Chuyên đề Ôn thi THPTQG - Chuyên đề 36: Cực trị số phức (Mức 9-10 điểm)

 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG
 Chuyên đề 36 CỰC TRỊ SỐ PHỨC
 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI MỨC 9-10 ĐIỂM
 Một số tính chất cần nhớ.
 1. Môđun của số phức:  
 ▪ Số phức z a bi được biểu diễn bởi điểm M(a; b) trên mặt phẳng Oxy. Độ dài của véctơ OM được 
 gọi là môđun của số phức z. Kí hiệu z = a + bi = a 2 + b2
 ▪ Tính chất 
  
 z a2 b2 zz OM z 0, z £ , z 0 z 0
 z z
 z.z ' z . z ' , z ' 0 z z ' z z ' z z '
 z ' z '
 kz k . z ,k ¡ 
 2
 Chú ý: z2 a2 b2 2abi (a2 b2 )2 4a2b2 a2 b2 z 2 z z.z .
Lưu ý:
 z1 z2 z1 z2 dấu bằng xảy ra z1 kz2 k 0 
 z1 z2 z1 z2 dấu bằng xảy ra z1 kz2 k 0 .
 z1 z2 z1 z2 dấu bằng xảy ra z1 kz2 k 0 
 z1 z2 z1 z2 dấu bằng xảy ra z1 kz2 k 0 
 z z 2 z z 2 2 z 2 z 2 
 1 2 1 2 1 2 
 2
 z 2 z z z z £
 2.Một số quỹ tích nên nhớ
 Biểu thức liên hệ x, y Quỹ tích điểm M
 ax by c 0 (1) (1)Đường thẳng :ax by c 0
 z a bi z c di (2) (2) Đường trung trực đoạn AB với
 A a,b , B c,d 
 2 2
 x a y b R2 hoặc Đường tròn tâm I a;b , bán kính R 
 z a bi R 
 2 2
 x a y b R2 hoặc Hình tròn tâm I a;b , bán kính R
 z a bi R
 2 2
 r 2 x a y b R2 hoặc Hình vành khăn giới hạn bởi hai đường tròn đồn 
 tâm I a;b , bán kính lần lượt là r, R 
 r z a bi R 
 y ax2 bx c Parabol
 c 0 
 2 
 x ay by c
 x a 2 y c 2 1 Elip
 1 1 hoặc 
 b2 d 2
 2 Elip nếu 2a AB , A a ,b , B a ,b
 z a1 b1i z a2 b2i 2a 1 1 2 2 
 Đoạn AB nếu 2a AB
 x a 2 y c 2 Hypebol
 1
 b2 d 2
 Một số dạng đặc biệt cần lưu ý:
 Trang 1 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG
 z a
 Max
 ✓ 
 z a2 c2
 Min
TQ2: (Elip không chính tắc). Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z z1 z z2 2a 
Thỏa mãn 2a z1 z2 . 
Khi đó ta thực hiện phép biến đổi để đưa Elip về dạng chính tắc 
Ta có 
Khi đề cho Elip dạng không chính tắc z z1 z z2 2a, z1 z2 2a và z1, z2 c, ci ). Tìm Max, 
Min của P z z0 .
 z1 z2 2c
Đặt 
 2 2 2
 b a c
 z z P a
Nếu z 1 2 0 Max (dạng chính tắc)
 0 2 
 PMin b
 z z z z
 z 1 2 a 1 2
 0 PMax z0 a
Nếu 2 2
 z z k z z
 0 1 0 2 z1 z2
 PMin z0 a
 2
 z1 z2 z1 z2
 z0 a PMax z0 a 
Nếu 2 2
 z0 z1 k z0 z2 
Nếu z z z z z z
 0 1 0 2 P z 1 2 b 
 Min 0 2
Câu 1. (Đề Tham Khảo 2018) Xét số phức z a bi a,b ¡ thỏa mãn z 4 3i 5 . Tính 
 P a b khi z 1 3i z 1 i đạt giá trị lớn nhất.
 A. P 8 B. P 10 C. P 4 D. P 6
 Lời giải
 Chọn B
 Goi M a;b là điểm biểu diễn của số phức z.
 Theo giả thiết ta có: z 4 3i 5 a 4 2 b 3 2 5 Tập hợp điểm biểu diễn số phức 
 z là đường tròn tâm I 4;3 bán kính R 5
 Trang 3 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG
 8
 D
 6
 4
 A
 2
 H
 E
 5
 N
 2
 Gọi A là điểm biểu diễn số phức z , E 2;1 , F 4;7 và N 1; 1 .
 Từ AE A F z 2 i z 4 7i 6 2 và EF 6 2 nên ta có A thuộc đoạn thẳng EF . Gọi 
 3 3 5 2 2 73
 H là hình chiếu của N lên EF , ta có H ; . Suy ra P NH NF .
 2 2 2
Câu 3. (KTNL Gia Bình 2019) Cho hai số phức z1, z2 thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau 
 z 1 34, z 1 mi z m 2i (trong đó m là số thực) và sao cho z1 z2 là lớn nhất. Khi 
 đó giá trị z1 z2 bằng
 A. 2 B. 10 C. 2 D. 130
 Lời giải
 Chọn C
 Gọi M , N lần lượt là điểm biểu diễn của số phức z1, z2
 Gọi z x iy, x, y ¡ 
 Ta có z 1 34 M , N thuộc đường tròn C có tâm I 1;0 , bán kính R 34
 Mà z 1 mi z m 2i x yi 1 mi x yi m 2i
 x 1 2 y m 2 x m 2 y 2 2
 Trang 5 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG
 2 5 5 
 Ta được z 2 2 i
 5 5 
 Cách 3:
 Sử dụng bất đẳng thức z1 z2 z1 z2 z1 z2
 z i z 2 2i 2 i z 2 2i 2 i 5 1
Câu 5. (THPT Gia Lộc Hải Dương 2019) Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất 
 2z i M
 của P với z là số phức khác 0 và thỏa mãn z 2 . Tính tỉ số .
 z m
 M M 4 M 5 M
 A. 3. B. . C. . D. 2 .
 m m 3 m 3 m
 Lời giải
 2z i 2z i 2z i 2z i 1 1 3 5
 Ta có P P 2 P 2 P .
 z z z z z z 2 2
 M 5
 Vậy .
 m 3
Câu 6. Cho số phức z thoả mãn z 2 3i 1. Tìm giá trị lớn nhất của z 1 i .
 A. 13 3. B. 13 5. C. 13 1. D. 13 6 .
 Lời giải
 Chọn C
 2
 Ta có 1 z 2 3i z 2 3i . z 2 3i z 2 3i z 2 3i 
 1 z 2 3i z 2 3i z 2 3i 1` z 1 i 3 2i 1(*) .
 +Đặt w z 1 i , khi đó w 3 2i 1.
 Tập hợp các điểm biểu diễn số phức w z 1 i là đường tròn I;1 và w là khoảng cách từ 
 gốc tọa độ đến 1 điểm trên đường tròn. Do đó giá trị lớn nhất của w chính là đoạn OQ .
 w 1 32 22 1 13 .
 max
 2
Câu 7. Xét tất cả các số phức z thỏa mãn z 3i 4 1. Giá trị nhỏ nhất của z 7 24i nằm trong 
 khoảng nào?
 A. 0;1009 . B. 1009;2018 . C. 2018;4036 . D. 4036; .
 Lời giải
 Ta có 1 z 3i 4 z 3i 4 z 5 1 z 5 1 4 z 6 .
 2
 Đặt z0 4 3i z0 5, z0 7 24i .
 Trang 7 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG
 Lời giải
 Gọi z x yi , x, y ¡ . Theo giả thiết, ta có z 6 z 6 20 .
 2 2
 x 6 yi x 6 yi 20 x 6 y2 x 6 y2 20 .
 Gọi M x; y , F1 6;0 và F2 6;0 .
 Khi đó MF1 MF2 20 F1F2 12 nên tập hợp các điểm E là đường elip E có hai tiêu 
 điểm F1 và F2 . Và độ dài trục lớn bằng 20 .
 Ta có c 6 ; 2a 20 a 10 và b2 a2 c2 64 b 8.
 x2 y2
 Do đó, phương trình chính tắc của E là 1.
 100 64
 Suy ra max z OA OA' 10 khi z 10 và min z OB OB' 8 khi z 8i .
 Vậy M n 2 .
Câu 10. (THPT Quang Trung Đống Đa Hà Nội 2019) Cho số phức z thỏa mãn z 3 4i 2và 
 w 2z 1 i . Khi đó w có giá trị lớn nhất bằng
 A. 4 74 . B. 2 130 . C. 4 130 . D. 16 74 .
 Lời giải
 Theo bất đẳng thức tam giác ta có
 w 2z 1 i 2z 6 8i 7 9i 2z 6 8i 7 9i 4 130 .
 Vậy giá trị lớn nhất của w là 4 130 .
Câu 11. (THPT Quang Trung Đống Đa Hà Nội 2019) Xét số phức z và số phức liên hợp của nó có 
 điểm biểu diễn là M và M . Số phức z 4 3i và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn là 
 N và N . Biết rằng M , M , N , N là bốn đỉnh của hình chữ nhật. Tìm giá trị nhỏ nhất của 
 z 4i 5 .
 5 2 1 4
 A. . B. . C. . D. .
 34 5 2 13
 Lời giải
 Gọi z x yi , trong đó x, y ¡ . Khi đó z x yi, M x; y , M x; y .
 Ta đặt w z 4 3i x yi 4 3i 4x 3y 3x 4y i N 4x 3y;3x 4y . Khi đó 
 w z 4 3i 4x 3y 3x 4 y i N 4x 3y; 3x 4 y .
 Ta có M và M ; N và N từng cặp đối xứng nhau qua trục Ox . Do đó, để chúng tạo thành 
 một hình chữ nhật thì yM yN hoặc yM yN . Suy ra y 3x 4y hoặc y 3x 4y . Vậy tập 
 hợp các điểm M là hai đường thẳng: d1 : x y 0 và d2 :3x 5y 0 .
 Trang 9