Chuyên đề Ôn thi THPTQG - Chuyên đề 35: Phương trình bậc hai (Mức 7-8 điểm)

 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG
 Chuyên đề 35 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI - BẬC CAO SỐ PHỨC
 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG KHÁ MỨC 7-8 ĐIỂM
 Xét phương trình bậc hai az2 bz c 0, với a 0 có: b2 4ac .
 b
 Nếu 0 thì có nghiệm kép: z z .
 1 2 2a
 Nếu 0 và gọi  là căn bậc hai thì có hai nghiệm phân biệt: 
 b  b 
 z  z .
 1 2a 2 2a
 Lưu ý
 b c
Hệ thức Viét vẫn đúng trong trường phức £ : z z và z z .
 1 2 a 1 2 a
 Căn bậc hai của số phức z x yi là một số phức w và tìm như sau:
 + Đặt w z x yi a bi với x, y,a,b ¡ .
 2 2
 2 2 2 2 a b x
 + w x yi a bi a b 2abi x yi .
 2ab y
 + Giải hệ này với a,b ¡ sẽ tìm được a và b w z a bi .
Câu 1. (Đề Minh Họa 2017) Kí hiệu z1, z2 , z3 và z4 là bốn nghiệm phức của phương trình 
 4 2
 z z 12 0 . Tính tổngT z1 z2 z3 z4
 A. T 2 2 3 B. T 4 C. T 2 3 D. T 4 2 3
 Lời giải
 Chọn D
 z2 3 z i 3
 z4 z2 12 0 
 2 
 z 4 z 2
 T z1 z2 z3 z4 i 3 i 3 2 2 2 3 4
Câu 2. (KTNL GV THPT Lý Thái Tổ 2019) Tính modun của số phức w b ci , b,c ¡ biết số phức 
 i8 1 2i
 là nghiệm của phương trình z2 bz c 0 .
 1 i7
 A. 2 . B. 3 . C. 2 2 . D. 3 2 .
 Lời giải
 Chọn C
 8 2 4 4
 i8 1 2i i i 1 1
 +) Đặt z , ta có 
 o 7 3
 1 i 7 2
 i i .i i
 1 1 2i 2i 2i 1 i 
 z 1 i .
 o 1 i 1 i 1 i2
 2
 +) zo là nghiệm của đa thức P z z bz c zo là nghiệm còn lại của P z .
 b
 +) Ta có: z z b 2 b 2.
 o o a
 Trang 1 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG
 b2 2ac 2c 4c 2b2 4ac
 A. P . B. P . C. P . D. P .
 a2 a a a2
 Lời giải
 Chọn C
 Cách 1: Tự luận.
 2
 Ta có phương trình az bz c 0 có các nghiệm z1, z2 đều không là số thực, do đó 
 2 2 2
 b 4ac 0 . Ta có i 4ac b .
 b i 4ac b2
 z 
 1 2a
 * 
 b i 4ac b2
 z2 
 2a
 b2
 z z 2 
 1 2 2
 a 2 2 4c 4c
 Khi đó: P z z z z . Vậy P .
 2 1 2 1 2
 2 4ac b a a
 z1 z2 
 a2
 Cách 2: Trắc nghệm.
 2
 Cho a 1,b 0,c 1, ta có phương trình z 1 0 có 2 nghệm phức là z1 i, z2 i . Khi đó 
 2 2
 P z1 z2 z1 z2 4 .
 Thế a 1,b 0,c 1 lên các đáp án, ta thấy chỉ có đáp án C cho kết quả giống.
Câu 5. (THPT Yên Phong Số 1 Bắc Ninh -2019) Gọi S là tổng các số thực m để phương trình 
 z2 2z 1 m 0 có nghiệm phức thỏa mãn z 2. Tính S.
 A. S 6. B. S 10. C. S 3. D. S 7.
 Lời giải
 Chọn D
 2
 Ta có: z2 2z 1 m 0 z 1 m 1 
 m 1
 +) Với m 0 thì 1 z 1 m . Do z 2 1 m 2 (thỏa mãn).
 m 9
 +) Với m 0 thì 1 z 1 i m.
 Do z 2 1 i m 2 1 m 4 m 3 (thỏa mãn).
 Vậy S 1 9 3 7 .
Câu 6. (Chuyên Nguyễn Tất Thành Yên Bái 2019) Cho số phức z a bi a, b ¡ thỏa mãn 
 z 1 3i z i 0 . Tính S 2a 3b .
 A. S 6 . B. S 6 . C. S 5. D. S 5.
 Lời giải
 Ta có z 1 3i z i 0 a 1 b 3 a2 b2 i 0 .
 a 1 0 a 1
 .
 2 2 2
 b 3 a b 0 1 b b 3 * 
 Trang 3 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG
 Vậy M 2 .
 2
Câu 9. Gọi z1, z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 4z 5 0 . Giá trị của biểu thức 
 2019 2019
 z1 1 z2 1 bằng?
 A. 21009 . B. 21010 . C. 0 . D. 21010 .
 Lời giải
 Chọn D
 2 z 2 i z 1 1 i
 Ta có z 4z 5 0 .
 z 2 i z 1 1 i
 2 4 2 4
 Mà i2 1;i4 1; 1 i 2i; 1 i 4; 1 i 2i; 1 i 4;
 504 504
 2019 2019 1 i 4 . 1 i 2 1 i 1 i 2 . 1 i 2 . 1 i
 Suy ra z1 1 z2 1 
 504 504
 4 . 2i . 1 i 4 . 2i . 1 i 4504.2i. 1 i 1 i 4504.2i.2i 21010 .
 2
Câu 10. Cho phương trình z bz c 0 , có hai nghiệm z1, z2 thỏa mãn z2 z1 4 2i . Gọi A, B là các 
 điểm biểu diễn các nghiệm của phương trình z2 2bz 4c 0 . Tính độ dài đoạn AB .
 A. 8 5. B. 2 5. C. 4 5. D. 5.
 Lời giải:
 Chọn C
 2
 z bz c 0 có hai nghiệm z1, z2 thỏa mãn z2 z1 4 2i
 2 2 2 2
 Xét z2 z1 4 2i z2 z1 4z1z2 4 2i b 4c 4 2i 
 Khi đó phương trình z2 2bz 4c 0
 2 zA b 4 2i A b 4; 2 
 có b2 4c 4 2i b m ni,m,n ¡ 
 zB b 4 2i B b 4;2 
 Vậy AB b 4 b 4 2 2 2 2 4 5.
Câu 11. (Chu Văn An - Hà Nội - 2019) Cho số phức w và hai số thực a , b . Biết rằng w i và 2w 1 là 
 hai nghiệm của phương trình z2 az b 0 . Tổng S a b bằng
 5 5 1 1
 A. . B. . C. . D. .
 9 9 3 3
 Lời giải
 Chọn B
 Đặt w x yi x, y ¡ . Vì a, b ¡ và phương trình z2 az b 0 có hai nghiệm là 
 z1 w i , z2 2w 1 nên z1 z2 w i 2w 1 x yi i 2 x yi 1
 x 1
 x 2x 1 
 x y 1 i 2x 1 2yi 1 .
 y 1 2y y 
 3
 Trang 5 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG
 Khi đó, phương trình có hai nghiệm phức x1 2 i ; x2 2 i .
 Gọi A , B lần lượt là hai điểm biểu diễn của x ; x trên mặt phẳng Oxy ta có:
 1 2 
 A 2; ; B 2; .
 Ta có: AB 2 ; OA OB 4 .
 Tam giác OAB đều khi và chỉ khi AB OA OB 2 4 4 4 
 4 4 c 4 c 16
 . Vì 0 nên hay 4 .
 3 3 d 3 d 3
 Từ đó ta có c 16 ; d 3 .
 Vậy: P c 2d 22.
 10
Câu 15. (Đề thử nghiệm 2017) Xét số phức z thỏa mãn 1 2i z 2 i. Mệnh đề nào dưới đây 
 z
 đúng?
 3 1 1 3
 A. z 2. B. z 2. C. z . D. z .
 2 2 2 2
 Lời giải
 Chon D
 1
 Ta có z 1 z.
 z 2
 10 10 10 
 Vậy 1 2i z 2 i z 2 2 z 1 i .z z 2 2 z 1 i .z
 z 2 2 
 z z 
 2 2 10 2 10
 z 2 2 z 1 . z . Đặt z a 0.
 4 2
 z z
 2
 2 2 10 a 1
 a 2 2a 1 a4 a2 2 0 a 1 z 1.
 2 2
 a a 2
 2 2
Câu 16. Có bao nhiêu giá trị dương của số thực a sao cho phương trình z 3z a 2a 0 có nghiệm 
 phức z0 với phần ảo khác 0 thỏa mãn z0 3.
 A. 3 . B. 2 . C. 1. D. 4 .
 Lời giải
 Chọn C
 Ta có 3 4 a2 2a 3 4a2 8a.
 Phương trình z2 3z a2 2a 0 có nghiệm phức khi và chỉ khi
 0 3 4a2 8a 0 4a2 8a 3 0 * .
 Khi đó phương trình có hai nghiệm z1, z2 là hai số phức liên hợp của nhau và z1 z2 .
 Ta có
 Trang 7