Chuyên đề ôn thi tốt nghiệp 2025 - Chuyên đề 13: Cấp số cộng, cấp số nhân

 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025 
 CHUYÊN ĐỀ 13. CẤP SỐ CỘNG - CẤP SỐ NHÂN
 •Fanpage: Nguyễn Bảo Vương -
 Chuyên đề này liên quan kiến thức toán 11. 
 Chuyên đề này được bên mình biên soạn dựa theo định hướng ôn thi 2025 
 PHẦN A. LÝ THUYẾT 
 I. CẤP SỐ CỘNG
 1. Định nghĩa
 Dãy số un là cấp số cộng nếu un un 1 d với n 2, d là số không đổi.
 Số d gọi là công sai của cấp số cộng, d un un 1 với n 2 . 
 Nếu d 0 thì cấp số cộng là một dãy số không đổi. 
 2. Số hạng tổng quát
 Cho cấp số cộng un có số hạng đầu u1 và công sai d , ta có: un u1 ( n 1) d , n 2.
 3. Tổng n số hạng đầu
 Cho cấp số cộng un có số hạng đầu u1 và công sai d . Đặt Sn u1 u2  un , ta có: 
 u u n2 u ( n 1) d n
 S 1 n ; S 1 . 
 n 2 n 2
 II. CẤP SỐ NHÂN
 1. Định nghĩa
 Dãy số un là cấp số nhân nếu un un 1. q với n 2, q là số không đổi. 
 * un
 Số q gọi là công bội của cấp số nhân. Nếu un 0 với mọi n thì q , n 2. 
 un 1
 Nếu q 1 thì cấp số nhân là một dãy số không đổi. 
 2. Số hạng tổng quát
 n 1
 Cho cấp số nhân un có số hạng đầu u1 và công bội q , ta có: un u1  q, n 2. 
 3. Tổng n số hạng đầu
 Cho cấp số nhân un có số hạng đầu u1 và công bội q( q 1) .
 n
 u1 1 q 
 Đặt S u u  u , ta có: S . 
 n 1 2 n n 1 q
 PHẦN B. BÀI TẬP TỰ LUẬN 
 DẠNG 1. CẤP SỐ CỘNG 
Câu 1. Trong các dãy số sau, dãy nào là cấp số cộng. Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng đó: 
 a). Dãy số un với un 19n 5 
 b). Dãy số un với un 3n 1 
 2
 c). Dãy số un với un n n 1 
 n
 d). Dãy số un với un 1 10n
Câu 2. Định x để 3 số 10 3x ,2 x2 3,7 4 x theo thứ tự đó lập thành 1 cấp số cộng. 
Câu 3. Một tam giác vuông có chu vi bằng 3a, và 3 cạnh lập thành một CSC. Tính độ dài ba cạnh của 
 tam giác theo#a. 
 Facebook Nguyễn Vương Trang 1 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025 
 u1 u2 u 3 u 4 15
 4)u1 u6 165; u3 u 4 60. 5). 2 2 2 2
 u1 u 2 u 3 u 4 85.
 u1 u2 u 3 13 8u2 5 5 u5 0 u1 u2 u 3 1728
 6) 7) 8) 
 u u u 351 3 3 u u u 63
 4 5 6 u1 u 3 189 1 2 3
 u1 u3 3 u1 u2 u 3 7
 9). 2 2 10). 2 2 2
 u1 u 3 5 u1 u 2 u 3 21
Câu 18. Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân, biết: 
 u4 u2 72 u1 u3 u 5 65 u3 u5 90
 a) b) c) 
 u5 u 3 144 u1 u 7 325 u2 u 6 240
 u1 u2 u 3 21
 u1 u2 u 3 14 u1 u2 u 3 u 4 30
 d) e) 1 1 1 7 f) 
 u. u. u 64 2 2 2 2
 1 2 3 u1 u 2 u 3 u 4 340
 u1 u 2 u 3 12
Câu 19. Cho 3 số dương có tổng là 65 lập thành một cấp số nhân tăng, nếu bớt một đơn vị ở số hạng thứ 
 nhất và 19 đơn vị ở số hạng thứ ba ta được một cấp số cộng. Tìm 3 số đó. 
Câu 20. Tìm 3 số hạng liên tiếp của một cấp số nhân biết tổng của chúng là 19 và tích là 216. 
Câu 21. Tìm công bội của một cấp số nhân có số hạng đầu là 7, số hạng cuối là 448 và tổng số các số 
 hạng là 889. 
Câu 22. Tìm bốn số hạng liên tiếp của một cấp số nhân, trong đó số hạng thứ hai nhỏ hơn số hạng thứ 
 nhất 35, còn số hạng thứ ba lớn hơn số hạng thứ tư 560. 
Câu 23. Tìm các số dương a và b sao cho a, a + 2b, 2a + b lập thành một cấp số cộng và (b + 1)2, ab + 5, 
 (a + 1)2 lập thành một cấp số nhân. 
Câu 24. Tính các tổng sau: 
 2 3 n
 a). Sn 2 2 2  2
 1 1 1 1
 b). S  
 n 2 22 23 2n
 2 2 2
 1 1 n 1 
 c). Sn 3 9  3 n 
 3 9 3 
 d). Sn 6 66 666  666...6 
 n so 6
Câu 25. Tính tổng B 7 77 777  777...7 
 n
 DẠNG 3. BÀI TOÁN THỰC TẾ 
Câu 26. Ruộng bậc thang là một hình thức canh tác có nhiều ở khu vực Tây Bắc và Đông Bắc Việt 
 Nam. Hình ảnh ruộng bậc thang thể hiện nét đẹp văn hoá, là công trình nghệ thuật độc đáo của 
 đồng bào vùng cao phía Bắc. Ruộng bậc thang ở một số nơi đã trở thành những địa chỉ tham 
 quan du lịch đầy hấp dẫn của du khách trong nước và quốc tế. 
 Một ruộng bậc thang có thửa thấp nhất nằm ở độ cao 1250 m so với mực nước biển, độ chênh 
 lệch giữa thửa trên và thửa dưới trung bình là 1,2 m . 
 Hỏi thửa ruộng ở bậc thứ 10 có độ cao là bao nhiêu so với mục nước biển? 
Câu 27. Chiều cao (đơn vị: centimét) của một đứa trẻ n tuổi phát triển bình thường được cho bởi công 
 thức: xn 75 5 n 1 . 
 Facebook Nguyễn Vương 3 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025 
 b) Tính chiều dài thanh gỗ mà người đó cần mua, giả sử chiều dài các mối nối (phần gỗ bị cắt
 thành mùn cưa) là không đáng kể.
Câu 32. Khi một vận động viên nhảy dù nhảy ra khỏi máy bay, giả sử quãng đường người ấy rơi tự do 
 (tính theo feet) trong mỗi giây liên tiếp theo thứ tự trước khi bung dù lần lượt là: 
 16;48;80;112;144; (các quãng đường này tạo thành cấp số cộng). 
 a) Tính công sai của cấp số cộng trên.
 b) Tính tổng chiều dài quãng đường rơi tự do của người đó trong 10 giây đầu tiên.
Câu 33. Một cầu thang bằng gạch có tổng cộng 30 bậc. Bậc dưới cùng cần 100 viên gạch. Mỗi bậc tiếp 
 theo cần ít hơn hai viên gạch so với bậc ngay trước nó. 
 a) Cần bao nhiêu viên gạch cho bậc trên cùng?
 b) Cần bao nhiêu viên gạch để xây cầu thang?
Câu 34. Bác Hưng quyết định tham gia một chương trình bơi lội để duy trì sức khoẻ. Bác bắt đầu bằng 
 cách bơi 10 phút vào ngày đầu tiên, sau đó thêm 2 phút mỗi ngày sau đó. 
 a) Tìm công thức truy hồi cho số phút Tn mà bác ấy bơi vào ngày thứ n của chương trình. 
 b) Tìm sáu số hạng đầu của dãy số Tn . 
 c) Tìm công thức tổng quát của dãy số Tn . 
 d) Bác Hưng đạt được mục tiêu bơi it nhất 60 phút mỗi ngày vào ngày thứ bao nhiêu của
 chương trình?
 e)Tính tổng thời gian bác Hưng bơi sau 30 ngày đầu của chương trình.
Câu 35. Khi kí kết hợp đồng lao động với người lao động, một doanh nghiệp đề xuất hai phương án trả 
 lương như sau: 
 Phương án 1: Năm thứ nhất, tiền lương là 120 triệu đồng. Kể từ năm thứ hai trở đi, mỗi năm 
 tiền lương được tăng 18 triệu đồng. 
 Phương án 2: Quý thứ nhất, tiền lương là 24 triệu đồng. Kể từ quý thứ hai trở đi, mỗi quý tiền 
 lương được tăng 1,8 triệu đồng. 
 Nếu là người được tuyển dụng vào doanh nghiệp trên, em nên chọn phương án nào khi: 
 a) Kí hợp đồng lao động 3 năm?
 b) Kí hợp đồng lao động 10 năm?
Câu 36. Mặt sàn tầng một (tầng trệt) của một ngôi nhà cao hơn mặt sân 0,5 m . Cầu thang đi từ tầng một 
 lên tầng hai gồm 25 bậc, mỗi bậc cao 16 cm . 
 a) Viết công thức để tìm độ cao của bậc cầu thang thứ n so với mặt sân.
 b) Tính độ cao của sàn tầng hai so với mặt sân.
Câu 37. Dân số trung bình của Việt Nam năm 2020 là 97,6 triệu người, tỉ lệ tăng dân số là 1,14% /năm. 
 (Nguồn: Niên giám thống kê của Việt Nam năm 2020, NXB Thống kê, 2021) 
 Giả sử tỉ lệ tăng dân số không đổi qua các năm. 
 a) Sau 1 năm, dân số của Việt Nam sẽ là bao nhiêu triệu người (làm tròn kết quả đến hàng phần
 mười)?
 b) Viết công thức tính dân số Việt Nam sau n năm kể từ năm 2020.
Câu 38. Một tỉnh có 2 triệu dân vào năm 2020 với tỉ lệ tăng dân số là 1%/năm. Gọi un là số dân của
 tỉnh đó sau n năm. Giả sử tỉ lệ tăng dân số là không đổi. 
 a) Viết công thức tính số dân của tỉnh đó sau n năm kể từ năm 2020.
 b) Tính số dân của tỉnh đó sau 10 năm kể từ năm 2020.
Câu 39. Một gia đình mua một chiếc ô tô giá 800 triệu đồng. Trung bình sau mỗi năm sử dụng, giá trị 
 còn lại của ô tô giảm đi 4% (so với năm trước đó). 
 a) Viết công thức tính giá trị của ô tô sau 1 năm, 2 năm sử dụng.
 b) Viết công thức tính giá trị của ô tô sau n năm sử dụng.
 c) Sau 10 năm, giá trị của ô tô ước tính còn bao nhiêu triệu đồng?
Câu 40. Chu kì bán rã của nguyên tố phóng xạ poloni 210 là 138 ngày, nghĩa là sau 138 ngày, khối 
 lượng của nguyên tố đó chi còn một nửa (theo: Poloni-210). Tính 
 khối lượng còn lại của 20 gam poloni 210 sau: 
 a) 690 ngày;
 b) 7314 ngày (khoảng 20 năm).
Câu 41. Giả sử một thành phố có dân số năm 2022 là khoảng 2,1 triệu người và tốc độ gia tăng dân số 
 trung bình mỗi năm là 0,75% . 
 Facebook Nguyễn Vương 5 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025 
 2
 D. un 5 n .
Câu 2. Cho cấp số cộng un biết u5 u7 19 . Giá trị của u2 u10 là:
 A. 38.
 B. 29.
 C. 12.
 D. 19.
Câu 3. Cho cấp số cộng un với u1 9 và công sai d 2 . Giá trị của u2 bằng
 9
 A. 11. B. . C. 18. D. 7 .
 2
Câu 4. Cho cấp số cộng un với u1 8 và công sai d 3. Giá trị của u2 bằng 
 8
 A. . B. 24 . C. 5. D. 11.
 3
Câu 5. Cho cấp số cộng un với u1 7 công sai d 2 . Giá trị u 2 bằng
 7
 A. 14. B. 9 . C. . D. 5
 2
 1
Câu 6. Cho một cấp số cộng u có u , u 26. Tìm công sai d
 n 1 3 8
 11 10 3 3
 A. d . B. d . C. d . D. d . 
 3 3 10 11
Câu 7. Cho dãy số un là một cấp số cộng có u1 3 và công sai d 4 . Biết tổng n số hạng đầu của
 dãy số un là Sn 253 . Tìm n . 
 A. 9. B. 11. C. 12 . D. 10.
Câu 8. Cho cấp số cộng un có số hạng tổng quát là un 3n 2 . Tìm công sai d của cấp số cộng.
 A. d 3. B. d 2 . C. d 2 . D. d 3.
Câu 9. Cho cấp số cộng un có u1 3, u6 27. Tính công sai d .
 A. d 7 . B. d 5. C. d 8. D. d 6 .
Câu 10. Cho dãy số vô hạn un là cấp số cộng có công sai d , số hạng đầu u1 . Hãy chọn khẳng định
 sai? 
 u u
 A. u 1 9 . B. u u d , n 2 .
 5 2 n n 1
 n
 C. S 2u 11 d . D. u u ( n 1). d , n * .
 12 2 1 n 1
Câu 11. Cho một cấp số cộng un có u1 5 và tổng của 50 số hạng đầu bằng 5150. Tìm công thức
 của số hạng tổng quát un .
 A. un 1 4n . B. un 5n . C. un 3 2n . D. un 2 3n .
 u4 10
Câu 12. Cho cấp số cộng un thỏa mãn có công sai là 
 u4 u6 26
 A. d 3. B. d 3 . C. d 5 . D. d 6.
Câu 13. Cho cấp số cộng un có u5 15, u20 60 . Tổng của 10 số hạng đầu tiên của cấp số cộng
 này là: 
 A. S10 125. B. S10 250. C. S10 200 . D. S10 200. 
Câu 14. Cho cấp số cộng un có u4 12 , u14 18 . Tính tổng 16 số hạng đầu tiên của cấp số cộng
 này. 
 A. S16 24. B. S16 26 . C. S16 25. D. S16 24 . 
 Facebook Nguyễn Vương 7