Chuyên đề ôn thi tốt nghiệp 2025 - Chuyên đề 11: Phương sai, độ lệch chuẩn

 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025 
 CHUYÊN ĐỀ 11. PHƯƠNG SAI - ĐỘ LỆCH CHUẨN
 •Fanpage: Nguyễn Bảo Vương -
 PHẦN A. LÝ THUYẾT VÀ VÍ DỤ 
 1. PHƯƠNG SAI VÀ ĐỘ LỆCH CHUẨN
 Cho mẫu số liệu ghép nhóm:
 Nhóm a ;a   a ;a
  1 2 a; ;ai 1  k k 1 
   
 Tần số m1 mi mk
 - Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu là s2 , là một số được tính theo công thức sau:
 2 2
 m x x  m x x a a
 s2 1 1 k k trong đó, n m  m; x i i 1 với i 1,2,  , k là
 n 1 k i 2
 m1x1  mk x k
 giá trị đại diện cho nhóm ai ;ai 1 và x là số trung bình của mẫu số liệu
 n
 ghép nhóm. 
 - Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu là s , là căn bậc hai số học của phương sai
 của mẫu số liệu ghép nhóm, tức là s s2 . 
 2 1 2 2 2
 Nhận xét. Ta có thể tính phương sai theo công thức: s m1  x 1  mk  xk ( x) . 
 n
 Độ lệch chuẩn có cùng đơn vị với đơn vị của mẫu số liệu. 
 Ý nghĩa. Phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là các xấp xỉ cho phương sai, 
 độ lệch chuẩn của mẫu số liệu gốc. Chúng được dùng để đo mức độ phân tán của mẫu số liệu 
 ghép nhóm xung quanh số trung bình của mẫu số liệu đó. Phương sai, độ lệch chuẩn càng lớn 
 thì mẫu số liệu càng phân tán. 
 Chú ý. Người ta còn sử dụng các đại lượng sau để đo mức độ phân tán của mâu số liệu ghép 
 nhóm: 
 m x x 2  m x x 2
 sˆ2 1 1 k k ,.sˆ s ˆ2 
 n 1
Ví dụ 1: Người ta theo dõi sự thay đổi cân nặng, được tính bằng hiệu cân nặng trước và sau ba tháng áp 
 dụng chế độ ăn kiêng của một số người cho kết quả như sau: 
 Thay đổi cân [ 1;0) [0;1) [1;2) [2;3) [3;4)
nặng (kg) 
 Số người nam 2 3 5 3 2 
 Số người nữ 2 7 12 7 2 
 Tính số trung bình, phương sai, độ lệch chuẩn và nhận xét về sự thay đổi cân nặng của người 
 nam, người nữ sau ba tháng áp dụng chế độ ăn kiêng. 
 Giải 
 Chọn giá trị đại diện cho các nhóm số liệu, ta có: 
 Giá trị đại 0,5 0,5 1,5 2,5 3,5 
diện 
 Số người nam 2 3 5 3 2 
 Số người nữ 2 7 12 7 2 
 Tổng số người nam là: n1 2 3 5 3 2 15. 
 Tổng số người nư là: n2 2 7 12 7 2 30. 
 Thay đổi cân nặng trung bình của người nam là: 
 1
 x [2  ( 0,5)    3 0,5 5 1,5 3 2,5  2 3,5] 1,5( kg ).
 1 15
 Thay đổi cân nặng trung bình của người nữ là: 
 1
 x [2  ( 0,5)     7 0,5 12 1,5 7 2,5 2 3,5] 1,5( kg ).
 2 30
 Facebook Nguyễn Vương Trang 1 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025 
 Lợi nhuận [10;20) [20;30) [30;40) [40;50) [50;60) 
 Số tháng 2 4 8 4 2 
 Bảng 3.2. Lợi nhuận theo tháng của nhà đầu tư nhỏ 
 Lợi nhuận [510;520) [520;530) [530;540) [540;550) [550;560) 
 Số tháng 4 3 6 3 4 
 Bảng 3.3. Lợi nhuận theo tháng của nhà đầu tư lớn 
 Tính độ lệch chuẩn của hai mẫu số liệu ghép nhóm trên. Có nên dựa vào độ lệch chuẩn để so 
 sánh độ rủi ro của hai nhà đầu tư này không? 
 Giải 
 Chọn điểm đại diện cho các nhóm số liệu ta tính được các số đặc trưng như sau: 
 Lợi nhuận trung bình một tháng của các nhà đầu tư tương ứng là: 
 1 1
 x (2 15  2  55) 35 (triệu đồng); x (4515  4555)  535 (triệu đồng).
 A 20 B 20
 Độ lệch chuẩn của lợi nhuận hàng tháng của hai nhà đầu tư tương ứng là: 
 1 2 2 2
 sA 215  2  55 (35) 10,95
 20
 1 2 2 2
 sB 4 515  4  555 (535) 13,78.
 20
 Độ lệch chuẩn cho lợi nhuận hàng tháng của nhà đầu tư lớn cao hơn của nhà đầu tư nhỏ. Lợi 
 nhuận trung bình của hai nhà đầu tư khác nhau rất nhiều, do đó ta không nên dùng độ lệch 
 chuẩn để so sánh mức độ rủi ro của hai nhà đầu tư này. 
 Nhận xét. Ta không nên dùng phương sai hay độ lệch chuẩn để so sánh độ rủi ro của hai 
 phương án đầu tư khi lợi nhuận trung bình của hai phương án đầu tư này khác nhau rất nhiều. 
 PHẦN B. BÀI TẬP TỰ LUẬN 
Câu 1. Thời gian hoàn thành một bài viết chính tả của một số học sinh lớp 4 hai trường X và Y được 
ghi lại ở bảng sau: 
 Thời gian [6;7) [7;8) [8;9) [9;10) [10;11) 
(phút) 
 Học sinh 8 10 13 10 9 
trường X
 Học sinh 4 12 17 14 3 
trường Y
 a) Nếu so sánh theo số trung bình thì học sinh trường nào viết nhanh hơn?
 b) Nếu so sánh theo khoảng tứ phân vị thì học sinh trường nào có tốc độ viết đồng đều hơn?
 c) Nếu so sánh theo độ lệch chuẩn thì học sinh trường nào có tốc độ viết đồng đều hơn?
Câu 2. Tuổi thọ của một số linh kiện điện tử (đơn vị: năm) được sản xuất bởi hai phân xưởng được cho 
như sau: 
 Tuổi thọ [1,5;2) [2;2,5) [2,5;3) [3;3,5) [3,5;4)
(năm) 
 Số linh kiện 4 9 13 8 6 
của phân 
xưởng 1 
 Số linh kiện 2 8 20 7 3 
của phân 
xưởng 2 
 Tính phương sai và độ lệch chuẩn của mỗi mẫu số liệu ghép nhóm và nhận xét về độ phân tán 
 của tuổi thọ các linh kiện điện tử được sản xuất bởi mỗi phân xưởng. 
Câu 3. Một nhóm 20 học sinh dùng một thiết bị đo đường kính của một nhân tế bào cho kết quả như 
sau: 
 Kết quả đo (m) [4,5;5) [5;5,5) [5,5;6) [6;6,5) 
 Số học sinh 3 8 7 2 
 Facebook Nguyễn Vương 3 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025 
Câu 10. Điều tra thời gian phải làm thêm trung bình hằng tuần của các bác sĩ ở một bệnh viện, người ta 
thu được số liệu sau: 
 a) Chuyển mẫu số liệu đã cho về mẫu số liệu ghép nhóm với độ dài các nhóm ghép bằng 2 và
 nhóm đầu tiên là [5;7) .
 b) Tính số trung bình, phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm lập ở câu a (làm
 tròn kết quả đến hàng phần trăm).
 c) So sánh và nêu ý nghĩa các kết quả tìm được ở câu b với các kết quả tương ứng của mẫu số
 liệu gốc.
Câu 11. Một giống cây xoan đào được trồng tại hai địa điểm A và B . Người ta thống kê đường kính 
thân của một số cây xoan đào 5 năm tuổi ở bảng sau: 
 Đường kính [30;32) [32;34) [34;36) [36;38) [38;40) 
(cm) 
 Số cây trồng ở 25 38 20 10 7 
địa điểm A 
 Số cây trồng ở 22 27 19 18 14 
địa điểm B 
 a) Hãy so sánh đường kính trung bình của thân cây xoan đào trồng tại địa điểm A và địa điểm
 B .
 b) Nếu so sánh theo độ lệch chuẩn thì cây trồng tại địa điểm nào có đường kính đồng đều hơn?
PHẦN C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 
 Dành cho học sinh trung bình 
Câu 1. Số đặc trưng nào không sử dụng thông tin của nhóm số liệu đầu tiên và nhóm số liệu cuối 
 cùng? 
 A. Khoảng biến thiên.
 B. Khoảng tứ phân vị.
 C. Phương sai.
 D. Độ lệch chuẩn.
Câu 2. Nếu thay tất cả các tần số trong mẫu số liệu ghép nhóm trên bằng 4 thì số đặc trưng nào sau đây 
 không thay đổi? 
 A. Khoảng biến thiên.
 B. Khoảng tứ phân vị.
 C. Phương sai.
 D. Độ lệch chuẩn.
Câu 3. Một vườn thú ghi lại tuổi thọ (đơn vị: năm) của 20 con hổ và thu được kết quả như sau: 
 Tuổi thọ [14;15) [15;16) [16;17) [17;18) [18;19) 
 Số con hổ 1 3 8 6 2 
 Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm này là 
 A. 3. B. 4. C. 5. D. 6.
Câu 4. Một vườn thú ghi lại tuổi thọ (đơn vị: năm) của 20 con hổ và thu được kết quả như sau: 
 Tuổi thọ [14;15) [15;16) [16;17) [17;18) [18;19) 
 Số con hổ 1 3 8 6 2 
 Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là 
 A. [14;15) . B. [15;16) . C. [16;17) . D. [17;18) .
Câu 5. .Một vườn thú ghi lại tuổi thọ (đơn vị: năm) của 20 con hổ và thu được kết quả như sau: 
 Facebook Nguyễn Vương 5 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025 
 Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị) là: 
 A. 6,8. B. 7,3. C. 3,3. D. 46,1.
Câu 12. Mỗi ngày bác Hương đều đi bộ để rèn luyện sức khoẻ. Quãng đường đi bộ mỗi ngày (đơn vị: 
 km ) của bác Hương trong 20 ngày được thống kê lại ở bảng sau: 
 Quãng đường [2,7;3,0) [3,0;3,3) [3,3;3,6) [3,6;3,9) [3,9;4,2) 
(km) 
 Số ngày 3 6 5 4 2 
 Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là 
 A. 0,9. B. 0,975. C. 0,5. D. 0,575.
Câu 13. Mỗi ngày bác Hương đều đi bộ để rèn luyện sức khoẻ. Quãng đường đi bộ mỗi ngày (đơn vị: 
 km ) của bác Hương trong 20 ngày được thống kê lại ở bảng sau: 
 Quãng đường [2,7;3,0) [3,0;3,3) [3,3;3,6) [3,6;3,9) [3,9;4,2) 
(km) 
 Số ngày 3 6 5 4 2 
 Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là 
 A. 3,39. B. 11,62. C. 0,1314. D. 0,36.
Câu 14. Mỗi ngày bác Hương đều đi bộ để rèn luyện sức khoẻ. Quãng đường đi bộ mỗi ngày (đơn vị: 
 km ) của bác Hương trong 20 ngày được thống kê lại ở bảng sau: 
 Quãng đường [2,7;3,0) [3,0;3,3) [3,3;3,6) [3,6;3,9) [3,9;4,2) 
(km) 
 Số ngày 3 6 5 4 2 
 Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm có giá trị gần nhất với giá trị nào dưới đây? 
 A. 3,41. B. 11,62. C. 0,017. D. 0,36.
Câu 15. Bạn Chi rất thích nhảy hiện đại. Thời gian tập nhảy mỗi ngày trong thời gian gần đây của bạn 
 Chi được thống kê lại ở bảng sau: 
 Thời gian [20;25) [25;30) [30;35) [35;40) [40;45) 
(phút) 
 Só ngày 6 6 4 1 1 
 Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là 
 A. 23,75. B. 27,5. C. 31,88. D. 8,125.
Câu 16. Bạn Chi rất thích nhảy hiện đại. Thời gian tập nhảy mỗi ngày trong thời gian gần đây của bạn 
 Chi được thống kê lại ở bảng sau: 
 Thời gian [20;25) [25;30) [30;35) [35;40) [40;45) 
(phút) 
 Só ngày 6 6 4 1 1 
 Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm có giá trị gần nhất với giá trị nào dưới đây? 
 A. 31,77. B. 32. C. 31. D. 31,44.
Câu 17. Dũng là học sinh rất giỏi chơi rubik, bạn có thể giải nhiều loại khối rubik khác nhau. Trong một 
 lần tập luyện giải khối rubik 3 3 , bạn Dũng đã tự thống kê lại thời gian giải rubik trong 25 lần 
 giải liên tiếp ở bảng sau: 
 Thời gian giải [8;10) [10;12) [12;14) [14;16) [16;18) 
 Facebook Nguyễn Vương 7