Chuyên đề Ôn thi THPTQG - Chuyên đề 28: Hệ trục tọa độ (Mức 7-8 điểm)

 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG
 Chuyên đề 28 HỆ TRỤC TỌA ĐỘ
 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ MỨC 7-8 ĐIỂM
 Lý thuyết chung
 1. Hệ trục tọa độ Oxyz:
 ▪ Hệ trục gồm ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc nhau.
 ▪ Trục Ox : trục hoành, có vectơ đơn vị i (1;0;0) .
 ▪ Trục Oy : trục tung, có vectơ đơn vị j (0;1;0) .
 ▪ Trục Oz : trục cao, có vectơ đơn vị k (0;0;1). 
 ▪ Điểm O(0;0;0) là gốc tọa độ.
 2. Tọa độ vectơ: Vectơ u xi y j zk u (x; y; z) .
 Cho a (a1;a2 ;a3 ), b (b1;b2 ;b3 ) . Ta có:
▪ a b (a1 b1; a2 b2 ; a3 b3 ) ▪ a cùng phương 
▪ ka (ka1; ka2 ; ka3 ) b a kb (k R)
 a kb
 a1 b1 1 1
 a1 a2 a3
▪ a b a b a2 kb2 , (b1, b2 , b3 0).
 2 2 b b b
 a kb 1 2 3
 a3 b3 3 3
 2
 2 2 2 2 2 2 2
▪ a.b a1.b1 a2.b2 a3.b3 ▪ a a1 a2 a2 ▪ a a a1 a2 a3
 a.b a b a b a b
 ▪ cos(a, b) 1 1 2 2 3 3
▪ a  b a.b 0 a1b1 a2b2 a3b3 0 2 2 2 2 2 2
 a . b a1 a2 a3 . b1 b2 b3
  
3. Tọa độ điểm: M (x; y; z) OM (x; y; z) . Cho A(xA; yA; zA ) , B(xB ; yB ; zB ) , C(xC ; yC ; zC ) , ta có:
  
▪ AB (x x ; y y ; z z ) 2 2 2
 B A B A B A ▪ AB (xB xA ) (yB yA ) (zB zA )
▪ Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB: ▪ Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC: 
 x x y y z z x x x y y y z z z 
 M A B ; A B ; A B . G A B C ; A B C ; A B C .
 2 2 2 3 3 3 
 QUY TẮC CHIẾU ĐẶC BIỆT
 Chiếu điểm trên trục tọa độ Chiếu điểm trên mặt phẳng tọa độ
 Chieáu vaøo Ox Chieáu vaøo Oxy
▪ Điểm M(xM ; yM ;zM ) ¾(G¾iöõ n¾guy¾eân x¾®) M1 (xM ;0;0) ▪ Điểm M(xM ; yM ;zM ) ¾(G¾iöõ n¾guy¾eân x¾, y®) M1 (xM ; yM ;0)
 Chieáu vaøo Oy Chieáu vaøo Oyz
▪ Điểm M(xM ; yM ;zM ) ¾(G¾iöõ n¾guy¾eân y¾®) M2 (0; yM ;0) ▪ Điểm M(xM ; yM ;zM ) ¾(G¾iöõ n¾guy¾eân y¾, z®) M2 (0; yM ;zM )
 Chieáu vaøo Oz Chieáu vaøo Oxz
▪ Điểm M(xM ; yM ;zM ) ¾(G¾iöõ n¾guy¾eân z¾®) M3 (0;0;zM ) ▪ Điểm M(xM ; yM ;zM ) ¾(G¾iöõ n¾guy¾eânx¾, z®) M3 (xM ;0;zM )
 Đối xứng điểm qua trục tọa độ Đối xứng điểm qua mặt phẳng tọa độ
 Ñoái xöùng qua Ox Ñoái xöùng qua Oxy
▪ M(xM ; yM ;zM ) ¾(G¾iöõ n¾guy¾eân x¾; ñoå¾i daáu¾y, ¾z®) M1 (xM ;- yM ;- z▪M )M(xM ; yM ;zM ) ¾(G¾iöõ n¾guy¾eân x¾, y; ñ¾oåi d¾aáu ¾z®) M1 (xM ; yM ;- zM )
 Ñoái xöùng qua Oy Ñoái xöùng qua Oxz
▪ M(xM ; yM ;zM ) ¾(G¾iöõ n¾guy¾eân y¾; ñoå¾i daáu¾x, ¾z®) M2 (- xM ; yM ;- z▪M )M(xM ; yM ;zM ) ¾(G¾iöõ n¾guy¾eân x¾, z; ñ¾oåi d¾aáu ¾y®) M2 (xM ;- yM ;zM )
 Ñoái xöùng qua Oz Ñoái xöùng qua Oyz
▪ M(xM ; yM ;zM ) ¾(G¾iöõ n¾guy¾eân z¾; ñoåi¾daáu¾x, ¾y®) M3 (- xM ;- yM ;z▪M )M(xM ; yM ;zM ) ¾(G¾iöõ n¾guy¾eân y¾, z; ñ¾oåi d¾aáu ¾x®) M3 (- xM ; yM ;zM )
 4. Tích có hướng của hai vectơ:
 Trang 1 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG
   x 2 y 1 4 x 4
 A, B, M thẳng hàng AB, AM cùng phương .
 3 4 2 y 7
Câu 4. (THPT Quỳnh Lưu 3 Nghệ An -2019) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 2; 2;1 , 
 B 0;1;2 . Tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng Oxy sao cho ba điểm A , B , M thẳng hàng là
 A. M 4; 5;0 . B. M 2; 3;0 . C. M 0;0;1 . D. M 4;5;0 .
 Lời giải
   
 Ta có M Oxy M x; y;0 ; AB 2;3;1 ; AM x 2; y 2; 1 .
   x 2 y 2 1 x 4
 Để A , B , M thẳng hàng thì AB và AM cùng phương, khi đó: .
 2 3 1 y 5
 Vậy M 4; 5;0 .
Câu 5. (THPT Yên Khánh - Ninh Bình - 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho các véc tơ 
 u 2i 2 j k , v m;2;m 1 với m là tham số thực. Có bao nhiêu giá trị của m để u v .
 A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 3 .
 Lời giải
 Ta có u 2; 2;1 
 Khi đó u 22 2 2 12 3 và v m2 22 m 1 2 2m2 2m 5
 2 2 m 1
 Do đó u v 9 2m 2m 5 m m 2 0 
 m 2
 Vậy có 2 giá trị của m thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 6. (Chuyen ĐHSP Hà Nội -2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình hộp 
 ABCD.A B C D có A 0;0;0 , B a;0;0 ; D 0;2a;0 , A 0;0;2a với a 0. Độ dài đoạn 
 thẳng AC là
 3
 A. a . B. 2 a . C. 3 a . D. a .
 2
 Lời giải
    
 Ta có AB a;0;0 ; AD 0;2a;0 ; AA 0;0;2a .
      
 Theo quy tắc hình hộp ta có AB AD AA AC AC a;2a;2a .
  
 Suy ra AC AC a2 2a 2 2a 2 3 a .
 Vậy độ dài đoạn thẳng AC 3 a .
Câu 7. (Chuyên Lê Quý Dôn - Dà Nẵng - 2018) Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho 
     
 a 2;3;1 , b 1;5;2 , c 4; 1;3 và x 3;22;5 . Đẳng thức nào đúng trong các 
 đẳng thức sau?
 Trang 3 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG
 Lời giải
  12
 BD 8; 4; 8 BD 12 AB 6 2 .
 2
 Gọi M là trung điểm AB MC 3 10 .
    
 CA CB 2CM 2CM 6 10 .
 Dạng 1.2 Tìm tọa độ điểm
Câu 11. (THPT Cù Huy Cận 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các điểm A 1;0;3 , 
 B 2;3; 4 , C 3;1;2 . Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành.
 A. D 4; 2;9 . B. D 4;2;9 . C. D 4; 2;9 . D. D 4;2; 9 .
 Lời giải
 Gọi D x; y; z . Để ABCD là hình bình hành
 x 4
   
 AB DC 1;3; 7 3 x;1 y;2 z y 2 D 4; 2;9 .
 z 9
Câu 12. (THPT - Yên Định Thanh Hóa 2019) Trong không gian Oxyz , cho ba điểm 
 A 1;0;0 , B 1;1;0 ,C 0;1;1 . Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD (theo thứ tự các đỉnh) 
 là hình bình hành?
 A. D 2;0;0 . B. D 1;1;1 . C. D 0;0;1 . D. D 0;2;1 .
 Lời giải
 Gọi D x; y; z .
   
 Tứ giác ABCD là hình bình hành khi và chỉ AD BC .
   
 Ta có AD x 1; y; z và BC 1;0;1 .
 Suy ra x 0; y 0; z 1 .
 Trang 5 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG
Câu 16. (KTNL Gia Bình 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC với 
 A 1;2; 3 , B 2;5;7 , C 3;1;4 . Điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành là
 8 8 
 A. D 6;6;0 B. D 0; ; C. D 0;8;8 D. D 4; 2; 6 
 3 3 
 Lời giải
 Chọn D
 1 3 xD xD 4
   
 Tứ giác ABCD là hình bình hành AB DC 3 1 yD yD 2
 10 4 zD zD 6
 Vậy D 4; 2; 6 .
Câu 17. (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Cho tam giác ABC có A 1; 2;0 , B 2;1; 2 , 
 C 0;3;4 . Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành.
 A. 1;0; 6 . B. 1;6;2 . C. 1;0;6 . D. 1;6; 2 .
 Lời giải
         
 Ta có: ABCD là hình bình hành OA OC OB OD OD OA OC OB
 xD xA xC xB xD 1 0 2
 yD yA yC yB yD 2 3 1 D 1;0;6 .
 zD zA zC zB zD 0 4 2
Câu 18. (Liên Trường Thpt Tp Vinh Nghệ An 2019) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm 
 A 3;1; 2 , B 2; 3;5 . Điểm M thuộc đoạn AB sao cho MA 2MB , tọa độ điểm M là
 7 5 8 3 17 
 A. ; ; . B. 4;5; 9 . C. ; 5; . D. 1; 7;12 .
 3 3 3 2 2 
 Lời giải
 Gọi M x;y;z . Vì M thuộc đoạn AB nên:
 7
 x 
 3
 3 x 2 2 x 
   5
 MA 2MB 1 y 2 3 y y 
 3
 2 z 2 5 z 8
 z 
 3
Câu 19. (THPT Minh Khai Hà Tĩnh 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm 
   
 A 0;1; 2 và B 3; 1;1 . Tìm tọa độ điểm M sao cho AM 3AB.
 A. M 9; 5;7 . B. M 9;5;7 .
 C. M 9;5; 7 . D. M 9; 5; 5 .
 Lời giải
   
 Gọi M x; y; z . Ta có: AM x; y 1; z 2 ; AB 3; 2;3 .
 Trang 7