụ đứng ABCABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A và 
 AB AC AA a . Tính theo a khoảng cách: 
 a) Từ điểm A đến đường thẳng B C .
 b) Giữa hai đường thẳng BC và AB .
Câu 36. Cho hình chóp S.ABC có SA ( ABC), AB BC , SA AB 3 a , BC 4 a . Tính khoảng cách: 
 a) Từ điểm C đến mặt phẳng (SAB) ;
 b) Giữa hai đường thẳng SA và BC ;
 c) Từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) ;
 d) Từ điểm B đến mặt phẳng (SAC);
 e*) Giữa hai đường thẳng AB và SC .
Câu 37. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật, AB 2 a, AD 3 a , tam giác SAB vuông 
 cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABCD) . Tính khoảng cách: 
 a) Từ điểm C đến mặt phẳng (SAB) ;
 b) Giữa hai đường thẳng SB và CD;
 c) Giữa hai đường thẳng BC và SA;
 d) Từ điểm S đến mặt phẳng (ABCD) .
 Facebook Nguyễn Vương 7