Chuyên đề Ôn thi THPTQG - Chuyên đề 8: Tương giao đồ thị hàm số (Mức 9-10 điểm) - Phần 1

 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG
 Chuyên đề 8 TƯƠNG GIAO ĐỒ THỊ HÀM SỐ
 DẠNG TOÁN DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI MỨC 9-10 ĐIỂM
 Dạng 1. Biện luận m để phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện k (hàm số khác)
 x 3 x 2 x 1 x
Câu 1. (Mã 101 2019) Cho hai hàm số y và y x 2 x m ( m là tham 
 x 2 x 1 x x 1
 số thực) có đồ thị lần lượt là C1 và C2 . Tập hợp tất cả các giá trị của m để C1 và C2 cắt 
 nhau tại đúng bốn điểm phân biệt là
 A. 2; . B. ;2 . C. 2; . D. ;2 .
 Lời giải
 Chọn A
 x 3 x 2 x 1 x
 Xét phương trình x 2 x m
 x 2 x 1 x x 1
 x 3 x 2 x 1 x
 x 2 x m (1)
 x 2 x 1 x x 1
 Hàm số 
 x 3 x 2 x 1 x
 2 khi x 2
 x 3 x 2 x 1 x x 2 x 1 x x 1
 p x x 2 x .
 x 2 x 1 x x 1 x 3 x 2 x 1 x
 2x 2 khi x 2
 x 2 x 1 x x 1
 1 1 1 1
 0,x 2; \ 1;0;1;2
 2 2 2 2 
 x 2 x 1 x x 1 
 Ta có p x 
 1 1 1 1
 2 0,x 2
 2 2 2 2
 x 2 x 1 x x 1 
 nên hàm số y p x đồng biến trên mỗi khoảng ; 1 , 1;0 , 0;1 , 1;2 , 2; .
 Mặt khác ta có lim p x 2 và lim p x .
 x x 
 Bảng biến thiên hàm số y g x :
 Trang 1 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG
 x x 1 x 2 x 3
 x 1 x m
 x 1 x 2 x 3 x 4
 1 1 1 1 
 1 1 1 1 x 1 x m
 x 1 x 2 x 3 x 4 
 1 1 1 1 
 x x 1 4 m
 x 1 x 2 x 3 x 4 
 Đặt tập D1 1; và D2 ( ; 4)  4; 3  ( 3; 2)  2; 1 .
 1 1 1 1 
 3 m, khi x D1
 x 1 x 2 x 3 x 4 
 1 1 1 1 
 2x 5 m, khi x D2
 x 1 x 2 x 3 x 4 
 1 1 1 1 
 3 , khi x D1
 x 1 x 2 x 3 x 4 
 Đặt f x .
 1 1 1 1 
 2x 5 , khi x D2
 x 1 x 2 x 3 x 4 
 1 1 1 1 
 0, khi x D
 2 2 2 2 1
 x 1 x 2 x 3 x 4 
 f x .
 1 1 1 1 
 2 >0, khi x D
 2 2 2 2 2
 x 1 x 2 x 3 x 4 
 Vậy hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định
 lim f x 3 lim f x 
 x ; x nên ta có bảng biến thiên
 Do đó để phương trình có 4 nghiệm phân biệt thì m 3 m 3; .
 x 2 x 1 x x 1
Câu 4. (Mã 104 2019) Cho hai hàm số y và y x 1 x m ( m là tham 
 x 1 x x 1 x 2
 số thực) có đồ thị lần lượt là C1 và C2 . Tập hợp tất cả các giá trị của m để C1 và C2 cắt 
 nhau tại đúng bốn điểm phân biệt là
 A. ; 3 . B.  3; . C. ; 3. D. 3; .
 Lời giải
 Chọn B
 Xét phương trình hoành độ
 x 2 x 1 x x 1 x 2 x 1 x x 1
 x 1 x m x 1 x m (1)
 x 1 x x 1 x 2 x 1 x x 1 x 2
 Số nghiệm của (1) là số giao điểm của
 Trang 3 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG
 Bảng biến thiên hàm sốy g(x)
 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đường thẳng y m luôn cắt đồ thị hàm số y g(x) tại năm điểm 
 phân biệt nên (C ) và (C ) luôn cắt nhau tại đúng năm điểm phân biệt với mọi giá trị củam . Kết hợp 
 1 2
 điều kiện m nguyên thuộc ( 15;20) nên m 14; 13;...;18;19. Khi đó tổng tất cả các giá trị m là 
 S 15 16 17 18 19 85.
 x x 1 x 2
Câu 6. Cho hai hàm số y và y ex 2020 3m ( m là tham số thực) có đồ thị lần 
 x 1 x x 1
 lượt là (C1) và (C2 ) . Có bao nhiêu số nguyên m thuộc ( 2019; 2020) để (C1) và (C2 ) cắt nhau 
 tại 3 điểm phân biệt?
 A. 2692 . B. 2691. C. 2690 . D. 2693.
 Lời giải
 Chọn A
 x x 1 x 2
 Xét phương trình hoành độ giao điểm ex 2020 3m
 x 1 x x 1
 x x 1 x 2
 ex 2020 3m (1).
 x 1 x x 1
 x x 1 x 2
 Đặt g(x) ex 2020 .
 x 1 x x 1
 1 1 1
 Ta có g (x) ex 0 với mọi x thuộc các khoảng sau ; 1 , 
 (x 1)2 x2 x 1 2
 1;0 , 0;1 và 1; nên hàm số y g(x) nghịch biến trên mỗi khoảng đó.
 Mặt khác ta có lim g(x) 2017 và lim g(x) .
 x x 
 Bảng biến thiên hàm số y g(x)
 x ∞ 1 0 1 +∞
 g'(x) + + +
 2017 +∞ +∞ +∞
 g(x)
 ∞ ∞ ∞ ∞
 Do đó để (C1) và (C2 ) cắt nhau tại đúng ba điểm phân biệt thì phương trình (1) phải có ba 
 nghiệm phân biệt. Điều này xảy ra khi và chỉ khi đường thẳng y 3m cắt đồ thị hàm số y g(x) 
 2017
 tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi 3m 2017 m 672,3 .
 3
 Do m nguyên thuộc ( 2019; 2020) nên m 672; 671;...;2019. Vậy có tất cả 2692 giá trị m 
 thỏa mãn.
 Trang 5 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG
 x 1 x x 1 x 2
Câu 8. Cho hai hàm số y và y 21 x 2m (m là tham số thực) có đồ thị lần 
 x x 1 x 2 x 3
 lượt là (C1) và (C2 ) . Tập hợp tất cả các giá trị của m để (C1) và (C2 ) cắt nhau tại đúng năm 
 điểm phân biệt là
 A. 2; . B. ;2 . C. ;2 . D. ;4 .
 Lời giải
 Chọn C
 x 1 x x 1 x 2
 Xét phương trình hoành độ giao điểm 21 x 2m
 x x 1 x 2 x 3
 x x 1 x 2 x 3
 21 x 2m .
 x 1 x 2 x 3 x 4
 x x 1 x 2 x 3
 Đặt g(x) 21 x .
 x 1 x 2 x 3 x 4
 1 1 1 1
 Ta có g (x) 21 x ln 2 0
 x2 x 1 2 x 2 2 x 3 2
 với mọi x thuộc các khoảng sau ; 3 , 3; 2 2; 1 , 1;0 và 0; nên hàm số 
 y g(x) đồng biến trên mỗi khoảng đó
 Mặt khác ta có lim g(x) 4 và và lim g(x) .
 x x 
 Bảng biến thiên hàm số y g(x)
 Do đó để C1 và C2 cắt nhau tại đúng năm điểm phân biệt thì phương trình (1) phải có 5 
 nghiệm phân biệt. Điều này xảy ra khi và chỉ khi đường thẳng y 2m cắt đồ thị hàm số y g(x) 
 tại 5 điểm phân biệt khi và chỉ khi 2m 4 m 2
 x x 1 x 2
Câu 9. Cho hai hàm số y và y x x 1 m (m là tham số thực) có đồ 
 x2 1 x2 2x x2 4x 3
 thị lần lượt là (C1) và (C2 ) . Số các giá trị m nguyên thuộc khoảng 20;20 để (C1) và (C2 ) cắt 
 nhau tại năm điểm phân biệt là
 A. 22 . B. 39 . C. 21. D. 20 .
 Lời giải
 Chọn C
 x x 1 x 2
 Xét phương trình hoành độ giao điểm x x 1 m
 x2 1 x2 2x x2 4x 3
 x x 1 x 2
 x x 1 m (1).
 x2 1 x2 2x x2 4x 3
 x x 1 x 2
 Đặt g(x) x x 1 .
 x2 1 x2 2x x2 4x 3
 x2 1 x2 2x 2 x2 4x 5 x 1
 Ta có g (x) 2 2 2 1 
 x2 1 x2 2x x2 4x 3 x 1
 Trang 7