Chuyên đề Ôn thi THPTQG - Chuyên đề 4: Khoảng cách trong không gian

 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG
 Chuyên đề 4 KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN
 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ – GIỎI MỨC ĐỘ 7+
 Dạng 1. Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
￿ Bài toán 1: Tính khoảng cách từ hình chiếu vuông góc của đỉnh đến một mặt bên
Phương pháp xác định khoảng cách từ hình chiếu của đỉnh đến một mặt phẳng bên.
Bước 1: Xác định giao tuyến d
Bước 2: Từ hình chiếu vuông góc của đỉnh, DỰNG AH  d ( H d ).
Bước 3: Dựng AI  SH I SH .Khoảng cách cần tìm là AI
Với S là đỉnh, A là hình chiếu vuông góc của đỉnh trên mặt đáy.
Ví dụ điển hình: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy (ABC). Hãy xác khoảng cách từ điểm A 
 đến mặt bên (SBC).
 Ta có BC là giao tuyến của mp (SBC) và (ABC). S
Từ hình chiếu của đỉnh là điểm A, dựng AH  BC tại H. Dựng AI  SH tại I
 BC  SA I
Vì BC  SAH SBC  SAH .
 BC  AH
 C
Mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (SAH) theo giao tuyến SH có AI  SH A
nên AI  mp SBC d A,mp SBC AI H
￿ Bài toán 2: Tính khoảng cách từ một đểm bất kỳ đến một mặt phẳng B
Thường sử dụng công thức sau:
 d
 M A
 d
 A
 P
 K
 P O H
 O
 H K
 M
 d M ,mp P MO
Công thức tính tỉ lệ khoảng cách: 
 d A,mp P AO
Ở công thức trên cần tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P).
Câu 1. (Mã 102 - 2020 Lần 1) Cho lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và 
 AA 2a . Gọi M là trung điểm của CC (tham khảo hình bên). Khoảng cách từ M đến mặt 
 phẳng A BC bằng
 Trang 1 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG
 d M , AB C MI MA 1 1 BH
 Ta có d M , AB C d B, AB C .
 d B, AB C BI BB 2 2 2
 1 1 1 1 1 2 57a
 Xét tam giác BB K có 2 2 2 2 2 BH .
 BH B B BK 2a a 3 19
 2 
 BH 57a
 Vậy d M , AB C 
 2 19
Câu 3. (Mã 104 - 2020 Lần 1) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C có tất cả các cạnh bằng a . Gọi M 
 là trung điểm của AA (tham khảo hình vẽ).
 Khoảng cách từ M đến mặt phẳng AB C bằng
 a 2 a 21 a 2 a 21
 A. . B. . C. . D. .
 4 7 2 14
 Lời giải
 Chọn D
 Trong ABB A , gọi E là giao điểm của BM và AB . Khi đó hai tam giác EAM và EB B đồng 
 d M , AB C EM MA 1 1
 dạng. Do đó d M , AB C  d B, AB C .
 d B, AB C EB BB 2 2
 a 3
 Từ B kẻ BN  AC thì N là trung điểm của AC và BN , BB a .
 2
 BB  BN a 21
 Kẻ BI  B N thì d B, AB C BI .
 BB 2 BN 2 7
 1 a 21
 Vậy d M , AB C  d B, AB C .
 2 14
Câu 4. (Mã 101 - 2020 Lần 1) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C có tất cả các cạnh bằng a . Gọi M 
 là trung điểm của CC (tham khảo hình bên). Khoảng cách từ M đến mặt phẳng A BC bằng
 Trang 3 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG
 S
 2a
 H
 A C
 a
 B
 BC  AB
 Ta có BC  SAB .
 BC  SA
 Kẻ AH  SB . Khi đó AH  BC AH  SBC 
 AH là khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC .
 1 1 1 1 1 5 4a2 2 5a
 Ta có AH 2 AH .
 AH 2 SA2 AB2 4a2 a2 4a2 5 5
Câu 6. (Mã 102 2018) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông đỉnh B , AB a , SA vuông góc 
 với mặt phẳng đáy và SA a . Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng SBC bằng
 a 6 a 2 a
 A. B. C. D. a
 3 2 2
 Lời giải
 Chọn B
 S
 H
 A C
 B
 Kẻ AH  SB trong mặt phẳng SBC 
 BC  AB
 Ta có: BC  SAB BC  AH
 BC  SA
 AH  BC 1 a 2
 Vậy AH  SBC d A, SBC AH SB .
 AH  SB 2 2
Câu 7. (Mã 103 - 2019) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , mặt bên SAB là tam 
 giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy (minh họa như hình vẽ bên). 
 Khoảng cách từ D đến mặt phẳng SAC bằng
 Trang 5 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG
 21a 21a 2a 21a
 A. . B. . C. D. .
 14 7 2 28
 Lời giải
 Chọn B
 S
 A D
 H I O
 K
 B C
 Gọi H là trung điểm của AB. Khi đó, SH  ABCD .
 Gọi O là giao điểm của AC và BD suy ra AC  BD . Kẻ HK  BD tại K ( K là trung điểm 
 BO ).
 Kẻ HI  SH tại I. Khi đó: d A, SBD 2d H, SBD 2HI.
 a 3 1 a 2
 Xét tam giác SHK, có: SH , HK AO .
 2 2 4
 1 1 1 28 a 21
 Khi đó: HI .
 HI 2 SH 2 HK 2 3a2 14
 a 21
 Suy ra: d A, SBD 2HI .
 7
Câu 9. (Đề Tham Khảo 2019) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a , B· AD 60o , 
 SA a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách tứ B đến SCD bằng?
 21a 15a 21a 15a
 A. . B. . C. . D. .
 3 3 7 7
 Lời giải
 Chọn C
 Trang 7 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG
 Gọi H là trung điểm của AB SH  AB SH  (ABCD).
 Từ H kẻ HM  BD , M là trung điểm của BI và I là tâm của hình vuông.
 BD  HM
 Ta có: BD  (SHM)
 BD  SH
 Từ H kẻ HK  SM HK  BD ( Vì BD  (SHM) )
 HK  (SBD) d(H;(SBD)) HK.
 AI AC 2a 3a
 Ta có: HM . SH .
 2 4 4 2
 2a 3a
 .
 HM.HS 21a
 HK 4 2 .
 2 2 2 2 14
 HM HS 2a 3a 
 4 2 
 21a 21a
 d(C;(SBD)) d(A;(SBD)) 2d(H;(SBD)) 2HK 2. .
 14 7
 21a
 Vậy: d(C;(SBD)) .
 7
Câu 11. (Mã 103 2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 3a , SA vuông góc với mặt 
 phẳng đáy và SA a . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC bằng
 6a 3a 5a 3a
 A. B. C. D. 
 6 3 3 2
 Lời giải
 Chọn D
 BC  AB
 Ta có: BC  SAB 
 BC  SA
 Trang 9