Chuyên đề Ôn thi THPTQG - Chuyên đề 40: Tiếp tuyến

 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG
 Chuyên đề 40 TIẾP TUYẾN
 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ – GIỎI
I – Kiến thức cần nhớ
 Phương trình tiếp tuyến của C : y f x tại điểm M xo ; yo có dạng: 
 : y k x x y
 o o Với k y ' xo là hệ số góc tiếp tuyến. 
 Điều kiện cần và đủ để hai đường C1 : y f x và C2 : y g x tiếp xúc nhau hệ 
 f x g x 
 có nghiệm (nhớ: "hàm hàm, đạo đạo")
 f ' x g ' x 
II – Các dạng toán viết phương trình tiếp tuyến thường gặp
  Viết PTTT của C : y f x , biết có hệ số góc k cho trước
  Gọi M xo ; yo là tiếp điểm. Tính y ' y ' xo .
  Do phương trình tiếp tuyến có hệ số góc k y ' xo k i 
  Giải i tìm được xo  yo f xo  : y k x xo yo .
 Lưu ý. Hệ số góc k y '(xo ) của tiếp tuyến thường cho gián tiếp như sau:
  Phương trình tiếp tuyến // d : y ax b k a .
 1
  Phương trình tiếp tuyến  d : y ax b k .
 a
  Phương trình tiếp tuyến tạo với trục hoành góc k tan .
 k a
  Phương trình tiếp tuyến tạo với d : y ax b góc tan 
 1 k.a
  Viết PTTT của C : y f x , biết đi qua (kẻ từ) điểm A xA; yA 
  Gọi M xo ; yo là tiếp điểm. Tính yo f xo và k y ' xo theo xo .
  Phương trình tiếp tuyến tại M xo ; yo là : y k x xo yo .
  Do A xA; yA yA k xA xo yo i 
  Giải phương trình i  xo  yo và k  phương trình .
  Viết PTTT của C : y f x , biết cắt hai trục tọa độ tại A và B sao cho tam giác OAB 
 vuông cân hoặc có diện tích S cho trước
  Gọi M (xo ; yo ) là tiếp điểm và tính hệ số góc k y '(xo ) theo xo .
 o
 OABvuông cân tạo với Ox một góc 45 và O i 
 Đề cho 
 S OAB S OA.OB 2S ii 
  Giải i hoặc ii  xo  yo ;k  phương trình tiếp tuyến .
  Tìm những điểm trên đường thẳng d : ax by c 0 mà từ đó vẽ được 1,2,3,...,n tiếp tuyến với 
 đồ thị hàm số C : y f x 
  Gọi M xM ; yM d : ax by c 0 (sao cho có một biến xM trong M)
  PTTT qua M và có hệ số góc k có dạng : y k x xM yM .
 f x k x xM yM i 
  Áp dụng điều kiện tiếp xúc: 
 f ' x k ii 
  Thế k từ ii vào i , được: f x f ' x . x xM yM iii 
 Trang 1 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG
 A. k 0 B. k 2 C. k 6 D. k 9
 Lời giải
 Chọn C
 Ta có hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến là nghiệm của phương trình x3 3x 4 x 1
 Ta có y ' 3x2 3
 Hệ số góc của tiếp tuyến là k y ' 1 6 .
 x 1
Câu 4. (GKI THPT Việt Đức Hà Nội -2019) Cho hàm số y . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị 
 x 1
 hàm số tại điểm M 1;0 là
 1 3 1 1 1 1 1 1
 A. y x B. y x C. y x D. y x 
 2 2 2 2 2 2 4 2
 Lời giải
 Chọn B
 2 1
 Ta có y y 1 
 x 1 2 2
 Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M 1;0 là
 1 1 1
 y x 1 0 y x .
 2 2 2
Câu 5. (Chuyên Lê Thánh Tông -2019) Tìm m để mọi tiếp tuyến của đồ thị hàm số 
 y x3 mx2 2m 3 x 1 đều có hệ số góc dương.
 A. m 0 . B. m 1. C. m 1. D. m  .
 Lời giải
 Hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị hàm số y x3 mx2 2m 3 x 1 là
 y 3x2 2mx 2m 3
 Vì hệ số góc dương với mọi x nên ta có
 2 a 3 0 2 2
 y 3x 2mx 2m 3 0 m 6m 9 0 m 3 0 m  .
 0
 1 x
Câu 6. (THCS - THPT Nguyễn Khuyến Năm 2019) Tiếp tuyến của đồ thị C : y tại điểm có 
 x 1
 tung độ bằng 1 song song với đường thẳng
 A. d : y 2x 1. B. d : y x 1. C. d : y x 1. D. d : y 2x 2 .
 Lời giải
 2
 y .
 x 1 2
 1 x0
 Gọi A x0;1 C thì 1 x0 0 .
 x0 1
 Tiếp tuyến của C tại điểm A có phương trình: y y 0 x 0 y 0 2x 1.
 Suy ra tiếp tuyến song song với d : y 2x 2 .
Câu 7. (THPT Quang Trung Đống Đa Hà Nội 2019) Cho hàm số y 4x 2cos2x có đồ thị là C . 
 Hoành độ của các điểm trên C mà tại đó tiếp tuyến của C song song hoặc trùng với trục 
 hoành là
 Trang 3 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG
 mx 2
Câu 10. Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y tiếp 
 x m 1
 xúc với parabol y x2 7 .
 A. m 7 . B. m 7 . C. m 4 . D. m ¡ .
 Lời giải
 Chọn A
 m 1
 Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang khi m 1 m 2 0 .
 m 2
 Khi đó đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y m .
 tiếp xúc với parabol y x2 7 m 7 .
 x 2
Câu 11. (Đề Tham Khảo 2018) Cho hàm số y có đồ thị (C) và điểm A(a;1) . Gọi S là tập 
 x 1
 hợp tất cả các giá trị thực của tham số a để có đúng một tiếp tuyến của (C) đi qua A . Tổng tất 
 cả các giá trị các phần tử của S là
 3 5 1
 A. 1 B. C. D. 
 2 2 2
 Lời giải
 Chọn C
 1
 ĐK: x 1 ; y' 
 (x 1)2
 Đường thẳng d qua A có hệ số góc k là y k(x a) 1
 x 2
 k(x a) 1 1 
 x 1
 d tiếp xúc với (C ) có nghiệm.
 1
 k 2 2 
 (x 1)
 1 x 2
 Thế 2 vào 1 ta có: (x a) 1 x a x2 2x 1 x2 3x 2,x 1
 (x 1)2 x 1
 2x2 6x a 3 0 3 
 Để đồ thị hàm số có một tiếp tuyến qua A thì hệ là số nghiệm của hệ phương trình trên có 
 nghiệm duy nhất phương trình 3 có nghiệm duy nhất khác 1
 ' 9 2a 6 0
 1 6 a 3 0 3
 2 a 
 2x 6x a 3 0 (3) 2
 ' 9 2a 6 0 
 a 1
 2 6 a 3 0
 1
 Cách 2: TXĐ : D R \ 1 ; y 
 x 1 2
 Giả sử tiếp tuyến đi qua A a;1 là tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x x0 , khi đó phương trình 
 1 x 2
 tiếp tuyến có dạng : y x x 0 d 
 2 0 x 1
 x0 1 0
 Vì A d nên thay tọa độ điểm A vào phương trình đường thẳng d ta có :
 Trang 5 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG
 Xét phương trình hoành độ giao điểm 
 x 2
 1 4 7 2 1 4 7 2 2 2 
 x x 3x 1 x x 3x 1 0 x 2 x 4x 2 0 x 2 6 
 8 4 8 4 
 x 2 6
 A 2; 5 Thỏa mãn đề bài.
 Vậy có hai điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán.
 1 7
Câu 13. (Mã 101 2018) Cho hàm số y x4 x2 có đồ thị C . Có bao nhiêu điểm A thuộc C sao 
 4 2
 cho tiếp tuyến của C tại A cắt C tại hai điểm phân biệt M x1; y 1 ; N x2 ; y2 khác A thỏa 
 mãn y1 y2 6(x1 x2 )
 A. 0 B. 3 C. 1 D. 2
 Lời giải
 Chọn D
 1 4 7 2 
 Ta có A C A t; t t 
 4 2 
 y x3 7x y t t3 7t
 Phương trình tiếp tuyến của C tại A là
 1 7 3 7
 y t3 7t x t t 4 t 2 y t3 7t x t 4 t 2
 4 2 4 2
 Phương trình hoành độ giao điểm:
 1 7 3 7
 x4 x2 t3 7t x t 4 t 2
 4 2 4 2
 x4 14x2 4 t3 7t x 3t 4 14t 2 0
 x t 2 x2 2tx 3t 2 14 0
 x t
 2 2
 x 2tx 3t 14 0 1 
 Tiếp tuyến cắt đồ thị C tại hai điểm phân biệt M x1; y 1 ; N x2 ; y2 khác A khi phương trình 
 1 có hai nghiệm phân biệt khác t
 2 2 7 t 7
 t 3t 14 0 
 2 
 2 2 2 21
 t 2t 3t 14 0 t 
 3
 Khi dó
 3 7
 y t3 7t x t 4 t 2
 x x 2t 1 1
 1 2 4 2 3
 và y1 y2 t 7t x1 x2 
 2 3 7
 x1 x2 3t 14 3 4 2
 y2 t 7t x2 t t
 4 2
 3
 Ta có y1 y2 6(x1 x2 ) t 7t x1 x2 6 x1 x2 
 t 1 n 
 t 1 0 
 3 2 t 2 n
 t 7t 6 0 t 1 t t 6 0 2 (do 2 )
 t t 6 0 
 t 3 l 
 Trang 7