Chuyên đề Ôn thi THPTQG - Chuyên đề 3: Góc trong không gian

 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG
 Chuyên đề 3 HHKG - GÓC TRONG KHÔNG GIAN
 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ – GIỎI
Dạng 1. Góc của đường thẳng với đường thẳng
Để tính góc giữa hai đường thẳng d1,d2 trong không gian ta có thể thực hiện theo hai cách
Cách 1. Tìm góc giữa hai đường thẳng d1,d2 bằng cách chọn một điểm O thích hợp ( O thường nằm trên 
 một trong hai đường thẳng). d1
 d'1
 O
 d'2
 d2
 ' '
Từ O dựng các đường thẳng d1,d2 lần lượt song song ( có thể tròng nếu O nằm trên một trong hai đường 
 ' '
 thẳng) với d1 và d2 . Góc giữa hai đường thẳng d1,d2 chính là góc giữa hai đường thẳng d1,d2 .
Lưu ý 1: Để tính góc này ta thường sử dụng định lí côsin trong tam giác
 b2 c2 a2
cos A .
 2bc
   
Cách 2. Tìm hai vec tơ chỉ phương u1,u2 của hai đường thẳng d1,d2
   
 u1.u2
Khi đó góc giữa hai đường thẳng d1,d2 xác định bởi cos d1,d2   .
 u1 u2
     
Lưu ý 2: Để tính u1u2 , u1 , u2 ta chọn ba vec tơ a,b,c không đồng phẳng mà có thể tính được độ dài và góc 
   
 giữa chúng,sau đó biểu thị các vec tơ u1,u2 qua các vec tơ a,b,c rồi thực hiện các tính toán.
Câu 1. (Đề Tham Khảo 2018) Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và 
 OA OB OC . Gọi M là trung điểm của BC (tham khảo hình vẽ bên dưới). Góc giữa hai 
 đường thẳng OM và AB bằng
 A. 450 B. 900 C. 300 D. 600
 Lời giải
 Chọn D
 Trang 1 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG
 B' C'
 A' D'
 C
 B
 A D
 A. 90 . B. 30 . C. 60 . D. 45.
 Lời giải
 Vì ABCD là hình vuông nên BD  AC .
 Mặt khác AA  ABCD BD  AA .
 BD  AC
 Ta có BD  AA C BD  A C .
 BD  AA'
 Do đó góc giữa A C và BD bằng 90 .
Câu 4. (Chuyên KHTN 2019) Cho tứ diện ABCD có AB CD 2a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm 
 AD và BC . Biết MN a 3 , góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng.
 A. 450 . B. 900 . C. 600 . D. 300 .
 Lời giải
 Gọi P là trung điểm AC , ta có PM //CD và PN //AB , suy ra ·AB,CD P·M , PN .
 Dễ thấy PM PN a .
 PM 2 PN 2 MN 2 a2 a2 3a2 1
 Xét PMN ta có cosM· PN 
 2PM.PN 2.a.a 2
 M· PN 1200 ·AB,CD 1800 1200 600 .
Câu 5. (Chuyên Lương Văn Chánh Phú Yên 2019) Cho hình lập phương ABCD.A B C D ; gọi M là 
 trung điểm của B C . Góc giữa hai đường thẳng AM và BC bằng
 A. 45. B. 90 . C. 30 . D. 60 .
 Lời giải
 Trang 3 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG
 Ta có BC a 2 nên tam giác ABC vuông tại A . Vì SA SB SC a nên hình chiếu vuông 
 góc của S lên ABC trùng với tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .
 Tam giác ABC vuông tại A nên I là trung điểm của BC .
   
   AB.SC
 Ta có cos AB, SC cos AB, SC .
 AB.SC
        1   1 a2
 AB.SC AB SI IC AB.SI BA.BC BA.BC.cos 45 .
 2 2 2
 a2
 1
 cos AB, SC 2 ·AB, SC 60 .
 a2 2
   
   AB.SC
 Cách 2: cos AB, SC cos AB, SC 
 AB.SC
          a2
 Ta có AB.SC SB SA SC SB.SC SA.SC SB.SC.cos90 SA.SC.cos60 .
 2
 a2
 2 1
 Khi đó cos AB, SC 
 a2 2
Câu 7. (Chuyên Đh Vinh 2018) Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A B C có AB a và AA 2 a . 
 Góc giữa hai đường thẳng AB và BC bằng
 A C
 B
 A' C'
 B'
 A. 60 . B. 45. C. 90 . D. 30 .
 Lời giải
 A C
 B
 A' C'
 B'
               
 Ta có AB .BC AB BB BC CC AB.BC AB.CC BB .BC BB .CC 
         a2 3a2
 AB.BC AB.CC BB .BC BB .CC 0 0 2a2 .
 2 2
 Trang 5 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG
Câu 10. (Cụm 5 Trường Chuyên - ĐBSH - 2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, 
 AB 2a , BC a . Hình chiếu vuông góc H của đỉnh S trên mặt phẳng đáy là trung điểm của 
 cạnh AB , góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng 600 . Tính cosin góc giữa hai đường 
 thẳng SB và AC
 2 2 2 2
 A. . B. . C. . D. .
 7 35 5 7
 Lời giải
 S
 D
 A
 H
 B C
 SC, ABCD SC,CH S· CH 600 .
   
 SB.AC
 cos SB, AC 
 SB.AC
               
 SB.AC SH HB AB BC SH.AB SH.BC HB.AB HB.BC
     1
 HB.AB HB.BC AB2 2a2
 2
 AC a 5 , CH a2 a2 a 2 , SH CH.tan S· CH a 6 .
 2
 SB SH 2 HB2 a 6 a2 a 7 .
   
 SB.AC 2a2 2
 cos SB, AC .
 SB.AC a 7.a 5 35
Câu 11. (Chuyên Thái Bình - 2018) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, 
 E là điểm đối xứng của D qua trung điểm SA . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AE và 
 BC . Góc giữa hai đường thẳng MN và BD bằng
 A. 90 . B. 60 . C. 45. D. 75 .
 Lời giải
 Trang 7 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG
Câu 13. (Sở Quảng Nam - 2018) Cho hình lăng trụ ABC.A B C có đáy ABC là tam giác vuông tại A , 
 AB a , AC a 3 . Hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng ABC là trung điểm H của 
 BC , A H a 3 . Gọi là góc giữa hai đường thẳng A B và B C . Tính cos .
 1 6 6 3
 A. cos . B. cos . C. cos . D. cos .
 2 8 4 2
 Lời giải
 A' a 3 C'
 B'
 E C
 A
 a H
 B
 K
 D
    
 Gọi E là trung điểm của AC ; D và K là các điểm thỏa BD HK A B .
 Ta có B K  ABC và B D / / A B A B, B C B D, B C D· B C .
 2
 Ta tính được BC 2a BH a ; B D A B a 3 a2 2a.
 3a2 9a2
 CD AC 2 AD2 3a2 4a2 a 7 ; CK CE 2 EK 2 a 3.
 4 4
 B C B K 2 CK 2 3a2 3a2 a 6.
 B D2 B C 2 CD2 4a2 6a2 7a2 6
 cosC· B D .
 2.B D.B C 2.2a.a 6 8
Câu 14. (Sở Yên Bái - 2018) Cho tứ diện đều ABCD , M là trung điểm của cạnh BC . Tính giá trị của 
 cos AB, DM .
 3 3 1 2
 A. . B. . C. . D. .
 2 6 2 2
 Lời giải
 Giả sử cạnh của tứ diện đều bằng a.
 Gọi N là trung điểm của AC.
 · ·
 Khi đó: (AB,DM ) = (MN,DM )
 Trang 9