Chuyên đề Ôn thi THPTQG - Chuyên đề 6: Tiệm cận đồ thị hàm số (Mức 7-8 điểm)

 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG
 Chuyên đề 6 TIỆM CẬN ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
 DẠNG TOÁN DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ – MỨC 7-8 ĐIỂM
 Dạng 1. Xác định đường tiệm cận đồ thị hàm số thông hàm số cho trước
1 Đường tiệm cận ngang
Cho hàm số y f x có TXD: D
Điều kiện cần: D phải chứa hoặc 
Điều kiện đủ:
 P(x)
Dạng 1. y f (x) .
 Q(x)
Nếu degP x degQ x :thì không có tiệm cận ngang
Nếu degP x degQ x :TCN y 0
Nếu degP x degQ x : y k (k là tỉ số hệ số bậc cao nhất của tử và mẫu)
 u2 v u v
Dạng 2: y f (x) u v (hoặc u v ): Nhân liên hợp y f (x) (hoặc )
 u v u v
2 Đường tiệm cận đứng
 P x 
Cho hàm số y có TXD: D
 Q x 
Đkiện cần: giải Q x 0 x x0 là TCĐ khi thỏa mãn đk đủ
Đkiện đủ:
Đkiện 1: x0 làm cho P(x) và Q(x) xác định.
Đkiện 2: - x0 không phải nghiêm P(x) x x0 là TCĐ
- x0 là nghiêm P(x) x x0 là TCĐ nếu lim f (x) 
 x x0
Câu 1. (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số 
 5x2 - 4x - 1
 y = là
 x2 - 1
 A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
 Lời giải
 Chọn C
 Tiệm cận ngang:
 2 4 1 4 1
 2 x 5 5 
 5x 4x 1 x 2 x 2
 Ta có: lim y lim lim x lim x 5 nên đồ thị hàm 
 2
 x x x 1 x 2 1 x 1
 x 1 1 
 x2 x2
 số có một tiệm cận ngang y 5 .
 Tiệm cận đứng:
 2 x 1
 Cho x 1 
 x 1
 Trang 1 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG
 Chọn C
 x2 3x 4 x 1
 Ta có y (với điều kiện xác định), do đó đồ thị hàm có 1 tiệm cận đứng.
 x2 16 x 4
 x 2
Câu 5. (Mã 104 2017) Đồ thị hàm số y có mấy tiệm cận.
 x2 4
 A. 3 B. 1 C. 2 D. 0
 Lời giải
 Chọn C
 Ta có x2 4 0 x 2
 x 2 1
 lim 2 nên đường thẳng x 2 không phải là tiệm cân đứng của đồ thị hàm số.
 x 2 x 4 4
 x 2 1 x 2 1
 lim lim , lim lim , nên đường thẳng x 2 là 
 2 2 
 x 2 x 4 x 2 x 2 x 2 x 4 x 2 x 2
 tiệm cân đứng của đồ thị hàm số.
 x 2 
 lim 2 0 nên đường thẳng y 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
 x x 4 
 Vậy có đồ thị có hai đường tiệm cận.
 x 9 3
Câu 6. (Mã 101 2018) Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y là
 x2 x
 A. 1 B. 2 C. 0 D. 3
 Lời giải
 Chọn A
 Tập xác định của hàm số: D  9; \ 0; 1
 x 9 3 x 9 3
 Ta có: lim y lim và lim y lim .
 2 2
 x 1 x 1 x x x 1 x 1 x x
 TCĐ: x 1.
 x 9 3 x 1 1
 lim y lim 2 lim lim .
 x 0 x 0 x x x 0 x2 x x 9 3 x 0 x 1 x 9 3 6
 x 9 3 x 1 1
 lim y lim 2 lim lim .
 x 0 x 0 x x x 0 x2 x x 9 3 x 0 x 1 x 9 3 6
 x 0 không là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
 Vậy đồ thị hàm số có 1 tiệm cận đứng.
 x 4 2
Câu 7. (Mã 102 2018) Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y là
 x2 x
 A. 2 B. 1 C. 3 D. 0
 Lời giải
 Chọn B
 Tập xác định của hàm số: D  4; \ 0; 1
 1
 Ta có: lim y .
 x 0 4
 x 4 2 x 4 2
 lim y lim 2 và lim y lim 2 
 x 1 x 1 x x x 1 x 1 x x
 Trang 3 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG
 Lời giải
 Chọn D
 1
 Tập xác định D  25; \ 1;0 . Biến đổi f (x) .
 x 1 x 25 5 
 1
 Vì lim y lim nên đồ thị hàm số đã cho có 1 tiệm cận đứng x 1.
 x 1 x 1 x 1 x 25 5 
 x 16 4
Câu 11. (Mã 104 2018) Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y là
 x2 x
 A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
 Lời giải
 Chọn C
 Tập xác định hàm số D  16; \ 1;0 .
 Ta có
 x 16 4 x 1 1
 lim y lim lim lim .
 x 0 x 0 x 1 x x 0 x x 1 x 16 4 x 0 x 1 x 16 4 8
 x 16 4 1
 lim y lim lim .
 x 1 x 1 x 1 x x 1 x 1 x 16 4 
 vì lim x 16 4 15 4 0 , lim x 1 0 và x 1 thì x 1 x 1 0 .
 x 1 x 1 
 1
 Tương tự lim y lim .
 x 1 x 1 x 1 x 16 4 
 Vậy đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận đứng là x 1.
 x 4 2
Câu 12. (Chuyên Sơn La 2019) Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y là
 x2 x
 A. 3 . B. 0 . C. 1. D. 2 .
 Lời giải
 TXĐ: D  4; \ 1;0 .
 x 4 2
 Ta có: lim y lim 2 
 x 1 x 1 x x
 Nên đường thẳng x 1 là một đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.
 x 4 2 x 4 2 x 4 2 1 1
 lim y lim lim lim 
 x 0 x 0 x2 x x 0 x x 1 x 4 2 x 0 x 1 x 4 2 4
 Nên đường thẳng x 0 không là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.
 Vậy đồ thị hàm số đã cho có một tiệm cận đứng x 1.
 x 1
Câu 13. (THPT Gang Thép Thái Nguyên 2019) Đồ thị hàm số f x có tất cả bao nhiêu tiệm 
 x2 1
 cận đứng và tiệm cận ngang?
 A. 4 . B. 3. C. 1. D. 2 .
 Trang 5 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG
 Có lim y nên đường thẳng x 2 là đường tiệm cận đứng.
 x 2 
 Có lim y nên đường thẳng x 2 là đường tiệm cận đứng.
 x 2 
 Vậy đồ thị hàm số có 4 đường tiệm cận (1 tiệm cận ngang, 3 tiệm cận đứng).
 x x2 x 1
Câu 16. (THPT Lê Quy Đôn Điện Biên 2019) Hàm số y có bao nhiêu đường tiệm cận?
 x3 x
 A. 1 B. 3 C. 2 D. 4
 Lời giải
 Chọn C
 TXĐ: D ¡ \ 0
 1 1 1 1 
 x 1 1 2 1 1 
 x x 1 2 
 lim y lim lim . x x 0
 x x x 2
 3 1 x 1
 x 1 1 
 2 2 
 x x 
 1 1 1 1 
 x 1 1 2 1 1 
 x x 1 2 
 lim y lim lim . x x 0
 x x x 2
 3 1 x 1
 x 1 1 
 2 2 
 x x 
 TCN: y 0
 lim y TCĐ: x 0 .
 x 0 
Câu 17. (Chuyên Lam Sơn Thanh Hóa 2019) Số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị 
 x 2 1
 hàm số y là
 x2 3x 2
 A. 4 B. 1 C. 3 D. 2
 Lời giải
 Chọn D
 x 2 0 x 2
 x 2
 Đkxđ: 2 
 x 3x 2 0 x 2, x 1
 x 2 1 
 Ta có: lim nên đường thẳng x 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
 2 
 x 2 x 3x 2 
 x 2 1 
 lim 0 nên đường thẳng y 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
 x 2 
 x 3x 2 
 5 x2 6 x 12
Câu 18. (THPT Thiệu Hóa – Thanh Hóa 2019) Cho hàm số y có đồ thị C . Mệnh 
 4x3 3x 1
 đề nào sau đây là đúng?
 A. Đồ thị C của hàm số không có tiệm cận.
 B. Đồ thị C của hàm số chỉ có một tiệm cận ngang y 0.
 1
 C. Đồ thị C của hàm số có một tiệm cận ngang y 0 và hai tiệm cận đứng x 1; x .
 2
 D. Đồ thị C của hàm số chỉ có một tiệm cận ngang y 0 và một tiện cận đứng x 1
 Trang 7