Chuyên đề Ôn thi TN THPT - Chuyên đề 17: Tích phân hàm ẩn

 CHUYấN ĐỀ 17: TÍCH PHÂN HÀM ẨN 
 ĐỀ BÀI
 1 1 a2 ln 2 bc ln 3 c
Cõu 1. Cho x ln(x 2) dx ,với a,b,c Ơ . Tớnh T a b c .
 0 x 2 4
 A. T 13 .B. T 15 . C. T 17 . D. T 11.
 Lời giải
 Chọn A`
 Phõn tớch: 
 Biểu thức trong tớch phõn cú tổng của hàm logarit và hàm phõn thức nờn ta tỏch thành 2 tớch 
 phõn dạng thường gặp. Một là tớch phõn của hàm đa thức và hàm logarit ta dựng tớch phõn từng 
 phần, một là tớch phõn của hàm phõn thức bậc nhất trờn bậc nhất cơ bản.
 1 1 1 1 x
 Ta cú: I x ln(x 2) dx x ln(x 2)dx dx I I
 1 2
 0 x 2 0 0 x 2
 1
 *Tớnh I x ln(x 2)dx
 1 
 0
 dx
 du 
 u ln(x 2) x 2
 Đặt 
 dv xdx x2
 v 
 2
 Khi đú :
 x2 1 1 1 x2 1 1 1 x2 4 4
 I ln(x 2) dx ln 3 dx
 1 
 2 0 2 0 x 2 2 2 0 x 2
 1 1 1 4 1 1 x2 1
 ln 3 (x 2 )dx ln 3 ( 2x 4ln x 2 ) 
 2 2 0 x 2 2 2 2 0
 1 1 1 3 3
 ln 3 ( 2 4ln 3) 2ln 2 ln 3 2ln 2 
 2 2 2 2 4
 1 x
 *Tớnh I dx 
 2 
 0 x 2
 1 x 1 x 2 2 1 2 1
 I2 dx dx (1 )dx (x 2ln x 2 )
 0 x 2 0 x 2 0 x 2 0
 1 2ln 3 2ln 2
 7 7 42 ln 2 2.7ln 3 7
 I I I 4ln 2 ln 3 
 1 2 2 4 4
 Ta cú a 4,b 2,c 7 . Vậy T a b c 4 2 7 13 .
 3 1 abc ln 2 bln 5 c
Cõu 2. Cho I x ln x 1 dx , với a,b,c Ơ . Tớnh T a b c .
 2 
 0 x 1 4
 A. T 13 . B. T 15 . C. T 10 . D. T 11.
 Lời giải
 Chọn C
 1
 x2 1 1 x2
 I ln x 2  dx
 1 
 2 0 0 2 x 2
 1 1 1 4 
 ln 3 x 2 dx 
 2 2 0 x 2 
 1
 1 1 x2 
 ln 3 2x 4ln x 2 
 2 2 2
 0
 1 1 1 
 ln 3 2 4ln 3 4ln 2 
 2 2 2 
 3 3
 2ln 2 ln 3 
 2 4
 1 1 2
 d x 1 1
 x 1 1 2 1
 + Tớnh I2 dx  ln x 1 ln 2 .
 2 2 0
 0 x 1 0 2 x 1 2 2
 3 3 1
 - Khi đú I I I 2ln 2 ln 3 ln 2
 1 2 2 4 2
 3 3 3
 ln 2 ln 3 
 2 2 4
 3.2.ln 2 3.2.ln 3 3
 4
 3.2.ln 2 2. 3 .ln 3 3 
 .
 4
 a 3
 Ta suy ra: b 2 . Vậy T a.b.c 3.2. 3 18. 
 c 3
Cõu 4. Cho f x là hàm liờn tục và a 0 . Giả sử rằng với mọi x 0;a , ta cú f x 0 và 
 a 1
 f x f a x 1. Tớnh I dx .
 0 1 f x 
 a a
 A. . B. 2a. C. a ln 1 a . D. .
 3 2
 Lời giải
 Chọn D
 a 1 a 1 a f a x 
 Ta cú I dx dx dx .
 1 f x 1 f a x 1
 0 0 1 0 
 f a x 
 Đặt a x t thỡ dx dt . Với x a t 0 ; x 0 t a .
 0 f t a f x 
 Ta được I dt dx
 a f t 1 0 f x 1
 a a a
 1 f x a a
 Do đú, ta cú 2I dx dx dx x a . Vậy I .
 0
 0 f x 1 0 f x 1 0 2
 1 x
 1 px3 + 2x + e.x3.2x 1 ổ 2x ử x4 1 1 d (p + e.2 )
 Ta cú: dx = ỗx3 + ữdx = +
 ũ p + x ũỗ p + x ữ ũ p + x
 0 e.2 0 ố e.2 ứ 4 0 eln 2 0 e.2
 1
 1 1 x 1 1 p + 2e 1 1 ổ e ử
 = + ln p + e.2 = + .ln = + .lnỗ1+ ữ.
 4 eln 2 0 4 eln 2 p + e 4 eln 2 ốỗ p + eứữ
 ùỡ m = 4
 ù
 Vậy ớù n = 2 ị m + n + p = 7 . 
 ù
 ợù p = 1
 1
Cõu 8. Cho hàm số f (x) liờn tục và cú đạo hàm cấp hai trờn [0;1] thỏa ũ x2. f ÂÂ(x)dx = 12 và 
 0
 1
 2 f (1)- f Â(1)= - 2. Tớnh ũ f (x)dx 
 0
 A. 10. B. 14. C. 8 . D. 5 .
 Lời giải
 Chọn D
 2 1
 ùỡ u = x ùỡ du = 2xdx 1
 ù 2
 Đặt ớ ị ớù . Khi đú I = x . f Â(x) - 2x. f Â(x)dx .
 ù dv = f ÂÂ x dx ù v = f Â(x) 0 ũ
 ợù ( ) ợù 0
 1 1
 ùỡ u = 2x ùỡ du = 2dx 1
 Đặt ớù ị ớù . Suy ra 2x. f Â(x)dx = 2x. f (x) - 2 f (x)dx
 ù dv = f  x dx ù v = f x ũ 0 ũ
 ợù ( ) ợù ( ) 0 0
 1 1
 Do đú 12 = f Â(1)- 2 f (1)+ 2ũ f (x)dx Û ũ f (x)dx = 5
 0 0
 3 3
Cõu 9. Cho hàm số ( ) thỏa món ∫ ( )푒 ( ) = 8 và (3) = ln 3. Tớnh ∫ 푒 ( ) 
 0 ′ 0
 A. 1. B. 11. C. 8 ― ln3. D. 8 + ln3.
 Lời giải
 Chọn A
 Áp dụng phương phỏp tớnh tớch phõn từng phần.
 = = 
 Từ giả thiết đề cho, Đặt 푣 = ( )푒 ( ) => 푣 = 푒 ( ) 
 ′
 Khi đú:
 3 3
 ( ) 3 ( ) (3) ( )
 = 푒 |0 ― 푒 => 8 = 3푒 ― 푒 
 0 0
 Suy ra 3 ( ) = 9 ― 8 = 1
 ∫0 푒 
Cõu 10. Cho hàm số f x liờn tục trờn Ă và thỏa món f x 2018 f x xsin x. Tớnh 
 2
 I f x dx 
 2
 2 1 1 1
 A. . B. . C. . D. .
 2019 2019 1009 2018
 Lời giải
 Chọn A
 A. 4. B. 1. C. 2 . D. 4 .
 Lời giải
 Chọn A
 Ta cú f x ax x 2 mà 
 f 1 3 a 3 f x 3x2 6x f x f x dx x3 3x2 C .
 f x 0
 0 x0 2 3 2
 Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm x0 0 suy ra f x x 3x 4.
 C 4
 f x0 0 
 Vậy đồ thị cắt trục tung tại điểm cú tung độ là 4.
Cõu 13 Cho y f x là hàm số chẵn, liờn tục trờn Ă . Biết đồ thị hàm số y f x đi qua điểm 
 1
 1 2 0
 M ;4 và f t dt 3 . Tớnh sin 2x. f sin x dx 
 2 
 0 
 6
 A. I 10 .B. I 2 . C. I 1. D. I 1.
 Lời giải
 Chọn B
 1
 Đặt sin x t ; đổi cận x t ; x 0 t 0 
 6 2
 0 0
 I sin 2x. f sin x dx 2t. f t dt .
 1
 6 2
 2t u 2dt du 0
 0
 Đặt I 2t. f t | 1 2 f t dt 
 f t dt dv f t v 2 1
 2
 1
 0 2
 y f x là hàm số chẵn: 2 f t dt 2 f t dt 2.3 6
 1
 0
 2
 1 1 
 Đồ thị hàm số y f x đi qua điểm M ;4 : f 4
 2 2 
 1
 2
 0 0 1 1 
 I 2t. f t | 1 2 f t dt 2t. f t | 1 3 2.0. f 0 2. . f 6 4 6 2
 2 0 2 2 2