Chuyên đề Ôn thi THPTQG - Chuyên đề 33: Xác định số phức, các phép toán số phức (Mức 9-10 điểm)

 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG
 Chuyên đề 33 XÁC ĐỊNH SỐ PHỨC - CÁC PHÉP TOÁN SỐ PHỨC
 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI – MỨC 9-10 ĐIỂM
 Số phức z a bi có phần thực là a, phần ảo là b. y
 2
 Số phức liên hợp z a bi và cần nhớ i 1. b M (a;b)
 Số phức z a bi có điểm biểu diễn là M (a;b).
Số phức liên hợp z a bi có điểm biểu diễn N(a; b). z a bi
 a
 x
Hai điểm M và N đối xứng nhau qua trục hoành Ox. O
 z z; z z z z ; z z z z ; z a bi
 b
 z z 2 2 N(a; b)
z.z z.z ; ; z.z a b
 z z 
 Hai số phức bằng nhau khi thực bằng thực và ảo bằng ảo.
 Mô đun của số phức z là: z a2 b2
 z z
 z.z z z 
 z z 
 z z z z z z z z z z z z 
 Phép cộng hai số phức Cho số phức z1 a b.i và z2 c d.i . Khi đó 
 z1 z2 a b.i c d.i a c b d .i.  Phép trừ hai số phức 
 z1 z2 a b.i c d.i a c b d .i.
 Phép nhân hai số phức z1.z2 a b.i . c d.i ac bd ad bc .i.
k.z k.(a bi) ka kbi
 Phép chia hai số phức
 z z .z z .z a b.i . c d.i ac bd bc ad i ac bd bc ad
 1 1 2 1 2 i.
z z .z 2 c2 d 2 c2 d 2 c2 d 2 c2 d 2
 2 2 2 z2
Dạng toán. Tìm số phức và các thuộc tính của nó thỏa điều kiện K ?
 Bước 1. Gọi số phức cần tìm là z x yi với x, y ¡ .
 Bước 2. Biến đổi điều kiện K (thường liên quan đến môđun, biểu thức có chứa z, z, z ,...) để đưa về 
 phương trình hoặc hệ phương trình x, y .
 Lưu ý
 Trong trường phức £ , cho số phức z x y.i có phần thực là x và phần ảo là y với x, y ¡ và i2 1. 
 Khi đó, ta cần nhớ:
  
 Mônđun của số phức z x y.i là z OM x2 y2 (thực)2 + (ảo)2.
 Số phức liên hợp của z x y.i là z x y.i (ngược dấu ảo).
 x1 x2
 Hai số phức z1 x1 y1.i và z2 x2 y2.i được gọi là bằng nhau khi và chỉ khi (hai số phức 
 y1 y2
 bằng nhau khi thực thực và ảo ảo).
 Dạng 1. Tìm số phức thỏa mãn điều kiện cho trước
Câu 1. (Đề Tham Khảo 2017) Hỏi có bao nhiêu số phức z thỏa mãn đồng thời các điều kiện z i 5 và 
 z2 là số thuần ảo?
 A. 4 B. 0 C. 2 D. 3
 Trang 1 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG
 Lời giải
 Chọn D
 Gọi số phức z x yi x, y ¡ , vì z 1 2 x 1 2 y2 2 x 1 yi là số thuần ảo nên theo 
 2 2
 x 2 y 1 8 (1)
 đề bài ta có hệ phương trình: 
 2 2
 x 1 y (2)
 Từ (2) suy ra: y (x 1)
  Với y x 1, thay vào (1) , ta được: x 2 2 x 2 2 8 x2 0 x 0.
 Suy ra: z i .
  Với y (x 1) , thay vào (1) , ta được:
 x 2 2 x 2 8 2x2 4x 4 0 x 1 3.
 Suy ra: z 1 3 2 3 i ; z 1 3 2 3 i
 Vậy có 3 số phức thỏa mãn.
Câu 5. (Mã 104 2018) Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z z 5 i 2i 6 i z ?
 A. 1 B. 3 C. 4 D. 2
 Lời giải
 Chọn B
 Ta có z z 5 i 2i 6 i z z 6 i z 5 z z 2 i 1 
 Lây môđun hai vế của 1 ta có:
 2 2
 z 6 1. z 25 z 2 z 2 
 Bình phương và rút gọn ta được:
 3 2
 z 4 12 z 3 11 z 2 4 z 4 0 z 1 z 11 z 4 0
 z 1
 z 1 z 10,9667...
 3 2 
 z 11 z 4 0 z 0,62...
 z 0,587...
 Do z 0 , nên ta có z 1, z 10,9667..., z 0,62... . Thay vào 1 ta có 3 số phức thỏa mãn 
 đề bài.
Câu 6. (Mã 103 2018) Có bao nhiêu số phức thỏa mãn z z 6 i 2i 7 i z ?
 A. 1 B. 4 C. 2 D. 3
 Lời giải
 Chọn D
 Đặt z a 0,a ¡ , khi đó ta có
 z z 6 i 2i 7 i z a z 6 i 2i 7 i z a 7 i z 6a ai 2i
 a 7 i z 6a a 2 i a 7 i z 6a a 2 i
 Trang 3 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG
 y2 9 y 3
 . Vậy z 10
 x 1 x 1
 z
Câu 9. (Mã105 2017) Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z 3i 13 và là số thuần ảo?
 z 2
 A. 0 B. 2 C. Vô số D. 1
 Lời giải
 Chọn B
 Gọi số phức z a bi, a,b ¡ 
 2
 Ta có z 3i 13 a bi 3i 13 a2 b 3 13
 a2 b2 6b 4 0 a2 b2 4 6b 1 
 z 2 2 2 a 2 bi 
 .
 1 1 1 2
 z 2 z 2 a 2 bi a 2 b2
 2 2
 a 2 b 2a 4 2b a2 b2 2a 2b
 2 2 i 2 2 i
 a 2 b2 a 2 b2 a 2 b2 a 2 b2
 a2 b2 2a 0 2 
 z a2 b2 2a 
 Do là số thuần ảo nên 0 a 2
 z 2 2 2
 a 2 b 
 b 0
 Thay 1 vào 2 ta có 4 6b 2a 0 a 3b 2 thay vào 1 ta có
 b 0(L)
 2 2 2 
 3b 2 b 4 6b 0 10b 6b 0 3 1
 b a 
 5 5
 Vậy có một số phức cần tìm.
Câu 10. (THPT Lê Quý Đôn Đà Nẵng 2019) Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn điều kiện z.z z 2 và 
 z 2?
 A. 2. B. 3 . C. 1. D. 4.
 Lời giải
 Đặt z x yi ( x ; y ¡ ; i2 1).
 2 2
 x y x yi 2 4 x yi 2
 Theo bài ra ta có: 2 2
 2 2 x y 4
 x y 2 
 2
 4 x y2 4 x 2
 2 2 
 x y 4 y 0
 Vậy có 1 số phức thỏa yêu cầu bài toán là z 2.
 Trang 5 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG
 éïì b = 3
 êï
 êí
 êï 5
 2 2 ï a = 7
 a b 3a 7 b 3 i 0 êîï 4 (a ³ ) .
 ê 3
 êì
 êï b = 3
 êí
 ëêîï a = 4
 Do a ¢ nên a 4 z 4 3i w 4 21i w 457
Câu 14. Cho số phức z a bi a,b ¡ thoả mãn z 4 i z 2i 5 1 i . Tính giá trị của biểu thức 
 T a b .
 A. T 2. B. T 3. C. T 1. D. T 1.
 Lời giải
 z 4 i z 2i 5 1 i a bi 4 i a bi 2i 5 1 i 
 a 4 bi 5 1 
 a b 2 i 5 2 
 Từ 1 và 2 , ta có a 4 bi a b 2 i a 4 2 b2 a2 b 2 2 b 2a 3 .
 2
 a 4 b2 5 a 2
 Kết hợp với 1 , ta được: 
 b 2a 3 b 1
 Vậy T a b 3.
Câu 15. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z3 2i z 2 0 .
 A. 4 B. 3 C. 2 D. 6
 Lời giải
 Chọn A
 z 0
 3 2 3 2 
 z 2i z 0 z 2izz 0 z z 2iz 0 2
 z 2iz 0 2 
 Gọi z x yi z x yi với x, y ¡ thay vào 2 có:
 x 0
 2 2
 2 2 x y 2y 0 2
 2 2 x y 2y 0 y 2y 0
 x y 2y 2x y 1 i 0 x 0 
 2x y 1 0 y 1
 y 1 
 2
 x 3 0
 x y 0
 x 0
 z 0
 y 2
 z 2i
 x 3 
 z 3 i
 y 1 
 z 3 i
 x 3
 y 1
 Trang 7