Chuyên đề Ôn thi THPTQG - Chuyên đề 8: Tương giao đồ thị hàm số (Mức 7-8 điểm)

 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG
 Chuyên đề 8 TƯƠNG GIAO ĐỒ THỊ HÀM SỐ
 DẠNG TOÁN DÀNH 
 CHO ĐỐI TƯỢNG 
 HỌC SINH KHÁ MỨC 7+8+9 ĐIỂM
Dạng 1. Bài toán tương giao đường thẳng với đồ thị hàm số bậc 3 (CHỨA THAM SỐ)
 Bài toán tổng quát: Tìm các giá trị của tham số m để để đường thẳng d : y px q cắt đồ thị hàm số 
 (C) : y ax3 bx2 cx d tại 3 điểm phân biệt thỏa điều kiện K ? (dạng có điều kiện)
 Phương pháp giải:
Bước 1. Lập phương trình hoành độ giao điểm của d và (C) là: ax3 bx2 cx d px q
Đưa về phương trình bậc ba và nhẩm nghiệm đặc biệt x xo để chia Hoocner được:
 x x
(x x )(ax2 b x c ) 0 o 
 o 2
 g(x) ax b x c 0
Bước 2. Để d cắt (C) tại ba điểm phân biệt phương trình g(x) 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 
 g (x) 0
 xo  Giải hệ này, tìm được giá trị m D1.
 g(xo ) 0
Bước 3. Gọi A(xo ; pxo q), B(x1; px1 q), C(x2 ; px2 q) với x1, x2 là hai nghiệm của g(x) 0.
 b c 
Theo Viét, ta có: x x và x x (1)
 1 2 a 1 2 a
Bước 4. Biến đổi điều kiện K về dạng tổng và tích của x1, x2 (2)
Thế (1) vào (2) sẽ thu được phương trình hoặc bất phương trình với biến là m. Giải chúng sẽ tìm được giá trị 
 m D2.
Kết luận: m D1  D2.
 Một số công thức tính nhanh “ thường gặp “ liên quan đến cấp số
￿ Tìm điều kiện để đồ thị hàm số y ax3 bx2 cx d cắt trục hoành tại 3điểm phân biệt có hoành 
 độ lập thành cấp số cộng.
Điều kiện cần:
 3 2
Giả sử x1, x2 , x3 là nghiệm của phương trình ax bx cx d 0
 b
Khi đó: ax3 bx2 cx d a(x x )(x x )(x x ) , đồng nhất hệ số ta được x 
 1 2 3 2 3a
 b
Thế x vào phương trình ax3 bx2 cx d 0 ta được điều kiện ràng buộc về tham số hoặc giá trị 
 2 3a
 của tham số.
Điều kiện đủ:
Thử các điều kiện ràng buộc về tham số hoặc giá trị của tham số để phương trình ax3 bx2 cx d 0 có 
 3 nghiệm phân biệt.
￿ Tìm điều kiện để đồ thị hàm số y ax3 bx2 cx d cắt trục hoành tại 3điểm phân biệt có hoành 
 độ lập thành cấp số nhân.
Điều kiện cần:
 3 2
Giả sử x1, x2 , x3 là nghiệm của phương trình ax bx cx d 0
 3 2 d
Khi đó: ax bx cx d a(x x )(x x )(x x ) , đồng nhất hệ số ta được x 3 
 1 2 3 2 a
 Trang 1 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG
Câu 3. (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Đường thẳng D có phương trình y = 2x + 1 cắt đồ thị của hàm số 
 3
 y = x - x + 3 tại hai điểm A và B với tọa độ được kí hiệu lần lượt là A(xA; yA )và B(xB ; yB ) 
 trong đó xB < xA . Tìm xB + yB ?
 A. xB + yB = - 5 B. xB + yB = - 2 C. xB + yB = 4 D. xB + yB = 7
 Lời giải
 Phương trình hoành độ giao điểm củaD và y = x3 - x + 3 :
 3 3 = ―2⇒ = ―3
 ― + 3 = 2 + 1⇔ ― 3 + 2 = 0⇔ = 1⇒ = 3
 Vậy A(1;3); B(- 2;- 3) Þ xB + yB = - 5
 3 2 3
Câu 4. (THPT Ba Đình 2019) Cho hàm số y x 3mx m có đồ thị Cm và đường thẳng 
 2 3
 d : y m x 2m . Biết rằng m1,m2 m1 m2 là hai giá trị thực của m để đường thẳng d cắt đồ 
 4 4 4
 thị Cm tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 , x3 thỏa mãn x1 x2 x3 83 . Phát biểu nào 
 sau đây là đúng về quan hệ giữa hai giá trị m1, m2 ?
 2 2
 A. m1 m2 0. B. m1 2m2 4 . C. m2 2m1 4 . D. m1 m2 0 .
 Lời giải
Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và Cm 
 x3 3mx2 m3 m2 x 2m3
 x3 3mx2 m2 x 3m3 0
 x3 m2 x 3mx2 3m3 0
 x x2 m2 3m x2 m2 0
 x 3m x2 m2 0
 x 3m
 x m
 x m
Để đường thẳng d cắt đồ thị Cm tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 , x3 m 0 .
 4 4 4 4 4 4
 Khi đó, x1 x2 x3 83 m m 3m 83
 83m4 83 m 1
Vậy m1 1,m2 1 hay m1 m2 0.
Câu 5. (THPT Bạch Đằng Quảng Ninh 2019) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm 
 số y x3 3x2 cắt đường thẳng y m tại ba điểm phân biệt.
 A. m ; 4 . B. m 4;0 .
 C. m 0; . D. m ; 4  0; .
 Lời giải
 Chọn B
 3 2 2 x 0
 Ta có y x 3x y 3x 6x; y 0 
 x 2
 Bảng biến thiên:
 Trang 3 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG
 Chọn D
 Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình
 3 2 2 x 1
 x 3x m 2 mx x 1 x 2x m 2 0 2
 x 2x m 2 0
 Đặt nghiệm x2 1. Từ giải thiết bài toán trở thành tìm m để phương trình có 3 nghiệm lập thành 
 cấp số cộng.
 Khi đó phương trình x2 2x m 2 0 phải có 2 nghiệm phân biệt (vì theo Viet rõ ràng 
 x1 x3 2 2x2 )
 Vậy ta chỉ cần 1 m 2 0 m 3
Câu 9. (Chuyên Bắc Ninh 2019) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình x3 3x2 2 m 
 có ba nghiệm phân biệt.
 A. m 2; . B. m ; 2 . C. m 2;2 . D. m  2;2 .
 Lời giải
 Xét hàm số y x3 3x2 2, y 3x2 6x .
 Lập bảng biến thiên
 Số nghiệm của phương trình x3 3x2 2 m * bằng số giao điểm của đồ thị hàm số 
 y x3 3x2 2 và đường thẳng y m .
 Dựa vào bảng biến thiên suy ra PT (*) có 3 nghiệm phân biệt khi 2 m 2 .
Câu 10. (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Đường thẳng có phương trình y 2x 1 cắt đồ thị của hàm số 
 3
 y x x 3 tại hai điểm A và B với tọa độ được kí hiệu lần lượt là A xA; yA và B xB ; yB 
 trong đó xB xA . Tìm xB yB ?
 A. xB yB 5 B. xB yB 2 C. xB yB 4 D. xB yB 7
 Lời giải
 Chọn C
 Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình: x3 x 3 2x 1
 x 1
 Giải phương trình ta được 
 x 2
 Vì xB xA Vậy xB 1; yB 3 xB yB 4
Câu 11. (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Gọi S là tập tất cả các giá trị thực của tham số m để 
 phương trình 2x3 3x2 2m 1 có đúng hai nghiệm phân biệt. Tổng các phần tử của S bằng
 1 3 5 1
 A. . B. . C. . D. .
 2 2 2 2
 Lời giải
 Xét hàm số: y 2x3 3x2 y 6x2 6x y 0 x 0  x 1.
 Bảng biến thiên:
 Trang 5 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG
 Lời giải
 x 1
 +Ta có: f x x 1 x 1 .
 x 3
 f x là hàm bậc ba nên f x x 1 a x 1 x 1 x 3 
 f x a x 1 x 1 x 3 x 1; f 0 2 a 1.
 f x x 1 x 1 x 3 x 1.
 x 1 x2
 + f x 0 .
 x 1 x 3 1 0 2 
 x1, x3 là các nghiệm của 2 nên ta có x1x3 2 .
 5
 thẳng y nên từ đồ thị ta có phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt.
 2
Câu 14. (Chuyên Lê Thánh Tông 2019) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m  2018;2019 để 
 đồ thị hàm số y x3 3mx 3 và đường thẳng y 3x 1 có duy nhất một điểm chung?
 A. 1. B. 2019 . C. 4038 . D. 2018 .
 Lời giải
 Phương trình hoành độ giao điểm:
 x3 3x 2
 x3 3mx 3 3x 1 x3 3x 2 3mx 3m (1).
 x
 x3 3x 2 2 2 2x3 2
 Xét hàm f x x2 3 ; f x 2x ; f x 0 x 1.
 x x x2 x2
 Bảng biến thiên.
 x 0 1 
 f x 0 
 f x 
 0
 Khi đó yêu cầu bài toán m 0 . Mà m nguyên và m  2018;2019 nên có 2018 giá trị thỏa 
 mãn.
Câu 15. (THCS - THPT Nguyễn Khuyến 2019) Phương trình x3 6mx 5 5m2 có 3 nghiệm phân biệt 
 lập thành cấp số cộng khi
 A. m 0. B. m 1 m 1. C. m 1. D. m  .
 Lời giải
 Phương trình đã cho tương đương: x3 6mx 5 5m2 0 .
 Đặt y f x x3 6mx 5 5m2 có f x 3x2 6m ; f x 6x.
 PT đã cho có 3 nghiệm phân biệt Hàm số y f x cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt
 Trang 7