Chuyên đề Ôn thi THPTQG - Chuyên đề 38: Xác suất

 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG
Chuyên đề 38 XÁC SUẤT
 1. Qui tắc đếm :
  Quy tắc cộng: Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động. Nếu hành động 
 này có m cách thực hiện, hành động kia có n cách thực hiện không trùng với bất kì cách nào của 
 hành động thứ nhất thì công việc đó có m n cách thực hiện.
  Nếu A và B là các tập hợp hữu hạn không giao nhau thì: n A B n A n B .
  Quy tắc nhân: Một công việc được hoành thành bởi hai hành động liên tiếp. Nếu có m cách 
 thực hiện hành động thứ nhất và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện hành động thứ hai thì 
 có m.n cách hoàn thành công việc.
 2. Hoán vị, Chính hợp, tổ hợp.
  Hoán vị :
 + Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử (n 1) . Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử 
 của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó.
 + Số các hoán vị
 Kí hiệu Pn là số các hoán vị của n phần tử. Ta có: Pn n! n 1 
  Chỉnh hợp :
 + Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử (n 1) . Kết quả của việc lấy k phần tử của tập hợp 
 A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã 
 cho.
 +Số các chỉnh hợp
 n!
 Kí hiệu Ak là số các chỉnh hợp chập k của n phần tử (1 k n) . Ta có: Ak 1 k n 
 n n n k !
  Tổ hợp :
 + Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử (n 1) . Mỗi tập hợp con gồm k phần tử của A được 
 gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho.
 + Số các tổ hợp:
 n!
 Kí hiệu C k là số các tổ hợp chập k của n phần tử (0 k n) . Ta có: C k (0 k n) .
 n n k!(n k)!
 3. Tính xác xuất :
 n A 
  Tính xác suất bằng định nghĩa : Công thức tính xác suất của biến cố A : P A .
 n  
  Tính xác suất bằng công thức :
 + Quy tắc cộng xác suất:
 * Nếu hai biến cố A,B xung khắc nhau thì P A B P A P B 
 * Nếu các biến cố A1, A2 , A3 ,..., Ak xung khắc nhau thì
 P A1  A2 ...  Ak P A1 P A2 ... P Ak 
 + Công thức tính xác suất biến cố đối: Xác suất của biến cố A của biến cố A là: 
 P A 1 P A 
 + Quy tắc nhân xác suất:
 * Nếu A và B là hai biến cố độc lập thì
 Trang 1 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG
 4
 Số các phần tử của S là A9 3024 .
 Chọn ngẫu nhiên một số từ tập S có 3024 (cách chọn). Suy ra n  3024.
 Gọi biến cố A: “ Chọn được số không có hai chữ số liên tiếp nào cùng lẻ”.
 Trường hợp 1: Số được chọn có 4 chữ số chẵn, có 4! 24 (số).
 Trường hợp 2: Số được chọn có 1 chữ số lẻ và 3 chữ số chẵn, có 5.4.4! 480 (số).
 2 2
 Trường hợp 3: Số được chọn có 2 chữ số lẻ và 2 chữ số chẵn, có 3.A5 .A4 720 (số).
 Do đó, n A 24 480 720 1224 .
 n A 1224 17
 Vậy xác suất cần tìm là P A .
 n  3024 42
Câu 3. (Mã 103 - 2020 Lần 1) Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có bốn chữ số đôi một khác nhau 
 và các chữ số thuộc tập hợp 1;2;3;4;5;6;7. Chọn ngẫu nhiên một số thuộc S , xác suất để số đó 
 không có hai chữ số liên tiếp nào cùng chẵn bằng
 9 16 22 19
 A. . B. . C. . D. .
 35 35 35 35
 Lời giải
 Chọn C
 4
 Không gian mẫu  A7 840.
 Gọi biến cố A thỏa mãn yêu cầu bài toán.
 Có các trường hợp sau:
 TH1: 4 chữ số đều lẻ: 4! số.
 3 1
 TH2: 3 chữ số lẻ, 1 chữ số chẵn: C4 .C3 .4! số.
 2 2 2
 TH3: 2 chữ số lẻ, 2 chữ số chẵn: C4 .C3 .2!.A3 số.
 528 22
 Như vậy A 528 . Vậy xác suất P A .
 840 35
Câu 4. (Mã 104 - 2020 Lần 1) Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau 
 và các chữ số thuộc tập hợp 1;2;3;4;5;6;7. Chọn ngẫu nhiên một số thuộc S , xác suất để số đó 
 không có hai chữ số liên tiếp nào cùng lẻ bằng
 1 13 9 2
 A. . B. . C. . D. .
 5 35 35 7
 Lời giải
 Chọn B
 4
 Số phần tử không gian mẫu là n  A7 .
 Để chọn được số thỏa mãn bài toán, ta có các trường hợp:
 + Trường hợp số được chọn có đúng 1 chữ số lẻ:
 Chọn chữ số lẻ trong 4 số lẻ: có 4 cách.
 Xếp các chữ số lấy được có 4! cách.
 Trường hợp này có 4  4! 96 cách.
 + Trường hợp số được chọn có 2 chữ số lẻ và 2 chữ số chẵn.
 Trang 3 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG
 Suy ra n F 3360 11760 15120.
 n F 5
 Vậy P F .
 n  9
Câu 7. (Mã 104 - 2020 Lần 2) Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau. 
 Chọn ngẫu nhiên một số thuộc S , xác suất để số đó có hai chữ số tận cùng có cùng tính chẵn lẻ 
 bằng
 4 32 2 32
 A. . B. . C. . D. .
 9 81 5 45
 Lời giải
 Chọn A
 Số các số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau là: 9.9.8.7.6 27216 , nên số phần tử của không 
 1
 gian mẫu bằng n  C27216 27216 .
 Gọi B là biến cố chọn được số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau là hai chữ số tận cùng có 
 cùng tính chẵn lẻ, thì B gồm các trường hợp sau:
 1 3
 TH1. Trong hai chữ số tận cùng có chữ số 0, có C5.P2.A8 3360 số.
 1 1
 TH2. Trong hai chữ số tận cùng không có chữ số 0, có C5.C4.P2.7.7.6 11760 số.
 3360 11760 4
 Vậy xác suất của biến cố cần tìm là P B 1 P B 1 .
 27216 9
Câu 8. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập hợp số có ba chữ số khác nhau. Xác suất để số được chọn có tổng 
 các chữ số là số chẳn bằng
 41 4 1 16
 A. . B. . C. . D. .
 81 9 2 81
 Lời giải
 Chọn A
 Gọi A là biến cố số được chọn có tổng các chữ số là số chẳn.
 Ta có n  9.9.8 648 .
 Vì số được chọn có tổng các chữ số là số chẳn nên sãy ra các trường hợp sau:
 Trường hợp 1: Ba chữ số được chọn đều là số chẳn
 3
 Số cách chọn ra và sắp xếp ba chữ số chẳn là A5 .
 2
 Số cách chọn ra và sắp xếp ba chữ số chẳn trong đó số 0 đứng đầu là A4 .
 3 2
 Vậy nên số số thỏa biến cố A là: A5 A4 48 số.
 Trường hợp 2: Ba chữ số được chọn có 2 chữ số là số lẽ và 1 chữ số là số chẳn.
 2 1
 Số cách chọn ra và sắp xếp 2 chữ số là số lẽ và 1 chữ số là số chẳn là C5 .C5.3!.
 2
 Số cách chọn ra và sắp xếp 2 chữ số là số lẽ và 1 chữ số chẳn là số 0 đứng đầu là C5 .2!.
 2 1 2
 Vậy nên số số thỏa biến cố A là: C5 .C5.3! C5 .2! 280 số.
 Do vậy n A 280 48 328 .
 n A 328 41
 Ta có P A .
 n  648 81
 Trang 5 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG
Câu 12. Một em bé có bộ 6 thẻ chữ, trên mỗi thẻ có ghi một chữ cái, trong đó có 3 thẻ chữ T, một thẻ chữ 
 N, một thẻ chữ H và một thẻ chữ P. Em bé đó xếp ngẫu nhiên 6 thẻ đó thành một hàng ngang. 
 Tính xác suất em bé xếp được thành dãy TNTHPT
 1 1 1 1
 A. . B. . C. . D. .
 120 720 6 20
 Lời giải
 Chọn A
 Xem ba chữ T riêng biệt ta có: n (W) = 6!.
 Gọi A là biến cố:“xếp ngẫu nhiên 6 thẻ đó thành dãy TNTHPT”, suy ra n (A) = 3!
 ( số hoán vị của T- T- T và N, H,P cố định).
 3! 1
 Vậy xác suất của biến cố A : P (A) = = .
 6! 120
Câu 13. Một chiếc hộp chứa 9 quả cầu gồm 4 quả màu xanh, 3 quả màu đỏ và 2 quả màu vàng. Lấy ngẫu 
 nhiên 3 quả cầu từ hộp đó. Xác suất để trong 3 quả cầu lấy được có ít nhất 1 quả màu đỏ bằng
 1 19 16 17
 A. . B. . C. . D. .
 3 28 21 42
 Lời giải
 Chọn C
 3
 Ta có: n  C9 84 .
 Gọi biến cố A : “3 quả cầu có ít nhất 1 quả màu đỏ”.
 Suy biến cố đối là A : “3 quả cầu không có quả màu đỏ”.
 20 20 16
 Vậy n A C3 20 P A P A 1 .
 6 84 84 21
Câu 14. Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số mà tổng tất cả các chữ số của số đó bằng 7?
 A. 165. B. 1296 . C. 343 . D. 84 .
 Lời giải
 Chọn D
 7 có thể phân tích thành 11 nhóm sau:
 7 = (7+0+0+0)
 = (6+1+0+0)
 = (5+2+0+0) = (5+1+1+0)
 = (4+3+0+0) = (4+2+1+0) = (4+1+1+1)
 = (3+3+1+0) = (3+2+2+0) = (3+2+1+1)
 = (2+2+2+1)
 +) Với nhóm (7+0+0+0) viết được 1 số, đó là số: 7000.
 +) Với các nhóm (6+1+0+0); (2+2+0+0) và (4+3+0+0): mỗi nhóm viết được 6 số
 (chẳng hạn: với nhóm (6+1+0+0) ta có các số 6100, 6010, 6001 và hoán vị của số 6 và số 1).
 4! 3!
 +) Với nhóm (3+3+1+0); (5+1+1+0) và (3+2+2+0): mỗi nhóm viết được 9 số
 2
 (3! là các số có số 0 đứng đầu, chia 2 vì có 1 số xuất hiện 2 lần).
 +) Với nhóm (4+2+1+0) viết được: 4! 3! 18 số (3! là các số có số 0 đứng đầu).
 4!
 +) Với nhóm (3+2+1+1) viết được: 12 số (vì xuất hiện 2 số 1).
 2
 +) Với các nhóm (4+1+1+1) và (2+2+2+1): mỗi nhóm viết được 4 số
 (chẳng hạn: với nhóm (4+1+1+1) ta có các số: 4111; 1411; 1141; 1114).
 Trang 7