Chuyên đề Ôn thi THPTQG - Chuyên đề 31: Phương trình đường thẳng (Mức 9-10 điểm) - Phần 1

 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG
 Chuyên đề 31 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI MỨC 9-10 ĐIỂM
 Dạng 1. Bài toán liên quan đến mặt cầu – mặt phẳng – đường thẳng
Câu 1. (Mã 110 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 4;6;2 và B 2; 2;0 và 
 mặt phẳng P : x y z 0 . Xét đường thẳng d thay đổi thuộc P và đi qua B , gọi H là hình 
 chiếu vuông góc của A trên d . Biết rằng khi d thay đổi thì H thuộc một đường tròn cố định. 
 Tính bán kính R của đường tròn đó.
 A. R 3 B. R 2 C. R 1 D. R 6
 Lời giải
 Chọn D
 Gọi I là trung điểm của AB I 3;2;1 
 3 2 1
 d I; P 2 3
 3
 AB
 Gọi S là mặt cầu có tâm I 3;2;1 và bán kính R 3 2
 2
 Ta có H S . Mặt khác H P nên H C S  P 
 2 2
 Bán kính của đường tròn C là R R 2 d 2 I; P 3 2 2 3 6 .
Câu 2. Trong không gian Oxyz mặt phẳng P : 2x 6y z 3 0 cắt trục Oz và đường thẳng 
 x 5 y z 6
 d : lần lượt tại A và B . Phương trình mặt cầu đường kính AB là:
 1 2 1
 2 2 2 2 2 2
 A. x 2 y 1 z 5 36. B. x 2 y 1 z 5 9.
 2 2 2 2 2 2
 C. x 2 y 1 z 5 9. D. x 2 y 1 z 5 36.
 Lời giải
 Chọn B
 P Oz A 0;0;3 
 Tọa độ của B là nghiệm của hệ phương trình:
 2x 6y z 3 0 2x 6y z 3 0 x 4
 x 5 y z 6 2x y 10 0 y 2 B 4; 2;7 .Gọi I là trung điểm của 
 1 2 1 y 2z 12 0 z 7
 AB I 2; 1;5 IA 4 1 4 3.
 2 2 2
 Phương trình mặt cầu đường kính AB là: x 2 y 1 z 5 9.
Câu 3. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S : x2 y2 z2 4x 6y m 0 ( m là tham số) và 
 x 4 2t
 đường thẳng : y 3 t . Biết đường thẳng cắt mặt cầu S tại hai điểm phân biệt A, B sao 
 z 3 2t
 cho AB 8 . Giá trị của m là
 Trang 1 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG
 Lời giải
 Chọn B
 Mặt cầu S có tâm I 2;3;4 và bán kính R 14 .
 Ta có d I, 14 R tiếp xúc với S .
 Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên H 1;0;2 
  
 Gọi A Ox A a;0;0 và AH a 1;0; 2 
   
 Đường thẳng nằm trong , cắt trục Ox và tiếp xúc với S nên AH  n . Tức là
  
 a 1 0 4 0 a 5 AH 4;0; 2 cùng phương với v 2;0; 1 .
Câu 6. (Bình Dương - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng 
 2 2 2
 P : 2x 2y z 9 0 và mặt cầu S : x 3 y 2 z 1 100 . Mặt phẳng P cắt 
 mặt cầu S theo một đường tròn C . Tìm tọa độ tâm K và bán kính r của đường tròn C là
 A. K 3; 2;1 , r 10 . B. K 1;2;3 , r 8. C. K 1; 2;3 , r 8. D. K 1;2;3 , r 6 .
 Lời giải
 Mặt cầu S có tâm I 3; 2;1 ; R 10.
 6 4 1 9
 Khoảng cách từ I đến P là IK d I; P 6 .
 3
 x 3 2t
 Đường thẳng qua I 3; 2;1 vuông góc với P có phương trình tham số là y 2 2t khi đó 
 z 1 t
 x 3 2t
 y 2 2t
 Tọa độ tâm K là nghiệm của hệ phương trình K 1;2;3 .
 z 1 t
 2x 2y z 9 0
 Bán kính: r R2 IK 2 100 36 8 .
Câu 7. (Chuyên Thái Bình 2019) Trong không gian hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 1;1;1 , B 2;2;1 
 và mặt phẳng P : x y 2z 0. Mặt cầu S thay đổi qua A, B và tiếp xúc với P tại H . Biết 
 H chạy trên 1 đường tròn cố định. Tìm bán kính của đường tròn đó.
 3
 A. 3 2 . B. 2 3 . C. 3 . D. 
 2
 Lời giải
 Trang 3 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG
Câu 9. (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu x2 y2 z2 9 
 x 1 t
 và điểm M x0 ; y0 ; z0 d : y 1 2t . Ba điểm A , B , C phân biệt cùng thuộc mặt cầu sao cho 
 z 2 3t
 MA , MB , MC là tiếp tuyến của mặt cầu. Biết rằng mặt phẳng ABC đi qua điểm D 1;1;2 . 
 2 2 2
 Tổng T x0 y0 z0 bằng
 A. 30 . B. 26 . C. 20 . D. 21.
 Lời giải
 Chọn B
 x 1 t
 * Ta có: M x0 ; y0 ; z0 d : y 1 2t x0 y0 z0 4 .
 z 2 3t
 * Mặt cầu có phương trình x2 y2 z2 9 tâm O 0;0;0 , bán kính R 3.
 * MA , MB , MC là tiếp tuyến của mặt cầu MO  ABC .
  
 ABC đi qua D 1;1;2 có véc tơ pháp tuyến OM x0 ; y0 ; z0 có phương trình dạng:
 x0 x 1 y0 y 1 z0 z 2 0.
 * MA là tiếp tuyến của mặt cầu tại A MOA vuông tại A OH.OM OA2 R2 9 .
 Gọi H là hình chiếu của O lên ABC OH OM HM , ta có:
 x0 y0 2z0 x0 y0 z0 z0 z0 4
 d O; ABC OH OH.OM z0 4 .
 2 2 2 2 2 2 OM
 x0 y0 z0 x0 y0 z0
 z0 4 9 z0 5 z0 13 .
 z 4 9
 * Với z 5 M 0; 1;5 T 26 nhận do: OM 26;OH 0 ;
 0 OM 26
 17
 pt ABC : y 5z 9 0 MH d M ; ABC .
 26
 Trang 5 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG
 x 2 t
 Vậy phương trình của là y 1 t .
 z 3
Câu 12. (Chuyên Lê Quý Đôn – Điện Biên 2019) Trong không gian Oxyz cho mặt cầu 
 x 1 2t
 2 2 
 x 3 y 1 z2 4 và đường thẳng d : y 1 t ,t R . Mặt phẳng chứa d và cắt ( S ) 
 z t
 theo một đường tròn có bán kính nhỏ nhất có phương trình là
 A. y z 1 0 . B. x 3 y 5 z 2 0 . C. x 2 y 3 0 . D. 3x 2 y 4z 8 0 .
 Lời giải
 Chon A
 Gọi H là hình chiếu vuông góc của tâm cầu I 3;1;0 lên d , từ đó ta tìm được H 3;0; 1 . Thấy 
  
 IH R nên d cắt ( S ) . Vậy mặt phẳng cần tìm nhận IH 0; 1; 1 làm VTPT nên pt mặt 
 phẳng là y z 1 0 .
Câu 13. (Đại học Hồng Đức –Thanh Hóa 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm
 E 1;1;1 , mặt phẳng P : x 3y 5z 3 0 và mặt cầu S : x2 y2 z2 4 . Gọi là đường 
 thẳng qua E , nằm trong mặt phẳng P và cắt S tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho AB 2 . 
 Phương trình đường thẳng là
 x 1 2t x 1 2t x 1 2t x 1 2t
 A. y 2 t . B. y 1 t . C. y 3 t . D. y 1 t .
 z 1 t z 1 t z 5 t z 1 t
 Lời giải
 Chọn D
 I
 Δ
 A H R
 B
 S : x2 y2 z2 4 Tâm I 0;0;0 ; bán kính R 2 .
 P : x 3y 5z 3 0 véctơ pháp tuyến của P : nP 1; 3; 5 .
 AB
 Gọi H là hình chiếu của I lên AH BH 1.
 2
 Xét IAH vuông tại H IH IA2 AH 2 4 1 3 .
  
 Mặt khác ta có IE 1;1;1 IE 3 IH H  E IE  .
 Đường thẳng đi qua E 1;1;1 ; vuông góc với IE và chứa trong P nên:
  
 Véctơ chỉ phương của : n nP ;IE 8;4;4 .
 véctơ u 2; 1; 1 cũng là véctơ chỉ phương của .
 Trang 7