Chuyên đề Ôn thi THPTQG - Chuyên đề 28: Hệ trục tọa độ (Mức 5-6 điểm)

 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG
 Chuyên đề 28 HỆ TRỤC TỌA ĐỘ
 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH TRUNG BÌNH MỨC 5-6
 Lý thuyết chung
 1. Hệ trục tọa độ Oxyz:
 ▪ Hệ trục gồm ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc nhau.
 ▪ Trục Ox : trục hoành, có vectơ đơn vị i (1;0;0) .
 ▪ Trục Oy : trục tung, có vectơ đơn vị j (0;1;0) .
 ▪ Trục Oz : trục cao, có vectơ đơn vị k (0;0;1). 
 ▪ Điểm O(0;0;0) là gốc tọa độ.
 2. Tọa độ vectơ: Vectơ u xi y j zk u (x; y; z) .
 Cho a (a1;a2 ;a3 ), b (b1;b2 ;b3 ) . Ta có:
▪ a b (a1 b1; a2 b2 ; a3 b3 ) ▪ a cùng phương 
▪ ka (ka1; ka2 ; ka3 ) b a kb (k R)
 a kb
 a1 b1 1 1
 a1 a2 a3
▪ a b a b a2 kb2 , (b1, b2 , b3 0).
 2 2 b b b
 a kb 1 2 3
 a3 b3 3 3
 2
 2 2 2 2 2 2 2
▪ a.b a1.b1 a2.b2 a3.b3 ▪ a a1 a2 a2 ▪ a a a1 a2 a3
 a.b a b a b a b
 ▪ cos(a, b) 1 1 2 2 3 3
▪ a  b a.b 0 a1b1 a2b2 a3b3 0 2 2 2 2 2 2
 a . b a1 a2 a3 . b1 b2 b3
  
3. Tọa độ điểm: M (x; y; z) OM (x; y; z) . Cho A(xA; yA; zA ) , B(xB ; yB ; zB ) , C(xC ; yC ; zC ) , ta có:
  
▪ AB (x x ; y y ; z z ) 2 2 2
 B A B A B A ▪ AB (xB xA ) (yB yA ) (zB zA )
▪ Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB: ▪ Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC: 
 x x y y z z x x x y y y z z z 
 M A B ; A B ; A B . G A B C ; A B C ; A B C .
 2 2 2 3 3 3 
 QUY TẮC CHIẾU ĐẶC BIỆT
 Chiếu điểm trên trục tọa độ Chiếu điểm trên mặt phẳng tọa độ
 Chieáu vaøo Ox Chieáu vaøo Oxy
▪ Điểm M(xM ; yM ;zM ) ¾(G¾iöõ n¾guy¾eân x¾®) M1 (xM ;0;0) ▪ Điểm M(xM ; yM ;zM ) ¾(G¾iöõ n¾guy¾eân x¾, y®) M1 (xM ; yM ;0)
 Chieáu vaøo Oy Chieáu vaøo Oyz
▪ Điểm M(xM ; yM ;zM ) ¾(G¾iöõ n¾guy¾eân y¾®) M2 (0; yM ;0) ▪ Điểm M(xM ; yM ;zM ) ¾(G¾iöõ n¾guy¾eân y¾, z®) M2 (0; yM ;zM )
 Chieáu vaøo Oz Chieáu vaøo Oxz
▪ Điểm M(xM ; yM ;zM ) ¾(G¾iöõ n¾guy¾eân z¾®) M3 (0;0;zM ) ▪ Điểm M(xM ; yM ;zM ) ¾(G¾iöõ n¾guy¾eânx¾, z®) M3 (xM ;0;zM )
 Đối xứng điểm qua trục tọa độ Đối xứng điểm qua mặt phẳng tọa độ
 Ñoái xöùng qua Ox Ñoái xöùng qua Oxy
▪ M(xM ; yM ;zM ) ¾(G¾iöõ n¾guy¾eân x¾; ñoå¾i daáu¾y, ¾z®) M1 (xM ;- yM ;- zM▪) M(xM ; yM ;zM ) ¾(G¾iöõ n¾guy¾eân x¾, y; ñ¾oåi d¾aáu ¾z®) M1 (xM ; yM ;- zM )
 Ñoái xöùng qua Oy Ñoái xöùng qua Oxz
▪ M(xM ; yM ;zM ) ¾(G¾iöõ n¾guy¾eân y¾; ñoå¾i daáu¾x, ¾z®) M2 (- xM ; yM ;- zM▪) M(xM ; yM ;zM ) ¾(G¾iöõ n¾guy¾eân x¾, z; ñ¾oåi d¾aáu ¾y®) M2 (xM ;- yM ;zM )
 Ñoái xöùng qua Oz Ñoái xöùng qua Oyz
▪ M(xM ; yM ;zM ) ¾(G¾iöõ n¾guy¾eân z¾; ñoåi¾daáu¾x, ¾y®) M3 (- xM ;- yM ;zM▪) M(xM ; yM ;zM ) ¾(G¾iöõ n¾guy¾eân y¾, z; ñ¾oåi d¾aáu ¾x®) M3 (- xM ; yM ;zM )
 4. Tích có hướng của hai vectơ:
 Trang 1 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG
Câu 5. (Mã 103 - 2020 Lần 1) Trong không gian Oxyz , hình chiếu vuông góc của điểm A 3;5;2 trên 
 trục Ox có tọa độ là
 A. 0;5;2 . B. 0;5;0 . C. 3;0;0 . D. 0;0;2 .
 Lời giải
 Chọn C
 Hình chiếu vuông góc của điểm A 3;5;2 trên trục Ox có tọa độ là 3;0;0 .
Câu 6. (Mã 104 - 2020 Lần 1) Trong không gian Oxyz , hình chiếu vuông góc của điểm A(8;1;2) trên 
 trục Ox có tọa độ là
 A. (0;1;0) .B. (8;0;0) .C. (0;1;2) . D. (0;0;2) .
 Lời giải
 Chọn B
 Hình chiếu vuông góc của điểm A(8;1;2) trên trục Ox là (8;0;0) .
Câu 7. (Mã 101 - 2020 Lần 2) Trong không gian Oxyz . Điểm nào sau đây là hình chiếu vuông góc của 
 điểm A(1;4;2) trên mặt phẳng Oxy ?
 A. (0;4;2) .B. (1;4;0) . C. (1;0;2) . D. (0;0;2) .
 Lời giải
 Chọn B
 Ta có hình chiếu của A(1;4;2) trên mặt phẳng Oxy là (1;4;0) .
Câu 8. (Mã 103 - 2020 Lần 2) Trong không gian Oxyz điểm nào dưới đây là hình chiếu vuông góc của 
 điểm A 3;5;2 trên mặt phẳng Oxy ?
 A. M 3;0;2 B. 0;0;2 C. Q 0;5;2 D. N 3;5;0 
 Lời giải
 Chọn D
 Hình chiếu vuông góc của điểm A 3;5;2 trên mặt phẳng Oxy là điểm N 3;5;0 .
Câu 9. (Mã 102 - 2020 Lần 2) Trong không gian Oxyz , điểm nào dưới đây là hình chiếu vuông góc của 
 điểm A 1;2;3 trên mặt phẳng Oxy .
 A. Q 1;0;3 B. P 1;2;0 C. M 0;0;3 D. N 0;2;3 
 Lời giải
 Chọn B
 Ta có hình chiếu vuông góc của điểm A 1;2;3 trên mặt phẳng Oxy là điểm P 1;2;0 .
Câu 10. (Mã 104 - 2020 Lần 2) Trong không gian Oxyz , điểm nào dưới đây là hình chiếu vuông góc của 
 điểm A 3;4;1 trên mặt phẳng Oxy ?
 A. Q 0;4;1 .B. P 3;0;1 .C. M 0;0;1 .D. N 3;4;0 .
 Lời giải
 Chọn D
 Hình chiếu vuông góc của điểm A 3;4;1 trên mặt phẳng Oxy là điểm N 3;4;0 .
Câu 11. (Mã 104 - 2019) Trong không gian Oxyz , hình chiếu vuông góc của điểm M 3;1; 1 trên trục 
 Oy có tọa độ là
 Trang 3 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG
 Lời giải
 Hình chiếu của M 4;5;6 xuống mặt phẳng Oyz là M 0;5;6 .
Câu 18. (Chuyên Hạ Long 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm M x; y; z . 
 Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
 A. Nếu M đối xứng với M qua mặt phẳng Oxz thì M x; y; z .
 B. Nếu M đối xứng với M qua Oy thì M x; y; z .
 C. Nếu M đối xứng với M qua mặt phẳng Oxy thì M x; y; z .
 D. Nếu M đối xứng với M qua gốc tọa độ O thì M 2x;2 y;0 .
 Lời giải
 Nếu M đối xứng với M qua mặt phẳng Oxz thì M x; y; z . Do đó phương án Asai.
 Nếu M đối xứng với M qua Oy thì M x;y; z . Do đó phương án B sai.
 Nếu M đối xứng với M qua gốc tọa độ O thì M x; y; z . Do đó phương án D sai.
Câu 19. (THCS - THPT Nguyễn Khuyến 2019) Trong không gian Oxyz , tọa độ điểm đối xứng của 
 M 1;2;3 qua mặt phẳng Oyz là
 A. 0;2;3 . B. 1; 2; 3 . C. 1;2;3 .D. 1;2; 3 .
 Lời giải
 Gọi H là hình chiếu của M lên mặt phẳng Oyz H 0;2;3 
 Gọi M ' là điểm đối xứng với M 1;2;3 qua mặt phẳng Oyz 
 H là trung điểm của MM ' M ' 1;2;3 .
Câu 20. (Chuyên Hạ Long 2018) Trong không gian Oxyz , cho điểm A 2; 3;5 . Tìm tọa độ A là điểm 
 đối xứng với A qua trục Oy .
 A. A 2;3;5 .B. A 2; 3; 5 . C. A 2; 3;5 .D. A 2; 3; 5 .
 Lời giải
 Gọi H là hình chiếu vuông góc của A 2; 3;5 lên Oy . Suy ra H 0; 3;0 
 Khi đó H là trung điểm đoạn AA .
 xA 2xH xA 2
 yA 2yH yA 3 A 2; 3; 5 .
 zA 2zH zA 5
Dạng 1.2 Xác định tọa độ vectơ, độ dài vec tơ
  
Câu 21. (Mã 102 2018) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 1;1; 2 và B 2;2;1 . Vectơ AB có 
 tọa độ là
 A. 1; 1; 3 B. 3;1;1 C. 1;1;3 D. 3;3; 1 
 Lời giải
 Chọn C
   
 AB 2 1;2 1;1 2 hay AB 1;1;3 .
Câu 22. (Đề Tham Khảo 2019) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A 1;1; 1 và B 2;3;2 . Vectơ 
  
 AB
 Trang 5