Chuyên đề Ôn thi THPTQG - Chuyên đề 27: Ứng dụng tích phân (Mức 9-10 điểm)

 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG
 Chuyên đề 27 ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI MỨC 9-10 ĐIỂM
 Dạng 1. Ứng dụng tích phân để giải bài toán chuyển động
Câu 1. (Mã 103 2018) Một chất điểm A xuất phát từ O , chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo 
 1 13
 thời gian bởi quy luật v t t 2 t m/s , trong đó t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc 
 100 30
 A bắt đầu chuyển động. Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm B cũng xuất phát từ O , chuyển động 
 thẳng cùng hướng với A nhưng chậm hơn 10 giây so với A và có gia tốc bằng a m/s2 ( a là 
 hằng số). Sau khi B xuất phát được 15 giây thì đuổi kịp A . Vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp 
 A bằng
 A. 15 m/s B. 9 m/s C. 42 m/s D. 25 m/s 
 Lời giải
 Chọn D
 Ta có v t a.dt at C , v 0 0 C 0 v t at .
 B B B 
 Quãng đường chất điểm A đi được trong 25 giây là
 25 25
 1 13 1 3 13 2 375
 S t 2 t dt t t .
 A 
 0 100 30 300 60 0 2
 Quãng đường chất điểm B đi được trong 15 giây là
 15 at 2 15 225a
 S at.dt .
 B 
 0 2 0 2
 375 225a 5
 Ta có a .
 2 2 3
 5
 Vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A là v 15 .15 25 m/s .
 B 3
Câu 2. (Mã 104 2018) Một chất điểm A xuất phát từ O , chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo 
 1 58
 thời gian bởi quy luật v t t 2 t m / s , trong đó t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc 
 120 45
 A bắt đầu chuyển động. Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm B cũng xuất phát từ O , chuyển động 
 thẳng cùng hướng với A nhưng chậm hơn 3 giây so với A và có gia tốc bằng a m / s2 ( a là 
 hằng số). Sau khi B xuất phát được 15 giây thì đuổi kịp A . Vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp 
 A bằng
 A. 21 m / s B. 25 m / s C. 36 m / s D. 30 m / s 
 Lời giải
 Chọn D
 Thời điểm chất điểm B đuổi kịp chất điểm A thì chất điểm B đi được 15giây, chất điểm A đi 
 được 18 giây.
 Biểu thức vận tốc của chất điểm B có dạng v t adt at C mà v 0 0 nên v t at .
 B B B 
 Do từ lúc chất điểm A bắt đầu chuyển động cho đến khi chất điểm B đuổi kịp thì quãng đường 
 hai chất điểm đi được bằng nhau. Do đó
 18 15
 1 2 58 225
 t dt atdt 225 a. a 2
 0 120 45 0 2
 Trang 1 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG
 Lời giải
 Chọn A
 Thời gian tính từ khi A xuất phát đến khi bị B đuổi kịp là 15 giây, suy ra quãng đường đi được 
 15 15 15
 1 2 11 1 3 11 2 
 tới lúc đó là v(t)dt t t dt t t 75 m .
 0 0 180 18 540 36 0
 Vận tốc của chất điểm B là y t a.dt a.t C (C là hằng số); do B xuất phát từ trạng thái 
 nghỉ nên có y 0 0 C 0 ;
 Quãng đường của B từ khi xuất phát đến khi đuổi kịp A là
 10
 10 10 a.t 2 3
 y(t)dt 75 a.tdt 75 75 50a 75 a 
 0 0 2 0 2
 3t
 Vậy có y t ; suy ra vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A bằng y 10 15 m / s .
 2
 1
Câu 6. (Mã 105 2017) Một vật chuyển động theo quy luật s t3 6t2 với t (giây) là khoảng thời 
 2
 gian tính từ khi vật đó bắt đầu chuyển động và s m là quãng đường vật di chuyển được trong 
 khoảng thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian 6 giây, kể từ khi bắt đầu chuyển động, vận tốc 
 lớn nhất của vật đạt được bằng bào nhiêu?
 A. 18 m/s B. 108 m/s C. 64 m/s D. 24 m/s 
 Lời giải
 Chọn B
 3
 Vận tốc của vật chuyển động là v s t2 12t f t 
 2
 Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f t trên đoạn 0;6 
 Ta có f t 3t 12 f t 0 t 4 0;6 
 f 0 0; f 4 24; f 6 18
 Vậy vận tốc lớn nhất là 24 m/s .
Câu 7. (ĐHQG Hà Nội - 2020) Chất điểm chuyển động theo quy luật vận tốc v t m / s có dạng đường 
 Parapol khi 0 t 5 s và v t có dạng đường thẳng khi 5 t 10 s .Cho đỉnh Parapol là 
 I 2,3 . Hỏi quãng đường đi được chất điểm trong thời gian 0 t 10 s là bao nhiêu mét?
 181 545
 A. . B. 90 . C. 92 . D. .
 2 6
 Lời giải
 Chọn D
 Trang 3 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG
Câu 10. (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Một chiếc ô tô đang chạy với vận tốc 15m/s thì 
 người lái xe hãm phanh. Sau khi hãm phanh, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc 
 v t 3t 15 m/s , trong đó t (giây). Hỏi từ lúc hãm phanh đến khi dừng hẳn, ô tô di chuyển 
 được bao nhiêu mét?
 A. 38m. B. 37,2m. C. 37,5m. D. 37m.
 Lời giải
 Chọn C
 Khi xe dừng hẳn thì v t 0 t 5.
 Khi đó quảng đường xe đi được tính từ lúc bắt đầu hãm phanh đến khi dừng hẳn là:
 5
 5 3t 2 
 S 3t 15 dt 15t 37,5 m
 2
 0 0
 Vậy ta chọn đáp ánC.
Câu 11. (Chuyên Bắc Giang 2019) động chậm dần đều với vận tốc v t 10t 20 (m/s), trong đó t là 
 khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, 
 ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét?
 A. 5 m B. 20 m C. 40 m D. 10 m
 Lời giải
 Chọn B
 Lúc bắt đầu đạp phanh, ô tô có vận tốc 20 m / s v t0 10t0 20 20 t0 0
 Ô tô dừng hẳn khi đó vận tốc v t1 0 20 10t1 0 t1 2.
 2
 Do đó ô tô di chuyển được thêm là: 20 10t dt 20t 5t 2 2 20 m
 0 
 0
Câu 12. (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Một ô tô đang chạy với vận tốc 10m / s thì người lái xe 
 đạp phanh. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v t 2t 10 m / s , 
 trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Tính quãng đường ô tô 
 di chuyển được trong 8 giây cuối cùng.
 A. 55m . B. 25m . C. 50m . D. 16m .
 Lời giải
 Ta có 2t 10 0 t 5 Thời gian tính từ lúc bắt đầu đạp phanh đến khi dừng hẳn là 5 giây. 
 Vậy trong 8 giây cuối cùng thì có 3 giây ô tô chuyển động với vận tốc 10m / s và 5 giây chuyển 
 động chậm dần đều với vận tốc v t 2t 10 m / s .
 5
 Khi đó quãng đường ô tô di chuyển là S 3.10 2t 10 dt 30 25 55m .
 0
Câu 13. (THPT Thực Hành - TPHCM - 2018) Một chất điểm bắt đầu chuyển động thẳng đều với vận 
 tốc v0 , sau 6 giây chuyển động thì gặp chướng ngại vật nên bắt đầu giảm tốc độ với vận tốc 
 5
 chuyển động v(t) t a (m / s), (t 6) cho đến khi dừng hẳn. Biết rằng kể từ lúc chuyển 
 2
 động đến lúc dừng thì chất điểm đi được quãng đường là 80m. Tìm v0 .
 A. v0 35m / s . B. v0 25m / s . C. v0 10m / s . D. v0 20m / s .
 Lời giải
 Trang 5 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG
 t3
 Mà v 0 C 15 v t 2t2 15.
 3
 3 3
 t 2 
Vậy S 2t 15 dt 69,75 m .
 0 3 
Câu 16. (THPT Hoàng Hoa Thám - Hưng Yên - 2018) Một chất điểm chuyển động theo phương trình 
 s t 10 t 9t 2 t3 trong đó s tính bằng mét, t tính bằng giây. Thời gian để vận tốc của chất 
 điểm đạt giá trị lớn nhất (tính từ thời điểm ban đầu) là
 A. t 6 s . B. t 3 s . C. t 2 s . D. t 5 s .
 Lời giải
 v t s t 3t 2 18t 1.
 Dễ thấy hàm số v t là hàm bậc hai có đồ thị dạng parabol với hệ số a 3 0 .
 Do đó vmax đạt tại đỉnh I 3;28 của parabol.
 Vậy Thời gian để vận tốc của chất điểm đạt giá trị lớn nhất t 3 s .
Câu 17. (Chuyên Vĩnh Phúc - 2018) Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần đều với vận tốc 
 v1 t 7t m/ s . Đi được 5s , người lái xe phát hiện chướng ngại vật và phanh gấp, ô tô tiếp tục 
 chuyển động chậm dần đều với gia tốc a 70 m/ s2 . Tính quãng đường S đi được của ô tô từ 
 lúc bắt đầu chuyển bánh cho đến khi dừng hẳn.
 A. S 96,25 m . B. S 87,5 m . C. S 94 m . D. S 95,7 m .
 Lời giải
 Chọn gốc thời gian là lúc ô tô bắt đầu đi. Sau 5s ô tô đạt vận tốc là v 5 35 m/s .
 Sau khi phanh vận tốc ô tô là v t 35 70 t 5 .
 Ô tô dừng tại thời điểm t 5,5s .
 5 5,5
 Quãng đường ô tô đi được là S 7tdt 35 70 t 5 dt 96,25 m .
 0 5
Câu 18. (SGD Thanh Hóa - 2018) Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần đều với vận tốc 
 v1 t 2t m/s . Đi được 12 giây, người lái xe gặp chướng ngại vật và phanh gấp, ô tô tiếp tục 
 chuyển động chậm dần đều với gia tốc a 12 m/s2 . Tính quãng đường s m đi được của ôtô 
 từ lúc bắt đầu chuyển động đến khi dừng hẳn?
 A. s 168 m . B. s 166 m . C. s 144 m . D. s 152 m .
 Lời giải
 ￿Giai đoạn 1: Xe bắt đầu chuyển động đến khi gặp chướng ngại vật.
 Quãng đường xe đi được là:
 12 12
 12
 S v t dt 2tdt t 2 144 m .
 1 1 0 
 0 0
 ￿ Giai đoạn 2: Xe gặp chướng ngại vật đến khi dừng hẳn.
 Ôtô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v t adt 12t c .
 2 
 Vận tốc của xe khi gặp chướng ngại vật là: v2 0 v1 12 2.12 24 m/s .
 Trang 7