Chuyên đề ôn thi tốt nghiệp 2025 - Chuyên đề 1: Tính đơn điệu của hàm số

 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025 
 CHUYÊN ĐỀ 1. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
PHẦN A. LÝ THUYẾT VÀ VÍ DỤ SÁCH GIÁO KHOA 
a) Khái niệm tính đơn điệu của hàm số
Giả sử K là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng và y f() x là hàm số xác định trên K . 
- Hàm số y f() x được gọi là đồng biến trên K nếu x1,,x 2 K x1 x 2 f x1 f x2 .
- Hàm số y f() x được gọi là nghịch biến trên K nếu x1,,x 2 K x1 x 2 f x1 f x2 .
Chú ý 
- Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị của hàm số đị lên từ trái sang phải (H.a).
- Nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị của hàm số đi xuống từ trái sang phải (H.b).
- Hàm số đồng biến hay nghịch biến trên K còn được gọi chung là đơn điệu trên K . Việc tìm các khoảng
đồng biến, nghịch biến của hàm số còn được gọi là tìm các khoảng đơn điệu (hay xét tính đơn điệu) của
hàm số.
- Khi xét tính đơn điệu của hàm số mà không chỉ rõ tập K thì ta hiểu là xét trên tập xác định của hàm số
đó.
Ví dụ 1. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y f() x có đồ thị cho ở Hình.
Giải 
Hàm số đồng biến trên các khoảng ( 2;1) và (5;8) , nghịch biến trên khoảng (1;5). 
ĐỊNH LÍ 
Cho hàm số y f() x có đạo hàm trên khoảng K . 
a) Nếu f () x 0 với mọi x K thì hàm số f ()x đồng biến trên khoảng K .
b) Nếu f () x 0 với mọi x K thì hàm số f ()x nghịch biến trên khoảng K .
Chú ý 
- Định lí trên vẫn đúng trong trường hợp f ()x bằng 0 tại một số hữu hạn điểm trong khoảng K .
- Người ta chứng minh được rằng, nếu f () x 0 với mọi x K thì hàm số f ()x không đổi trên khoảng
K .
Ví dụ 2. Tìm các khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của hàm số y x2 4 x 2 .
Giải
Tập xác định của hàm số là .
Ta có: y 2 x 4; y 0 với x (2; ); y 0 với x (; 2) .
 Trang 1 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025 
 PHẦN B. BÀI TẬP TỰ LUẬN 
Dạng 1. Xét tính đơn điệu của hàm số cho trước 
 Từ kết quả trên, để xét tính đơn điệu của hàm số y f ()x , ta thực hiện các bước sau: 
 Bước 1. Tìm tập xác định D của hàm số. 
 Bước 2. Tính đạo hàm f() x của hàm số. Tìm các điểm x1;;; x 2  xn thuộc D mà tại đó đạo 
 hàm f () x bằng 0 hoặc không tồn tại. 
 Bước 3. Sắp xếp các điểm x1;;; x 2  xn theo thứ tự tăng dần, xét dấu f() x và lập bảng biến 
 thiên. 
 Bước 4. Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số. 
Câu 1. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y f ()x có đồ thị cho ở Hình. 
Câu 2. Xét dấu y rồi tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y 2 x2 4 x 3 
 x
Câu 3. Chứng minh rằng hàm số g() x nghịch biến trên khoảng (1; ). 
 x 1
Câu 4. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y x3 3 x 2 9 x 1. 
 1
Câu 5. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y x3 x 2 x 5. 
 3
 x2 4
Câu 6. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y . 
 x
Câu 7. Xác định các khoảng đồng biến, nghịch biến và lập bảng biến thiên của hàm số: 
 a) y f( x ) x3 3 x 2 1;
 1
 b) y f ()x x .
 x
Câu 8. Lập bảng biến thiên và xác định các khoảng đơn điệu của hàm số: 
 y f( x ) 2 x3 6 x 2 6 x 9 
Câu 9. Xét tính đơn điệu của các hàm số sau: 
 a) f (x ) x3 3 x 2
 1
 b) g() x x 
 x
 c) h() x x3 .
 Dạng 2. Tìm m để hàm số đơn điệu trên các khoảng xác định của nó 
Xét hàm số bậc ba y f ()x ax3 bx 2 cx d. 
– Đáp ánước 1. Tập xác định: D .
– Đáp ánước 2. Tính đạo hàm y f ( x ) 3 ax2 2 bx c .
 af () x 3 a 0
+ Để f() x đồng biến trên y f ()x 0,  x 2 m ? 
 f () x 4b 12 ac 0
 3 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025 
 x 1
Câu 18. (Mã 103-2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y nghịch biến 
 x 3 m
trên khoảng 6; ? 
 x 6
Câu 19. (Mã 102 - 2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y nghịch 
 x 5 m
biến trên khoảng 10; ? 
 mx 9
Câu 20. (Sở Hà Tĩnh - 2020) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y nghịch 
 4x m
biến trên khoảng 0;4 ? 
 Dạng 4. Tìm m để hàm số bậc 3 đơn điệu trên khoảng cho trước 
Câu 21. (Mã 101 – 2020 -Lần 2) Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 
y x3 3 x 2 4 m x đồng biến trên khoảng 2; 
Câu 22. (Mã 102 – 2020 – Lần 2) Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số 
y x3 3 x 2 5 m x đồng biến trên khoảng 2; 
 mx3
Câu 23. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y f( x ) 7mx2 14 x m 2
 3
giảm trên nửa khoảng [1; ) ? 
Câu 24. Tìm tất cả các giá thực của tham số m sao cho hàm số y 2 x3 3 x 2 6 mx m nghịch biến 
trên khoảng 1;1 . 
Câu 25. (THPT Chuyên Hạ Long - 2018) Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên dương của m để hàm 
số y x3 3 2 m 1 x2 12m 5 x 2 đồng biến trên khoảng 2; . Tìm số phần tử của S 
 Dạng 5. Tìm m để hàm số (lượng giác, chứa căn, chứa dấu giá trị tuyệt đối) đơn điệu 
 trên khoảng cho trước 
 tanx 2
Câu 26. (Đề Minh Họa 2017) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y 
 tan x m
đồng biến trên khoảng 0; . 
 4 
Câu 27. (Đề Tham Khảo 2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số 
 1
y x3 mx đồng biến trên khoảng 0; 
 5x5
Câu 28. (THPT Bạch Đằng Quảng Ninh 2019) Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để 
 1 1
hàm số f x m2 x 5 mx 3 10 x 2 m2 m 20 x đồng biến trên . Tính tổng giá trị của tất cả các 
 5 3
phần tử thuộc S 
Câu 29. (THPT Lê Quý Đôn Đà Nẵng 2019) Tìm tập hợp các giá trị thực của tham số m để hàm số 
 m
y x 1 đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó? 
 x 2
Câu 30. (THPT Minh Khai Hà Tĩnh 2019) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số để hàm số 
 cosx 3 
y nghịch biến trên khoảng ; 
 cos x m 2 
 5 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025 
 Xác định tính đơn điệu của hàm số g x f 3 2x 
Câu 41. (Sở Ninh Bình) Cho hàm số bậc bốn y f x có đạo hàm trên . Đồ thị hàm số y f' x 
như hình vẽ. Xác định tính đơn điệu của hàm số y f x2 2 
Câu 42. (Sở Vĩnh Phúc 2022) Cho hàm số y f x có đạo hàm f x liên tục trên và có bảng xét
dấu như hình sau. Xác định tính đơn điệu của hàm số g x f x2 3x 1 
 Dạng 7. Tìm khoảng đơn điệu của hàm số g(x)=f[u(x)]+v(x) khi biết đồ thị, bảng biến 
 thiên của hàm số f’(x) 
 Cách 1: 
 Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số g x , g x u x . f u x v x .
 Bước 2: Sử dụng đồ thị của f x , lập bảng xét dấu của g x . 
 Bước 3: Dựa vào bảng dấu kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số. 
 Cách 2: 
 Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số g x , g x u x . f u x v x .
 Bước 2: Hàm số g x đồng biến g x 0 ; (Hàm số g x nghịch biến g x 0 ) (*) 
 Bước 3: Giải bất phương trình * (dựa vào đồ thị hàm số y f x ) từ đó kết luận khoảng 
 đồng biến, nghịch biến của hàm số. 
 Cách 3: (Trắc nghiệm) 
 Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số g x , g x u x . f u x v x .
 Bước 3: Hàm số g x đồng biến trên K g x 0,  x K ; (Hàm số g x nghịch biến 
 trên K g x 0,  x K ) (*) 
 7 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025 
Câu 47. (Chuyên Thái Bình - Lần 3 - 2020) Cho hàm số y f ()x liên tục trên có đồ thị hàm số 
y f ()x cho như hình vẽ. 
 Hàm số g( x ) 2 f x 1 x2 2 x 2020 đồng biến trên khoảng nào?
Câu 48. (THPT Anh Sơn - Nghệ An - 2020) Cho hàm số y f x có bảng xét dấu của đạo hàm như 
sau. 
 Hàm số y 2 f x 2019 nghịch biến trên khoảng nào? 
Câu 49. (THPT Anh Sơn - Nghệ An - 2020) Cho hàm số f x xác định và liên tục trên và có đạo
hàm f x thỏa mãn f x 1 x x 2 g x 2019 với g x 0 , x . Hàm số 
y f 1 x 2019 x 2020 nghịch biến trên khoảng nào? 
Câu 50. (Liên trường huyện Quảng Xương - Thanh Hóa - 2021) Cho các hàm số y f x ; 
y g x liên tục trên và có đồ thị các đạo hàm f x ; g x (đồ thị hàm số y g x là đường
đậm hơn) như hình vẽ. 
 Hàm số h x f x 1 g x 1 nghịch biến trên khoảng nào? 
 Dạng 8. Bài toán hàm ẩn, hàm hợp liên quan đến tham số và một số bài toán khác 
Câu 51. (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên
 . Biết hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên m  5;5  để hàm
số g x f x m nghịch biến trên khoảng 1;2 . Hỏi S có bao nhiêu phần tử?
 9