Chuyên đề ôn thi tốt nghiệp 2025 - Chuyên đề 10: Khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị

 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025 
 CHUYÊN ĐỀ 10. KHOẢNG BIẾN THIÊN, KHOẢNG TỨ PHÂN VỊ
 •Fanpage: Nguyễn Bảo Vương -
 PHẦN A. LÝ THUYẾT VÀ VÍ DỤ 
 NHẮC LẠI LÝ THUYẾT TOÁN 11 
 1. Ở lớp 10, chúng ta đã biết cách tính các số đặc trưng của mẫu số liệu không ghép nhóm (còn
 gọi là mẫu số liệu gốc) x1, x2 ,, xn . Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp ta không có mẫu số liệu
 gốc mà chỉ có mẫu số liệu ghép nhóm dạng
 Nhóm   
 a1;a2 ai ;ai 1 ak ;ak 1 
 Tần só m1  mi  mk
 Khi đó, các số đặc trưng của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ cho các số đặc trưng của mẫu số 
 liệu gốc. Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu ghép nhóm gồm số trung bình, 
 trung vị, tứ phân vị và mốt. 
 m x  m x
 2. Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là x 1 1 k k
 n
 a a
 trong đó, n m  m là tổng số quan sát (còn gọi là cỡ mẫu) và x i i 1 gọi là giá trị
 1 k i 2
 đại diện của nhóm ai ;ai 1 . Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ cho số trung bình 
 của mẫu số liệu gốc, nó cho biết vị trí trung tâm của mẫu số liệu và có thể dùng để đại diện cho 
 mẫu số liệu. 
 3. Để tính trung vị M e của mẫu số liệu ghép nhóm ta làm như sau: 
 Bước 1. Xác định nhóm chứa trung vị. Giả sử đó là nhóm thứ j : aj ; a j 1 . 
 n
 m1  m j 1 
 2
 Bước 2. Trung vị là Me a j  aj 1 a j 
 m j
 trong đó n là cỡ mẫu. Với j 1 ta quy ước m1  m j 1 0 . Trung vị chính là tứ phân vị thứ 
 hai Q2 . Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ cho trung vị của mẫu số liệu gốc, nó chia 
 mẫu số liệu thành hai phần, mỗi phần chứa 50% giá trị. 
 4. Để tính tứ phân vị thứ nhất Q1 của mẫu số liệu ghép nhóm trước hết ta xác định nhóm chứa 
 n
 m1  mp 1 
 4
 Q1 , giả sử đó là nhóm thứ p : ap ; ap 1 . Khi đó, Q1 ap  ap 1 a p 
 mp
 trong đó n là cỡ mẫu, với p 1 ta quy ước m1  mp 1 0 .
 Để tính tứ phân vị thứ ba Q3 của mẫu số liệu ghép nhóm trước hết ta xác định nhóm chứa Q3 . 
 3n
 m1  mp 1 
 4
 Giả sư đó là nhóm thứ p : ap ; ap 1 . Khi đó, Q3 ap  ap 1 a p 
 mp
 trong đó n là cỡ mẫu, với p 1 ta quy ước m1  mp 1 0 .
 nr
 Để xác định nhóm chứa tứ phân vị thứ r( r 1,2,3) ta có thể dựa vào tính chất có khoảng 
 4
 số giá trị nhỏ hơn tứ phân vị đó. 
 Các tứ phân vị QQQ1, 2, 3 của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ cho các tứ phân vị của mẫu số liệu 
 gốc, chúng chia mẫu số liệu thành 4 phần, mỗi phần chứa 25% giá trị. 
 5. Để tìm mốt của mẫu số liệu ghép nhóm, ta thực hiện theo các bước sau:
 Bước 1. Xác định nhóm có tần số lớn nhất (gọi là nhóm mốt), giả sử là nhóm j : aj ; a j 1 . 
 Facebook Nguyễn Vương Trang 1 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025 
 Nhận xét. Do khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm chỉ phụ thuộc vào nửa giữa của 
 mẫu số liệu, nên không bị ảnh hưởng bởi các giá trị bất thường và có thể dùng đại lượng này để 
 loại giá trị bất thường. 
Ví dụ 2: Thời gian chờ khám bệnh của các bệnh nhân tại phòng khám X được cho trong bảng sau: 
 Thời gian (phút) [0;5) [5;10) [10;15) [15;20) 
 Số bệnh nhân 3 12 15 8 
 a)Tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm này.
 b) Từ một mẫu số liệu về thời gian chờ khám bệnh của các bệnh nhân tại phòng khám Y người
 ta tính được khoảng tứ phân vị bằng 9,23. Hỏi thời gian chờ của bệnh nhân tại phòng khám nào
 phân tán hơn?
 Giải 
 a) Cỡ mẫu là n 3 12 15 8 38 . Gọi x1,, x38 là thời gian chờ khám bệnh của 38 bệnh 
 nhân này và giả sử rằng dãy số liệu gốc này đã được sắp xếp theo thứ tự tăng dần. Tứ phân vị 
 thứ nhất của mẫu số liệu gốc là x10 nên nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là nhóm [5;10) và ta có: 
 38 
 3
 4 
 Q1 5 5 7,71. 
 12 
 Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là x29 nên nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là nhóm [10;15)
 và ta có: 
 338 
 15
 4 
 Q3 10 5 14,5. 
 15 
 Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: Q Q3 Q1 14,5 7,71 6,79 . 
 b) Do Q 6,79 9, 23 nên thời gian chờ của bệnh nhân tại phòng khám Y phân tán hơn thời
 gian chờ của bệnh nhân tại phòng khám X . 
PHẦN B. BÀI TẬP TỰ LUẬN 
 DẠNG 1. XÁC ĐỊNH KHOẢNG BIẾN THIÊN 
Câu 1. Thời gian hoàn thành bài kiểm tra môn Toán của các bạn trong lớp 12C được cho trong bảng 
 sau: 
 Thời gian (phút) [25;30) [30;35) [35;40) [40;45) 
 Số học sinh 8 16 4 2 
 a)Tính khoảng biến thiên R cho mẫu số liệu ghép nhóm trên.
 b) Nếu biết học sinh hoàn thành bài kiểm tra sớm nhất mất 27 phút và muộn nhất mất 43 phút
 thì khoảng biến thiên của mẫu số liệu gốc là bao nhiêu?
Câu 2. Bảng dưới biểu thị kết quả điều tra thời gian sử dụng Internet hằng ngày của một số người. 
 Thời gian [30;60) [60;90) [90;120) [120;150) [150;180) 
(phút) 
 Số người 2 4 10 5 3 
 Tìm khoảng biến thiên của mẫu số liệu đã cho. Kết quả cho biết điều gì? 
Câu 3. Bảng dưới thống kê thành tích nhảy xa của một số học sinh lớp 12. Tìm khoảng biến thiên 
 thành tích nhảy xa của số học sinh này. 
 Thành tích [150;180) [180;210) [210;240) [240;270) [270;300) 
(cm) 
 Số học sinh 3 5 28 14 8 
Câu 4. Để chuẩn bị mở một trung tâm thể dục thể thao, anh Dũng đã tiến hành điều tra tuổi thọ của 
 máy chạy bộ do hai hãng X ,Y sản xuất. Bảng dưới biểu thị hai mẫu số liệu mà anh thu thập 
 được qua Internet. 
 Bảng. Tuổi thọ của máy chạy bộ (đơn vị: năm) 
 Tuổi thọ [2;4) [4;6) [6;8) [8;10) [10;12) 
 Facebook Nguyễn Vương 3 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025 
 b) Tính khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu gốc và mẫu số liệu ghép nhóm
 thu được ở câu a. Giá trị nào là giá trị chính xác? Giá trị nào là giá trị xấp xỉ?
Câu 10. Thu nhập theo tháng (đơn vị: triệu đồng) của người lao động ở hai nhà máy như sau: 
 Thu nhập [5;8) [8;11) [11;14) [14;17) [17;20) 
 Số người của 20 35 45 35 20 
nhà máy A 
 Số người của 17 23 30 23 17 
nhà máy B 
 Tính mức thu nhập trung bình của người lao động ở hai nhà máy trên. Dựa vào khoảng tứ phân 
 vị, hãy xác định xem mức thu nhập của người lao động ở nhà máy nào biến động nhiều hơn. 
Câu 11. Bảng sau đây cho biết chiều cao của các học sinh lớp 12 A và 12 B . 
 a) Tìm khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị cho các mẫu số liệu ghép nhóm về chiều cao của
 học sinh lớp 12A, 12B.
 b) Để so sánh độ phân tán về chiều cao của học sinh hai lớp này ta nên dùng khoảng biến thiên
 hay khoảng tứ phân vị? Vì sao?
Câu 12. Điểm kiểm tra cuối khoá môn Tiếng Anh của hai lớp ở một trung tâm ngoại ngữ được thống kê 
 trong các Bảng a và b. 
 Bảng a. Điểm của lớp A 
 Điểm Số học viên (tần số) 
 [50;60) 8 
 [60;70) 20 
 [70;80) 50 
 [80;90) 17 
 [90;100) 5 
 Bảng b. Điểm của lớp B 
 Điểm Số học viên (tần số) 
 [50;60) 15 
 [60;70) 20 
 [70;80) 30 
 [80;90) 20 
 [90;100) 15 
 a) Tìm khoảng biến thiên của mỗi mẫu số liệu. Có thể dùng khoảng biến thiên để biết điểm của
 lớp nào đồng đều hơn không?
 b) Tìm các tứ phân vị và khoảng tứ phân vị của mỗi mẫu số liệu.
 c) Mẫu số liệu nào có độ phân tán lớn hơn? Minh hoạ câu trả lời bằng cách biểu diễn các tứ
 phân vị và khoảng tứ phân vị của mỗi mẫu số liệu trên trục số.
Câu 13. Hình dưới là biểu đồ biểu diễn lượng mưa trung bình của các tháng trong năm ở thành phố#A. 
 Facebook Nguyễn Vương 5